导函数与原函数的关系

目录

中文摘要...........................................................I

英文摘要..........................................................II

1绪论.............................................................1

2导函数的性质.....................................................1

2.1定义........................................................1

2.2性质........................................................2

2.2.1导函数的介值性.........................................2

2.2.2导函数无第一类间断点...................................6

2.2.3导函数的极限..........................................10

3原函数的两个性质................................................12

3.1性质一.....................................................12

3.2性质二.....................................................13

4导函数与原函数的关系............................................14

5函数性质在导函数与其原函数之间的交互关系........................15

5.1单调性.....................................................15

5.2有界性.....................................................16

5.3奇偶性.....................................................16

5.4周期性.....................................................17

5.5极限.......................................................18

5.6间断点.....................................................18

5.7可微性.....................................................19

5.8极值.......................................................19

5.9凸性.......................................................19

5.10可积性....................................................19

6函数可积与原函数存在的关系......................................19

6.1两个引理...................................................20

6.2可积函数的原函数的存在性...................................21

6.2.1第一类可积函数........................................21

6.2.2第二类可积函数........................................22

6.2.3第三类可积函数........................................22

6.2.4可积函数的变上限积分与原函数的关系....................23

6.3存在原函数的函数的可积性...................................24

6.4Dirichlet函数..............................................25

结束语............................................................25

致谢............................................................26

参考文献..........................................................27

I

导函数与原函数的性质讨论

摘要

本文首先描述了导函数和原函数的定义。在明确了何为导函数后，重点介绍

了导函数的两个特殊的性质：导函数的介值性和导函数的间断点不可为第一类间

断点，并给出了相应的证明和相关的应用举例，也根据这两大性质得到了一些相

关的推论（表述了函数的相关特征与其原函数是否存在之间的关系），并通过例

题展示了这些推论在解题中的重要作用。同样，与导函数相对应的，原函数（即

可导函数）由其定义的确定性使得这类函数也具有一些性质，将在文中予以论证。

接着，继续讨论了一些函数性质（包括：函数的周期性，奇偶性，单调性，可积

性，可微性等）在导函数和其原函数二者之间是否具有交互传递的性质，并对各

结论给出相应的例子或证明。最后，根据第一部分介绍的导函数的特性并借助积

分，讨论了函数的黎曼积分存在和函数的原函数存在二者之间的关系，并给予必

要的证明和举例。

关键词：导函数；介值性；间断点；原函数；

II

DISCUSSIONOFTHENATUREOFTHEDERIVATIVE

FUNCTIONANDTHEORIGINALFUNCTION

ABSTRACT

Thispaperfirstdescribesthedefinitionsofthederivativefunctionandthe

originalfunction．Whenthedefinitionofthederivativeisclear，wefocusonthetwo

specialpropertiesofthederivativefunction：theintermediatevalueofthederivative

functionandthefirstclassdiscontinuitypointsdon’tappearonthederivative

function．Andthecorrespondingevidencesandrelevantapplicationexamplesare

shown．Wealsogotsomeinferencesrelatedaccordingtothetwoproperties(which

showtherelationshipsbetweenthepropertiesofafunctionandtheexistenceofthe

originalfunction)，andthroughtheexamplesweehowimportanttheinferences

areinsolvingproblems．Similarly，theoriginalfunction(namelythedifferentiable

function)alsohassomepropertieswhicharedemonstratedinthispaperforitsspecial

definition．Then，wecontinuetodiscusssomenaturesoffunctions(including:

