如何证明四点共圆

四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个

性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）

圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

证明方法

方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定

这四点共圆．

方法2同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两

顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，

即可肯定这四点共圆．

方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即

可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明

自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这

四点也共圆．（割线定理的逆定理）

方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，

即可肯定这四点共圆．

上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，

首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．

判定与性质：

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。

【如图A：四点共圆的图片】

四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：

（1）∠A+∠C=π，∠B+∠D=π（即图中∠DAB+∠DCB=π,∠ABC+∠ADC=π）

（2）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。

（3）∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）

（4）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可有（2）

得到）

（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

（6）EB*EA=EC*ED（割线定理）

（7）EF^2=EB*EA=EC*ED（切割线定理）

（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

说明：切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理[1]

其他定理：弦切角定理

定理

判定定理

方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相

等，从而即可肯定这四点共圆．

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，

即可肯定这四点共圆．

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）

托勒密定理

[2]若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。

例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。

解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整

数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾

股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。

假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为

斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a

长为ra

记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两

端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的

点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来

的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。

反证法证明

现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，

若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。