向量共面

用向量证明四点共面

由n+m+t=1,得t=1-n-m,代入op=nox+moy+toz，得OP=nOX+mOY+(1-n-m)OZ,

整理，得

OP-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)

即ZP=nZX+mZY

即P、X、Y、Z四点共面。

以上是充要条件。

2

如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面

A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的

坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向

量平行如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充三点一定共面,证第四点在该平面内

用向量,另取一点O如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1则有四点共

面答案补充方法已经很详细了呀。4线平行线:两条线的方向向量矢量积为0，且两条

线没交点

面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面

法向量数量积为0，且线不在平面内

三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，

证明AB与BC的方向向量矢量积为0

四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD

数量积为0

3

怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向

量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面

简明地证明，网上的不具体，不要复制!

证明：由x+y+z=1→x向量OC+y向量OC+z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向

量OB+z向量OC=向量OP

将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。

故：A，B，C，P四点共面。

4

可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确

定1个平面)不防设ABC三点共面只需证明P点在这个平面上即可以下向量符号省

去

证明：PA=BA-BP

=OA-OB-(OP-OB)

=OA-OP

=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC)

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到这里因为ABC已经确定了一个平面且PA=bBA+cCA

所以PA平行平面又A在平面内所以P点也在该平面内

所以四点共面