periodic，parity，monotonicity，integrability，differentiabilityandsoon)tofindout

weatherthereareinteractionsbetweenthederivativefunctionsandtheoriginal

functions，andgiveouttheexamplesorevidenceswhichareneed．Atlast，according

tothepropertiesdescribedinthefistpartandwiththehelpofintegrationwediscuss

therelationshipsbetweenthefunctionswhichcanbeintegrabledandthefunctions

whichhavetheoriginalfunctioninthelastpartofthepaper，andalsoexamplesor

evidencesthatarenecessaryareshown．

Keywords:derivativefunction；intermediatevalue；discontinuitypoints；original

function；

导函数和原函数的性质讨论

1

1绪论

函数，是为我们所掌握的一种常用的数学工具。我们可以用它来对现实世界进行

抽象。通过分析、抽象，可以利用数学符号将复杂的现实问题通过系统的函数符号来

表示，从而实现对问题的量化的分析、简化，使得我们可以将生活中形形色色看似不

同的问题用数学领域的通用方法予以分析、计算，从而极大的有益于我们对实际问题

的解决。亦即，我们只需要纯理论的用数学方法来研究“函数”这一抽象的数学工具，

通过对函数的性质的研究与探讨，便可以帮助我们解决复杂、多元的现实问题，其重

要性显而易见。

通过导数运算我们得到了新的一类函数，即导函数。作为有特殊定义的一类函数，

使得我们能够通过对导函数自身的性质特点的分析来研究原函数（相对应导函数而得

到的定义）的性质，最常见的是通过导函数的符号来反映原函数的单调性，借此帮助

我们画出函数的变化趋势图(反映函数图像的增减趋势)，从而可以帮助我们解决函数

的极值（最值），单调性，函数零点（方程根）等一系列问题。另外，作为有特殊定

义的一类函数，导函数具有自己的一些明确的性质，比如间断点可以确定不能是第一

类间断点，在定义区间上存在介值性。在导函数定义下通过对函数各性质进行分析讨

论，得到的一些结论可以在我们解决函数相关问题时起到重要作用。例如，可以利用

导函数的介值性来论证函数的零点存在问题，判断原函数是否存在等。

当前，关于导函数的有关性质，以及导函数与原函数二者之间的在函数性质上所

反应的交互关系，函数是否可积与函数原函数是否存在二者之间的关系，这些方面都

有不少的研究成果和结论，这些结论对于我们在数学分析和相关的数学领域都是有重

要意义的。本文作者通过对资料的查阅整理，对现有成果进行学习和分析，较为系统

的整理了有关导函数和原函数的性质的相关问题，并对相应结论进行严格的证明，且

相应的给出各结论的应用例题或用以支持结论的反例，从而实现对导函数相关内容在

解题应用方面的论证，加深对导函数与原函数性质的理解。

2导函数的性质

2.1定义

导函数的定义：若函数()Fx在区间

I

上处处可导，对xI，令'()()Fxfx（对区

间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称

()fx

为

()Fx

在区间

I

上的导函数。

导函数和原函数的性质讨论

2

原函数的定义：若函数

()fx

与

()Fx

在区间

I

上都有定义，若

'()()Fxfx

，

xI

，则

称

()Fx

为

()fx

在区间I上的一个原函数。

由以上定义容易看出，在导数的定义下，一个导函数的原函数并不是唯一的，

且同一导函数的任意两个原函数之差为一个常数值。

2.2性质

2.2.1导函数的介值性

引理1：设函数

()Fx

在点

0

x处有有限导数，如果该导数

00

'()0['()0]FxFx，那么当

x取左方充分接近于

0

x的数值时就有：

00

()()[()()]FxFxFxFx，而当x取右方充

分接近于

0

x的数值时就有：

00

()()[()()]FxFxFxFx。

亦即是说：函数

()Fx

在

0

x处增大（减小）。如果所考虑的是单侧导数，例如左导

数，那么只有对

0

x点左方的数值该命题才有效。

证明：

由导数的定义：

0

0

0

0

()()

'()lim

xx

FxFx

Fx

xx







，

若

0

'()0Fx,则存在

0

x的邻域

00

(,)xx，使得在其中

0

()xx成立：

0

0

()()

