乘符号

有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算

有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算

【本讲教育信息】

一.教学内容：

有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算

二.知识要点：

1、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

如果有括号先算括号里面的．

2、有理数运算规律：

（1）在有理数运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方

是三级运算．一个式子里三级运算都含有时，先做第三级运算，再做

第二级运算，最后做第一级运算；同一级运算，按照从左到右的先后

顺序进行运算；

（2）有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行；

（3）运算中应灵活运用运算律简化运算．

三.重点、难点、考点：

1、重点：有理数的混合运算。

2、难点：有理数的混合运算顺序及符号的规律。

3、考点：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。

考点分析：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算是历年中

考必考的内容，本部分内容有时单独命题，有时与后面的其他知识综

合命题，命题形式以解答题为主，有时也出填空题和选择题．

【典例精析】

例⒈计算：

⑴×（1／3－1／2）×÷5／4

⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）

解：⑴×（1／3－1／2）×÷5／4

＝×（－1／6）××4／5先算括号里面的

＝－2／25再算乘除

⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）

＝－10＋8÷4―（―4）×（－3）先算乘方

＝－10＋2－12再算乘除

＝－20最后算加减

指导：解此题的关键是要严格按照混合运算的顺序进行运算．

例2.计算：

⑴－14―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3］－︱1/8—0.52

︱

⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3］÷5

⑶－32×1.22÷0.32＋（－1／3）2×（－3）3÷（－1）2003

解：⑴－14―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3］－︱1／8

－0.52︱

＝－1―（―1／6）×3×（－2＋27）－︱1／8－1／4︱先算乘方

＝－1―（―1／6）×3×25－1／8再算括号里的

＝－1＋25／2－1／8最后算加减

＝11.375

⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3］÷5

＝［35／3－3／8×（－64）－1／16×（－64）＋3／4×（－

64）］÷5

＝［35／3＋24＋4－48］×1／5

＝［35／3－20］×1／5

＝35／3×1／5－20×1／5

＝7／3－4

＝－5／3

⑶－32×1.22÷0.32＋（－1／3）2×（－3）3÷（－1）2003

＝－9×36／25×100／9＋1／9×（－27）÷（－1）

＝－144＋3

＝－141

指导：有理数混合运算中应注意以下问题：⑴要注意运算顺序；

⑵要灵活运用运算律进行简便计算，不要搞错符号，特别是乘方符号；

⑶要灵活进行分数、小数的互化⑷互为相反数的和，互为倒数的积，

有因数为0等特殊运算先行结合．

本例中⑴小题按“＋”“－”号分为三段，再分别计算每一段；

⑵小题可灵活运用乘法的分配律；⑶小题中把小数化成分数后计算较

为简便．

例3.（2006，浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平

方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝22－0212＝42－2220＝

62－42因此4，12，20都是神秘数．（1）28和2012这两个数是

“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这

两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

解：（1）因为28＝4×7＝82－62，2012＝4×503＝5042－

5022，所以是神秘数。

⑵（2k＋2）2－（2k）2＝4（2k＋1），因此由2k＋2和2k构

造的神秘数是4的倍数．

⑶由（2）可知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数，设

两个连续奇数为2k＋1和2k－1（其中k取正整数）则（2k＋1）2－

（2k－1）2＝8k，即两个连续奇数的平方差不是神秘数。

指导：此题是探索题，正确理解题意，仔细观察所给的式子，可

以看出解题的规律，从而找到解题的途径。

例4.在一片草地中间，有一间正方形的小房子，它的边长6m，

房子外边南墙的正中有一只羊，拴羊的绳长12m，远处的一根木桩拴

着一头牛，绳长11m。问牛和羊谁能吃到草的面积更大些？大多少？

（π取3）

解：羊吃到草的面积为

1／2×3×（122＋92＋32）＝351m2

牛吃到草的面积为

3×112＝363m2

所以，牛吃到草的面积更大些，大12m2

指导：由题意可知羊能吃到草的部分是3个半圆，而牛能吃到草

的部分是一个圆。

例5.（2007，绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序

处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，这两者可以互相换算，

如将二进制数1101换算成十进制数应为1×23＋1×22＋0×21＋1×20

＝13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为

───────────────。

解：1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，即25换算成二

进制数为11001．

指导：理解二进制与十进制之间的换算规律是关键。从题目中可

知1101为13，所以25必定为4位以上，所以我们可以写为1×24＋

1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，写为11001。

【思想方法总结】

有理数的混合运算，关键是牢记混合运算的法则及运算顺序，要

能灵活应用运算律进行简化运算，并能解决有关的实际问题．灵活应

用运算律进行运算式子变形是数学中重要的“转化思想”，学习时应

注意这一思想的培养。

