积分的保号性

论积分学一题多解的策略

一、一题多解的内涵

数学是现代科学技术的语言和工具。一个学生的数学素质是他文

化素质中的核心部分，居于学生认知结构的顶端，是学生智力因素的

基础。怎样才能更快更好的学习数学？首先要深入理解、牢固掌握、

灵活运用数学概念、公式、法则、定理、性质；其次要熟练掌握各种

数学方法和解题技能、技巧；最后要沟通数学知识点之间和方法之间

的联系。要做到以上三点，最有效的方法就是培养一题多解能力。

二、积分一题多解的思路

高等数学积分运算中对变量的处理方法，更能培养出一题多解对

大学生启迪思维的灵敏度（快），清晰度（准），广泛度（活）。通过多

种解题方式的变化，引导学生突破固有的思维定式和解题思路，不是

单一追求解出答案即可，而是尽可能去寻找不同的解题方法，掌握多

个思维模式，积累解题经验，达到殊途同归的效果，这才是一题多解

对学生应该起到的启智效果。积分与导数、微分密切相关，一方面，

积分就是微分的逆运算，另一方面，积分也是一种极限，它同导数有

着紧密的联系。总之，积分是高等数学中最重要、最基本的运算形式。

下面部分笔者从积分学中选取典型的一题多解的案例，体现其中

的内涵，在解题过程中，凡出现的函数（无论是被积函数还是原函数），

均认为是在有意义的定义域内进行的。在一般情况下，函数定义域是

容易被确定的，因此题解中，就不再予以一一指明。

三、积分的一题多解案例分析

例1求不定积分∫a2-x2dx（a0）；

解2当0≤x≤1时，有xn-1≥xn，所以xn-11-x2≥xn1-x2，由

积分的保号性，可得，所以数列{an}单调递减，因为需

要得到递推关系，并且是与n相关的积分，因此对积分考虑分部

积分法，于是有

（2）由（1）可知an≤an-1，从而anan-1≤1并且anan-2=n-

1n+2≤an-1an-2由此可得limn→∞n-1n+2=1≤limn→∞an-1an-

2=limn→∞anan-1≤1

所以由迫敛性可得limn→∞anan-1=1.

例4求不定积分；

说明：以上各种解法的结果形式上并不完全相同，其实它们仅相

差一个常数，这是由于积分时所用的求解方法不同，就可以得到不同

形式的积分函数.上面几种解法说明，对于无理函数的求原函数问题，

可以通过各种不同的变量代换求得.

积分学的第二个基本概念，就是定积分概念。它和一些重要概念

一样，也是从人的实际需要而产生的；反过来，它是解决许多实际问

题最有力的工具。

例5求半径为的圆面积；

解法1如图2所示，将圆心选为坐标原点，则圆的直角坐标为

x2+y2=R2，圆在第一象限的部分是由y=R2-x2及x=0，x=R和x轴

所成的曲边梯形，

其面积为∫R0R2-x2dx又由圆的对称性，知圆的面积为

S=4∫R0R2-x2dx，現在求圆的面积S.令x=Rsint，则dx=Rcostdt.且当

x=0时，t=0；当x=R时，t=π2于是

解法2圆的参数方程为于是由参数方程求曲边梯形的面积公式

得

解法3（应用极坐标求解）

选取坐标原点0为极点，x轴为极轴，则圆的极坐标方程为

r=r（θ）=R（0≤θ≤2π）由求曲边扇形面积公式

得

解法4（应用平面面积作为曲线积分方法）

由公式得

通过以上高等数学积分中的典型一题多解实例，可以看出求积分

的基本方法主要有：基本积分表法；分项积分法；凑微分法；换元积

分法；分部积分法；万能代换法；某积分的递推公式法；欧拉公式法；

欧拉代换法等，对具体题目不能局限于一个方法或一个公式，应该广

开思路，灵活运用不同的点，技巧以及方法和公式，通过纵横发散、

串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通，这样才能得心应手地分

析和解决一题多解的问题。