0

FxFx

xx







，

首先设

00

xxx，那么

0

0xx，则由上面的不等式能够得：

0

()()0FxFx，即

0

()()FxFx；

又当

00

xxx时，有：

0

0xx，

则显然有：

0

()()0FxFx，即：

0

()()FxFx。

证毕。

定理1（达布定理）：若函数

()Fx

在区间[,]ab内有有限导数，记'()()Fxfx，[,]xab，

则函数

()fx

在区间[,]ab内必至少一次取得介于()fa与()fb之间的每一个值。

导函数和原函数的性质讨论

3

注：导函数的达布定理成立不要求

'()Fx

在区间

I

上连续。一般情况下，在

I

上

不连续的任意函数不一定能得出该结论，即是说定理1所表述的性质是导函数所特有

的。比如：

()[]fxx

在

[0,1]

上不连续，则：对

(0,1)k

，都不存在

(0,1)

，使得

()fk

。

证明：

首先，设

()fa

与

()fb

异号，不妨设

()0fa

，

()0fb

，下面先证在区间

(,)ab

上存在一点c，在这点处

()fx

为零：

由有限导数

()fx

的存在知，显然

()Fx

为连续函数，则

()Fx

在区间上某一点c处

取最大值，且c点不与a，b重合,因为根据引理1，在

a

点的近处（右端）

()()fxfa

，而在b点的近处（左端）有

()()fxfb

，因此

acb

，再依Fermat

定理，得

()0fc

，下面讨论一般情形：

取介于

()fa

与

()fb

之间的任意数

C

,不妨设

()()faCfb

，做辅助函数

()()HxFxCx

，它在区间

[,]ab

内是连续的，并且有导数

'()()HxfxC

。

因为：

'()()0HafaC

，而：

'()()0HbfbC

，故依已证明的结论，

有一点

c

存在，在这点处：

'()()0HcfcC

，即

()fcC

。

证毕。

利用定理1，我们在解决判断零点的问题时将会很方便，例如：

例1.设函数

()fx

在

(,)

上二次可微，且有界，试证明：存在点

(,)c

，

使得''()0fc.

证明：若''()fx变号，则由定理1可知，存在(,)，使得''()0f，

若''()fx定号，不妨设''()0fx，则有反证法如下：

''()0fx，则'()fx为严格单调递增函数，

假设存在(,)c，使得'()0fc，则：

导函数和原函数的性质讨论

4

若

'()0fc

，则当xc，且令x

时，有：

()()'()()[()'()()]fxfcfxcfcfcxc

若

'()0fc

，则当xc，且令x时，有：

()()'()()[()'()()]fxfcfxcfcfcxc

，

结论与

()fx

有界矛盾，故由此得出：必有

'()0fc

，

由

c

的任意性知，

'()fx

在

(,)

上恒为零，显然与

'()fx

为严格单调递增

函数矛盾。由此知，我们的假设前提不成立，即

''()fx

定号不成立，故必为第

一种情况：

''()fx

在

(,)

上异号。

证毕。

其实我们可以根据定理1直接得到推论1，在很多解题中推论1应用起来更方便。

推论1：设函数

()fx

在区间

(,)ab

内可导，

12

,(,)xxab且

12

'()'()0fxfx，则必存在

(,)ab

，使得：

'()0f

。

或者有的题目并不直接要求判断零点，但同样的类似于例1可以直接利用定理1

解题。

例2.设函数

()fx

在区间[,]ab上连续，

()()fafbk

，'()'()0fafb



，试证：

至少存在一点

(,)cab

，使得：

()fck

。

证明：

()fx

为

[,]ab

上连续函数，则

()fx

可看做某函数的导函数。

依题，不妨设'()0fa



,'()0fb



，

则由，

()()

'()lim0

xa

fxfa

fa

xa









，

()()

'()lim0

xb

fxfb

fb

xb









，

故由保号性可知，存在x

1

(,]ab，有：

1

()()fxfak,

存在x

2

[,)ab（且

21

xx），有：

2

()()fxfbk,

则由

()fx

在

12

[,]xx连续可知，在

1

x，

2

x之间至少存在一点c，使得：

()fck

。

导函数和原函数的性质讨论

5

证毕。

例3.设

()fx

在区间[-1,1]上三次可微，证明存在实数(1,1)