【模拟试题】﹙时间：60分钟，满分100分﹚

一、选择题：﹙每小题3分，共27分﹚

1.（－16）÷（―2）3―22×（－1／2）的值是（）

A.0

B.－4

C.－3

D.4

2.下列各组数中，数值相等的是（）

A.32和23

B.（－3＋2）2和（－3）2＋22

C.（－3）2和23

D.（－3）2×22和［（－3）×2］2

3.计算－22－（－2）3×（－1）2－（－1）3的结果为（）

A.－30

B.－1

C.24

D.5

4.计算（－2）2003＋（－2）2002的值是（）

A.1

B.－2

C.－22002

D.22002

﹡5.（2007·天门）中百超市推出如下优惠方案∶⑴一次性购物不

超过100元，不享受优惠；⑵一次性购物超过100元，但不超过300

元一律9折；⑶一次性购物超过300元一律8折。某人两次购物分别

付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款

（）

A.288元

B.332元

C.288元或316元

D.332元或363元

﹡6.（2007·广东深圳）若（a－2）2＋︱b＋3︱＝0，则（a＋b）

2007的值是（）

A.0

B.1

C.－1

D.2007

7.下列各式计算正确的是（）

A.－22－（－2）2＝0

B.－2÷3×1／2＝－2

C.－3×（－7－5）＝6

D.（3－6）×1／2＝－3／2

8.如果（m＋2）2＋（n－3）2＝0，那么代数式2／3（m－n）

的值为（）

A.2／3

B.2／15

C.－2／15

D.－2／3

﹡9.若x是有理数，则x2＋1一定是（）

A.等于1

B.大于1

C.不小于1

D.非负数

二、填空题：﹙每小题3分，共27分﹚

10.（－1）2000＋（－1）2007＋（－1）2006＋02003＝

_________________

﹡11.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的∶任取四

个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘

除四则运算，例如对1，2，3，4可作运算：（1＋2＋3）×4＝24

（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）。现有四

个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运

算式，使其结果等于24，运算式如下：⑴____________⑵____________

⑶____________

12.（2006厦门）计算∶25÷23＝________________________。

13.观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，

27＝128，28＝256，…通过观察用你能发现的规律写出219的末位数

字是____________

14.－32÷（－3）2＋3×（－2）＝____________

15.（1－2）（3－4）（5－6）…（99－100）＝____________

16.若x＝2时，代数式ax3－2的值为3，当x＝－2时，ax3－2

的值是____________

17.如图是2007年6月份的日历，像图中那样，用一个圈竖着圈

住三个数，如果被圈住的三个数的和为42，那么这三个数中最大的一

个数为_________________。

﹡﹡18.（2007，湖南常德）观察下列各式：

13＝1213＋23＝32

13＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102

……

猜想：13＋23＋33＋…＋103＝___________________

三.解答题：﹙共46分﹚

19.计算：﹙每小题4分，共20分﹚

⑴－22―（－3）2×（－1）2－（－1）3

⑵—32－︱（－5）3︱×（－2／5）2－18÷︱－（－3）2︱

⑶1／5×（－5）÷（－1／5）×5

⑷0.5－（2／3－1.25）×0.6÷（－1.75）

⑸（－278）÷78.7×（－3／4）×0

20.﹙6分﹚已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，e

的绝对值等于6

求2a＋2b－6cd＋b／a＋e的值

21.计算﹙5分﹚

24＋6÷1／3×3

22.﹙6分﹚若有理数a，b满足（a＋1）2＋（b－1）2＝0，求

式子3a2－2b3／ab的值。

23.﹙9分﹚某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

⑴若一次购物少于200元，则不予以优惠；

⑵若一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优

惠；

⑶若一次购物超过500元，其中500元以下部分（含500元）给

予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠。

小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决

定一次性的购买与小李分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？

【试题答案】

一.选择题：

1.D

2.D

3.D

4.C

5.C

6.C

7.D

8.C

9.C

二.填空题：

10.1

11.⑴3×［4＋10＋（－6）］；⑵（10－4）－3×（－6）；

⑶4－（－6）÷3×10

12.413.814.－715.1

16.－717.2118.552

三.解答题：

19.计算：⑴－12⑵－31⑶25⑷3／10⑸0

20.解：由已知得b／a＝－1，a＋b＝0，cd＝1，︱e︱＝6，e

＝±6．

当e＝6时，2a＋2b－6cd＋b／a＋e＝2（a＋b）－6cd＋b／a

＋e

＝2×0－6×1+（－1）＋6

＝－1

当e＝－6时，2a＋2b－6cd＋b／a＋e＝2（a＋b）－6cd＋b／

a＋e

＝2×0－6×1＋（－1）＋（－6）

＝－13

所以，2a＋2b－6cd＋b／a＋e的值为－1或－13。

21.解：24＋6÷1／3×3

＝16＋6×3×3

＝16＋54＝70

22.解：因为（a＋1）2＋（b－1）2＝0，不论a，b取何值，（a

＋1）2≥0，（b－1）2≥0

而（a＋1）2＋（b－1）2＝0，所以，（a＋1）2＝0，（b－1）

2＝0。

因此，a＋1＝0，b－1＝0。所以，a＝－1，b＝1。

所以，3a2－2b3／ab＝－1

23.解∶（1）当一次购物没超过200元时，两次购物的标价为：

198＋500＋（554－500×0.9）÷0.8＝828元

若一次购买需付款为：500×0.9＋（828－500）×0.8＝712.4元

（2）当第一次购物超过200元时，两次购物的标价为：

198÷0.9＋500＋（554－500×0.9）÷0.8＝850元

（3）若一次购买需付款为：500×0.9＋（850－500）×0.8＝

730元