次方怎么计算

两数N次方差的一般计算公式

在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奧数学习中，通过面

积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两

个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差

一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。

推导过程：

一、由二次方看

首先，我们知道两个数的二次方的计算方法

已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。

解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即"2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白

色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：

5*2-42=5**(2-1)+4*(2-1)=5+4=9

几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加

4“2-3"2=4"(2-1)+3"(2-1)=4+3=7

几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加

所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：

(A+1厂2-A"2=(A+1)"(2-1)*A"(2-2)+(A+1厂(2-2)林‘(2-1)

对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到

(A+l)^2-(A-1)A2=(A+1)*(2-1)*(A-l)*(2-2)*2+(A+l)"(2-2)*(A-1厂(2-1)*2

=[(A+1)*(2-1)*(A-l)*(2-2)+(A+1)72-2)*(A-1)*(2-1)]*2

几何上理解为:长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A1与[(A+1)-(A-1)]=2

的面积，两块面积的和。

同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：

P“2-Q'2=[P“(2-1)*Q*(2-2)+P"(2-2)*Q^(2-l)]*(P-Q)

二、再看三次方的情况

我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：

已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。

设A的相邻数为A+1和A-1,则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：

(A+1)3-A3=(A+1)(3~1)*A(3-3)+(A+l)(3_2)*A(3-2)+(A+l)(3~3)*A(3-1)

A°3-(AT厂3二“(3-1)*(A-1厂(3-3)+A"(3-2)*(A-1厂(3-2)+2(3-3)*(A-1)73-1)

几何上的理解是：

长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的(AT)与高方向上的A厚度为1的

体积.长方向上的(21)与宽方向上的(A-1)厚度为1的体积，这三块体积之和。

对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为(P-Q)的形成体枳的体积差，一般公

式为：

P"3ST3=[P‘(3-1)*Q*(3-3)+p・(3-2)Q(3-2)+P“(3-3)水Q，(3-1)]*(P-Q)

三.推广到四次方

同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式:

(A+l)4~A4=(A+1)(4-1)*A(4-4)+(A+l)(4-2)*A(4-3)+(A+l)(4-3)*A(4-2)+(A+1)*

(4-4)*A*(4-1)

不相邻两数的四次方之差的一般公式：

PH-Qt=[P‘(4-1)*Q*(4-4)+P"(4-2)*Q^(4-3)+P*(4-3)*Q*(4-2)+P"(4-4)*Q‘(4-1)]*

(P-Q)

四、结论：两个数的n次方之差计算方法，

综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出

相邻两个数的n次方的差的一般公式：

Pn一Q*n=P*(n-l)*Q*(n-n)+P*(n-2)*Q'l+P"(n-3)*Q2+P"(n-4)*Q3+.....................+P"(n-

n)*Q^(n-1)

不相邻两个数的n次方的差的一般公式：

P*n-Q*n=[P*(n-l)*Q"(n-n)+P*(n-2)*Q"l+P"(n-3)*Q2+P"(n-4)*Q“3+....................+P*(n-n)*

Q"(n-l)]*(P-Q)

五、验证：

(D相邻两数的N次方的差的计算验证

3“4-2八4=81-16二65

3"4-2八4=3“3*2八0+3*2*2*1+3*1*2*2+3^0*2*3=65

6^6-5^6=46656-15625=31031

6*6-5*6=65*50+6*4*5*1+6*3*5*2+6'2*5*3+6*1*5*4+6*0*5*5=31031

(2)不相邻两数的N次方的计算验证

10^5-5^5=10000-3125=96875

105-55[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5^5*5*5*5]*5

=[10000+5000十2500+1250+625]*5=19375*5二96875

1「6-9飞二1771561-531441=1240120

1「6-9飞=[1「5*1+1「4水9+1「3*9"2+1「2*9"3+1「1水9"4+1*9"5]*仃1-9)

=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2

=620060*2=1240120

方差公式的应用

刘君王永会

方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间不

长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅

仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者

就八个方面的应用介绍如下：

若无为一组数据“，X2,X3X,r的平均数，S?为这组数据的方差，则有

S’=-[(x,-x)2+(x2一元)'+…+(兀】一元)']=丄[打+x^+-+x,

l

1)-nx1]nn

由方差定义公式，显然有52>0,当且仅当x,=x2=•=x,t时S2=O

1.求值

例1.已知实数X、y、z满足

x+3y=6<1>

<

x+3y-2xy+2乙’=0<2>

试求八七的值。

解：<1>-<2>得：xy=z2+3<3>

<1>2得：十+(3y)2=36—6与<4>

将<3>代入<4>得：x2+(3y)2=18-6?,把x,3y视为一组数据，由方差公式，得

S2=l[x2+(3y)2-2x(^-^)2]=l(18-6z2-lx62)=-3?