，使得:

'''()(1)(1)

'(0)

62

fff

f





。

证明：依泰勒公式：

''(0)'''()

(1)(0)'(0)

2!3!

ff

fff





，

''(0)'''()

(1)(0)'(0)

2!3!

ff

fff





，则：

1

(1)(1)2'(0)['''()'''()]

6

fffff

则由定理1可知，存在(,)

，使得：

1

'''()['''()'''()]

2

fff

，则有结论：

'''()(1)(1)

'(0)

62

fff

f





。

证毕。

例4.设

()fx

在

[,]aa

上存在连续的二阶导数，且

(0)0f

，证明：至少存在一

点

[,]aa

，使得：

3

3

''()()a

a

ffxdx

a





。

证明：设

0

()()xgxftdt，则由泰勒公式可得：

23

1

'''()

''(0)

()(0)'(0)

2!3!

g

g

gaggaaa





23

1

''()

'(0)

0(0)

2!3!

f

f

faaa





，

23

2

'''()

''(0)

()(0)'(0)

2!3!

g

g

gaggaaa





23

2

''()

'(0)

0(0)

2!3!

f

f

faaa



，

()()gaga3

12

1

()[''()''()]

6

a

a

ftdtaff



，

则由定理1知，存在实数

21

(,)，使得：

12

1

''()[''()''()]

2

fff，于是有：

3

3

''()()()a

a

ffxdx

a





。

证毕。

导函数和原函数的性质讨论

6

例5.设

()fx

在区间

[,]ab

上连续，在

(,)ab

内有二阶连续导数，试证：区间

(,)ab

上至少存在一点，使得：

2()

()2()()''()

24

abab

fbffaf



。

证明：将

()fa

，

()fb

分别在

2

ab

点泰勒展开，有:

2

1

1

()()'()''()()

22222

abababab

fafff





，

2

2

1

()()'()''()()

22222

ababbaba

fbfff





，

上面两式相加得，

2

12

1

()()2()[''()''()]()

222

abba

fafbfff





,

则：2

12

1

()()2()[''()''()]()

222

abba

fafbfff





，

若

12

''()''()ff，则取

12

=或，若

12

''()''()ff，则由定理1：

1



与

2



之间必存在一点，满足:

12

1

''()[''()''()]

2

fff

,故：

2()

()2()()''()

24

abab

fbffaf



。

证毕。

2.2.2导函数无第一类间断点

定理2：若

()Fx

在

I

上处处可导，且记'()()Fxfx，则对于

0

Ix，有：

()fx

在

0

x

点若不连续，则

0

x必为

()fx

的第二类间断点。

注：对于函数的间断点，将左、右极限皆存在的间断点称为第一类间断点，至少有一

侧极限不存在的间断点称为函数的第二类间断点。

下面给出导函数无第一类间断点的证明：

证明：

（1）假设导函数

()fx

在

I

上存在第一类间断点

0

x，则由导函数定义有：

00

00

000

00

()()'()()

()'()'()limlim

xxxx

FxFFx

fF

xx

xx

xxFx

xx













0

0

lim()(0)

xx

fxf



，

导函数和原函数的性质讨论

7

同理有

0

()fx=

0

(0)fx，

则得到：

0

(0)fx=

0

(0)fx=

0

()fx，显然与

0

x为第一类间断点矛盾，

所以，导函数

()fx

在区间

I

上不存在第一类间断点。

（2）我们还可以继续证明，若

0

x为

()fx

的第二类间断点，则只能为第二类间

断点中的振荡情形：

若

0

x是

'()fx

的无穷间断点，则不妨设

0

lim'()

xx

fx



，

0

'()fxA，则有：

取正实数M，使得

||1MA

，由

0

lim'()

xx

fx



知：存在正实数

1

N，

当

01

0xxN时，有（1）式成立：

|'()|fxM

（1）

由

0

'()fx=A，根据导数的定义有：

0

0

0

()()

lim

xx

fxfx

A

xx







，则显然存在正实数

21

NN，使得：对于正数=1有：

当

02

0xxN时，0

0

()()

