自然对数公式

.

.

性质

①loga(1)=0；

②loga(a)=1；

③负数与零无对数.

2对数恒等式

a^logaN=N(a>0，a≠1）

3运算法则

①loga(MN)=logaM+logaN；

②loga(M/N)=logaM－logaN；

③对logaM中M的n次方有=nlogaM；

如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…

为自然对数

的底。定义：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导：

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

.

.

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3、与（2）类似处理M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)]=a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)

4、与（2）类似处理

M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]=

{a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

.

.

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，

e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则

log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]=

(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

4换底公式

设b=a^m，a=c^n，则

b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数，有：

log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数，有：

log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴

log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

.

.

5推导公式

log(1/a)(1/b)=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

6求导数

(xlogax)'=logax+lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x