2222

因为52>0,所以-3z2>0

所以z=0,所以于=0

所以x=3y代入<1>得x=3,y=1

所以x2v+z=32=9

2.解方程

例2.解方程4(仮+77^1+Jz-2)=x+y+z+9

解：设4x=a,Jy-1=b,Jz-2=c,贝U

x=a2

9

y=b2+1,z=c2+2

原方程可化为

4(a+b+c)=a2+b2+c2+12所以a，+b2+c2=4("+Z?+c)-12由方差公式，得a、b、

c的方差为：

S2=^[(a2+h2+c2)—g("+b+c)2]

=-—(a+b+c-6)2

9

因为0>0

所以(a+h+c-6)2<0

所以a+h+c=6

所以S‘=0,从而a=b=c=2

故x=4,y=5,z=6,经检验x=4,y=5,z=6是原方程的解。

3.解方程组

例3.解关于实数x、y、z的方程组

2%4-3y+z=13<1>

V

4x2+9y2+z2-2x+5y+3z=82<2>

解:由<1>得2x+(3y+3)=16-z

<1>+<2>,得(2x)2+(3y+3)2=一才一4乙+104

由方差公式，得2x,3y+3的方差为：

S2=+[(2x)2+(3),+3)2_£(2牙+3)，+3)2]

=-[(-?-4Z+104)-1(16-Z)2]

22

a

=--U-4)2

4

3

因为S?>0,所以一-a-4)2>0

4

所以(Z—4)2=0

所以z=4f所以52=0

所以2x=3y+3

把Z=4,2x=3y+3代入<1>得y=l,从而x=3,所以x=3,y=l,z=4

4.证明不等式

例4.已知x+y+z=a,求证：x2+y2+z2>-a2

证明：设x2+y2+Z2=vv*由方差公式，得X、y、Z的方差为

S'=*[(，+〉'+z2)_g(x+y+z)訂=*(w_g/)

因为s2>o,所以丄w—丄/)no

33

所以w>,&Px2+y2+z2>-a2

33

5.证明等式

例5.已知实数a、b,c满足（i=6—b,c，=ab—9,求证：a=b

证明：由已知得a+b=6

a2+b2=36-2ab=36-2（c2+9）=18-2c2

由方差公式，得实数a、b的方差为

S2=-[（a2+沪）一丄@+仍2]=丄[（18—2疋）一丄X62]=-C22222

因为52>0,所以-c2>0

所以c=0,所以S2=0,则a=b

6.求字母的取值范围

例6.设实数a、b、c满足

a2-bc-Sa+7=0<1>

[b2+c‘+be-6a+6=0<2>

则a的取值范围是_________。

解:<1>+<2>得

b2+c2=一/+14“一13

<2>-<1>得(Z?+C)2=(。一1)2

由方差公式得b、c的方差为

S2=![(/?+c2)-l(h+c)2]

22

=l[(_a

2

+14a-13)--(a-l)2]

22

37

=-丁(a~-10“+9)

因为S?>0

所以一-(a2-10a+9)>0

4

所以«2-l(k/+9<0

解得15aS9

7.求最值

例7.实数x、y满足4*2_5卩+4＞，2=5,设S=x2+y则丄Smax

解：设x2+y2=f

9

由方差公式得x、y的方程

S—hf2(字)2]

J[(D丄+2十

_(x2+y2)-2xy

4

①

4

因为—5xy^+4y2=5

所以5xy=4(x2+b)-5

4.,4

所以xy=-(x2+y2)-=-t-,代入⑪得

t--t+2

S2=—

4

所以3/-10<0

—3/+

10

>0

所以r

10

T

3

io

8.判断三角形形状

例8.设AABC的三边红b、c满足：Z?+c=8,bc=a2-2a+52.试问AABC是什么三角形(按

边分类)？并证明你的结论。

解：A4BC为等腰三角形，证明如下：

由已知得b2+c2=64-2bc=-2«2+24r/-40

由方差公式得b、c的方差为

S2=l[(/72+C2)-l(h+C)2]

22

=-[(-2a2+24a-40)--x82]

22

=—(°—6)2>0

因为S2>0,所以一G/-6)2>0,所以d=6,所以S2=0

所以b=c=4

故AABC是以a为底，以b.c为腰的等腰三角形。

练习:

1.

(4)

已知△ABC的三边纸b、c满足(1)a>b>c；(2)2b=a+c；(3)b是正整数;a2+h2+c2

=84,求b的值。

2.

已知x+y+z=l，求证：A:2+y2+z2>-

3.实数a、b.c.d满足a+b+c+c/=O

9

a2+b2+c2+d2=28

9

求a值范围。

4.解方程组<

x+y+z,=3

2*>oc

X+y+空=3

+b+z、=3

设Xpx2,x3--x19都是正整数，且满足X]+£+…+“9=95,则5.

x

}

2+X

2

2+-+X

19

2的最大值为一

6.设m、n、P为正实数，且nr+n2=p2,求的最小值。

V

7.求y=Jl+sinx+Jl-sinx的最大值。

2^03

8.已知a、b、c为AABC的三边，若a+b+c=,a2+b2+c2=试判断此

22

三角形的形状。

参考答案:

1.b=5

2.略

3.l

=1

4.卩=1

Z=1

5.5947

V

7.2