(,)

fxfx

OA

xx









恒成立，则由中值定理得：

存在

0

(,)xx满足：

'()AfA

，从而有：

|'()|||1fA

（2）

显然满足：

01

0xN，则由（1）知有下式成立：

|'()|||1fMA

（3）

显然（2）与（3）矛盾，故假设不成立，

所以，导函数的间断点不能是无穷间断点。

若

0

x为()fx的第二类间断点，则只能为第二类间断点中的振荡情形。

证毕。

由上述证明过程可知，导函数在其定义域内的任意点，要么连续，要么在该导

导函数和原函数的性质讨论

8

数值上下振荡（导函数

'()fx

的值不可能“跳跃”，所谓跳跃，通常是指左、右极限的

差值不为零，而当导函数的左、右极限不存在时，根据介值性，显然导数值对其两侧

的值具有拉动作用）。

即有：若

()Fx

在区间

I

上处处可导，记

'()()Fxfx

，则对

0

Ix，有：

()fx

要

么在

0

x点连续，要么在

0

()fx附近振荡。

注：当提到这里所述的导函数间断点特性时，一定是以导函数在定义域内处处存

在为前提的，例如：

()||fxx

，当

0x

时，

'()1fx

；当

0x

时，

'()1fx

，则

0x

便是

'()fx

的第一类间断点，这与我们的结论是不矛盾的，因为，该函数在x=0点不

可导，即导函数

'()fx

在该点无定义。

定理3：设函数

()fx

在区间

(,)ab

内可导，则对

(,)ab

内任意一点

0

x至少存在两个点列

{

n



}和{

n



}，其中，

n



0

0()xn，

0

0()

n

xn，使得：

0

lim'()lim'()'()

nn

nn

fffx





证明：

取点列{

n

x}（

0n

xx），使：

0

0()

n

nxx，则对每一个

n

x，存在

n



使得：

0nn

xx，且0

0

()()

'()n

n

n

fxfx

f

xx







，

令n，左端为增量比极限，等于

0

'()fx，而显然有：

0

0

n

x，

由此便得到{

n



}，有：

n



0

0()xn，使得

0

lim'()'()

n

n

ffx





，

同理可证{

n



}的存在性。

证毕。

定理3对定理2做了适当的补充，说明了当

0

x是导函数'()fx的振荡间断点时，

振荡必然要向

0

'()fx回归，而不可能远离导数值

0

'()fx振荡。那么，如果振荡发生在

导数值两侧（即存在第二类间断点），导函数将无数次的“达到”该导数值。

利用导函数没有第一类间断点这一性质，可以间接说明导函数的连续性等状态：

导函数和原函数的性质讨论

9

例6.若

()fx

在

(,)ab

内可导，导函数

'()fx

在

(,)ab

内单调，则：

'()fx

在

(,)ab

内

连续。

证明：

'()fx

为单调函数，则在

(,)ab

上任意一点，

'()fx

的左、右极限存在，

则

(,)ab

上任意一点不可能是

'()fx

的第二类间断点，于是由定理2知：

(,)ab

上任意一点皆是

'()fx

的连续点，

即

'()fx

在

(,)ab

内连续。

证毕。

例7.设函数

()Fx

在

[0,1]

上处处可导，导函数

'()()()()Fxfxgxhx

，其中

()gx，()hx

均为单调函数，并且

()0fx

，试证：存在常数

0c

，对于

0

[,01]x，

有：

0

()fxc。

证明：对

0

[,01]x，由

()gx

，

()hx

皆是单调函数可知：

()gx，()hx

在

0

x的单侧极限皆存在，则，

()fx

在x0

的单侧极限皆存在，故由定理2知：

0

x点不是导函数()fx的间断点，

由

0

x任意性知，

()fx

在[0,1]上为连续函数，闭区间上连续函数必可取到最小

值，记为：

()fa

，由题知

0a

，故取c满足：

0ca

，即为所求。

证毕。

例8.

||,0

()

1,0

xx

fx

x













证明：不存在一个以

()fx

为导函数的原函数。

证明：由

00

lim()lim()(0)

xx

fxfxf



，知

0x为

()fx

的第一类间断点，则由定理2知:

()fx

不是零点邻域上的导函数。

证毕。

例9.求证：

()||fxx

在点0x处不可导。

导函数和原函数的性质讨论

10

证明：依题，当

0x

时有

,0

()

,0

xx

fx

xx













，则有

1,0

'()

1,0

x

fx

x













，

显然，

0x

是

'()fx

的第一类间断点，

则可知：

()fx

在

0x

点导数不存在。

证毕。

2.2.3导函数的极限

定理4：设函数

()Fx

在区间

[,]ab

上连续，且当xa时，存在有限导数

'()Fx

，如果存

在极限

0

lim'()

xa

FxA



,那么，

()Fx

在

a

点的右导数为A，即'()FaA



。

证明：

由拉格朗日中值定理有，当

(0,]xba

时下式恒成立：

()()

'()

FaxFa

Fax

x







（1）

其中，01，则易见，当0x时由于的有界性，ax趋于a，则（1）

式的右端趋于极限

A

，即左端亦趋近于

A

，由此便证明了

()Fx

在a点的右导数

为

A

，同理亦可证

()Fx

在点a的左导数情况。

证毕。

由定理4及其证明，我们可以直接得到推论2如下:

推论2：设函数

()fx

在区间

(,)ab

连续，在

(,)ac

及

(,)cb

内可导，若导函数

'()fx

在xc

处存在极限，值为

A

，则函数

()fx

在c点可导，且

'()fcA

。

证明：

根据定理4，分别讨论区间(,]ac和[,)cb可得：'()'()fcfcA



，

故函数()fx在c点可导，且'()fcA。

证毕。

这一推论为我们在求导数，尤其是讨论分段函数分段点的导数问题等应用中提供

了方便：

导函数和原函数的性质讨论

11

例10.证明函数

,0

()

ln(1),0

xx

fx

xx













在点0x处可导，并求

'(0)f

证明：当0x时，有：

,0

()

ln(1),0

xx

fx

xx













，可得：

0

lim'()1

x

fx



，故由推论2可知，

()fx

在点0x可导，且

'(0)1f

。

证毕。

例11.设函数

2,1

()

2,1

xx

fx

xx













，求

'()fx

。

解：在各开区间分别求导有：

当

1x

时，

'()2fxx

，

当

1x

时，

'()1fx

，

则

()fx

在

1x

处不可导，否则

()fx

的导函数在

(,)

可表为：

2,1

'()'(1),1

1,1

xx

fxfx

x

















，显然，这时1x为'()fx的第一类间断点，由定理

2知这是不可能的，故，

2,1

'()

1,1

xx

fx

x













，在1x点无定义。

例12.设

sincos3,0

()

,0x

axbxx

fx

abex













，试确定

,ab

的值，使函数

()fx

处处

可导。

解：依题可得0x时，有：'()fx=cossinaxbx，

()fx

可导，

0x时，有：'()fx=xbe

，()fx可导，

则根据推论2可知，要

()fx

处处可导即是要求：

(00)(00)

(0)(0)(0

''

)

ff

fff











成立，

导函数和原函数的性质讨论

12

则代入公式可解得：

1,1ab

。

证毕。

类似的有：

例13.设函数

0

0

2,

()

,

xx

fx

axbxx

x

















，在

0

xx

点连续且可导，求a，

b

的值。

解：该题与例12完全类似，关键在于判断导函数在

0

x点的左、右两侧极限相

等。

由例12，例13可以看出，借由推论2来解类似题目要比我们直接按定义通过增

量比来判断左、右导数的解法要简便的多。

3原函数的两个性质

由2.1给出的定义知，

()Fx

为区间

I

上的原函数即表明

()Fx

在区间

I

上处处可

导，对于这样的函数，这里总结了两个性质如下：

3.1性质一

定理5：设

()fx

与

()gx

在闭区间

[,]ab

上连续，且在开区间

(,)ab

内可导，

()gx

在闭区

间

[,]ab

上严格单调且'()gx恒不为零，那么对

1

(,)xab，存在

2

[,]xab，使得下面

两式之一成立：

21

12

21

()()

()()

,

()()()()

fxfx

fbfa

xx

gbgagxgx









或，

2

12

2

'()

()()

,

()()'()

fx

fbfa

xx

gbgagx







。

证明：

设：

1

1

1

1

1

1

()()

,

()()

'()

,

'()

()

fxfx

xx

gxgx

fx

xx

gx

Fx



















，则

()Fx

在

[,]ab

连续，记：

max()|[,],min()|[,]MFxxabmFxxab，

导函数和原函数的性质讨论

13

则有

()mFaM

与

()mFbM

，即：

1

1

()()

()()

fafx

mM

gagx







与1

1

()()

()()

fbfx

mM

gbgx







，（1）

不妨设

()gx

在闭区间

[,]ab

上严格单调递增且

'()gx

恒不为零，即：

1

()()()gagxgb，

则（1）式可变为：

111

(()())()()(()())mgxgafxfaMgxga，（2）

111

(()())()()(()())mgbgxfbfxMgbgx，（3）

（2）+（3）整理得：

()()

()()

fbfa

mM

gbga







（4）

根据连续函数介值性有：存在

2

[,]xab，使得下式成立：

2

()()

()

()()

fafb

Fx

gagb







（5）

即是欲证结论的等价形式。

证毕。

3.2性质二

定理6：设

()fx

与

()gx

在闭区间

[,]ab

上连续，在开区间

(,)ab

内可导，

()gx

在闭区间

[,]ab

上严格单调且'()gx恒不为零，则存在

1

x，

2

x，满足

12

[,](,)xxab，使得下式

成立：21

21

()()

()()

()()()()

fxfx

fbfa

gbgagxgx









。

证明：

对

1

(,),xab由定理5知，当21

12

21

()()

()()

,

()()()()

fxfx

fbfa

xx

gbgagxgx









成立时，

若

2

x

,ab

，取

1

x，

2

x中较小的为

1

x，较大的为

2

x，则命题得证，否则：

导函数和原函数的性质讨论

14

对

1

(,),xab由定理5知，当21

12

21

()()

()()

,

()()()()

fxfx

fbfa

xx

gbgagxgx









成立时，

且

2

xa，或

2

xb，即：1

1

()()

()()

()()()()

fafx

fbfa

gbgagagx









，或

1

1

()()

()()

()()()()

fbfx

fbfa

gbgagbgx









，或当2

12

2

'()

()()

,

()()'()

fx

fbfa

xx

gbgagx







成立时，

由

1

x的任意性知此三种情形均有：

()()

()()

()()

fbfa

fxgxc

gbga







，（

c

为常数）

在

(,)ab

内恒成立，则只要任取

12

,(,)xxab，且

12

xx，

代入上式所得相减即得到：21

21

()()

()()

()()()()

fxfx

fbfa

gbgagxgx









。

证毕。

4导函数与原函数的关系

根据第2节的几个定理我们可以得到如下三个推论：

推论3：设

()Fx

在区间

I

上处处可导，记'()()Fxfx，若

()fx

在点

0

xI的极限存在，

则

()fx

在

0

x点连续。

证明：

由定理2的证明可知导函数

()fx

在某点极限存在且有定义，则该极限

值必与函数值相等，即在该点连续.

证毕。

推论4：若

()fx

在区间

I

上不具有介值性，则

()fx

在

I

上不存在原函数。

证明：由定理1直接可证得。

推论5：若函数

()fx

在区间

I

上存在第一类间断点或无穷间断点，那么必有：区间

I

上不存在函数

()Fx

，使得：'()()Fxfx。

证明：由定理2直接可证得。

导函数和原函数的性质讨论

15

例14.设

2

1

sin,0

()

0,0

xx

fx

x

x

















，求证：

()fx

在

(,)

上可导，但0x是

'()fx

的第二类间断点。

证明：当

0x

时，由导数运算法则知：

11

'()2sincosfxx

xx



当

0x

时，有：

2

00

1

sin0

1

'(0)limlimsin0

0xx

x

x

fx

xx







故

()fx

在

0x

点可导，

而

00

11

lim'()lim(2sincos)

xx

fxx

xx



，

但

0

1

lim2sin0

x

x

x



，

0

1

limcos

xx

不存在，从而极限不存在，

0x

为第二类间断

点。

证毕。

5函数性质在导函数与其原函数之间的交互关系

这一小节，将讨论函数的一些基本性质、属性，在导函数和其对应的原函数之间

的交互关系，这些结论对于我们在解题，和对函数性质的快速分析上有重要作用。在

整个第5节中我们假设前提：函数

()Fx

在所讨论区间上处处可导，且有

'()()Fxfx

，

那么关于各性质我们有如下结论：

5.1单调性：（i）

()Fx

为凸的或凹的单调函数时，

()fx

必单调；

（ii）

()fx

为不变号的单调函数时，

()Fx

必单调；

（iii）单调性在二者之间不传递。

证明：

（i）由函数凹、凸的特性可知，当

()Fx

确定为凸（或凹）函数时，不论单调

性如何，都将得到：

()fx

为单调递减（或递增）函数，即

()fx

必单调；

（ii）不妨设

()fx0，亦即是'()Fx0，则不论()fx单调与否，

()Fx

为区间

上的单调增函数，

()fx

非正时同理可证；

（iii）单调性不能互相传递，有例题如下：

导函数和原函数的性质讨论

16

例15.设2()FxxC（C为常数）。则有：

()Fx

不是R上的单调函数，

()2fxx

是R上的单调递增函数。

例16.设

()fx

=2x

，xR。则有：

()fx

不是

R

上的单调函数，

()Fx=3

1

3

xC

是

R

上的单调递增函数。

5.2有界性：（i）

()Fx

在

(,)ab

无界时，

()fx

必无界；

（ii）

()fx

在

(,)ab

无界时，

()Fx

不一定无界；

（iii）有界性在二者之间不传递。

证明：

（i）设存在常数

N

使得,对

(,)xab

，有：

|()|fxN

，

取

(,)dab

，则对

(,)xab

，有：

|()()||()|||()FxFdfxdNba

，

其中是介于

x

与d之间的值，又：

|()()||()||()|FxFdFxFd

，

故有：

|()||()|()FxFdNba

，

显然与

()Fx

在

(,)ab

无界矛盾，则

()fx

无界；

（ii），（iii）给出反例以支持结论：

例17.设

1

()sin,(0,1)Fxxx

x



。则有：

()Fx

有界，

()fx

=

111

sincos

xxx



在

(0,1)

上无界。

例18.设

()fx

=

1

x

，

[1,)x

。则有：

()fx

有界，

()lnFxx

在

[1,)

无界。

5.3奇偶性：（i）

()Fx

为奇（偶）函数时，

()fx

为偶（奇）函数；

（ii）

()fx

为奇（偶）函数时，

()Fx

可以表为一个偶（奇）函数与一

常数之和。

证明：

（i）设

()Fx

为偶函数，则

()Fx

=

()Fx

，由复合函数求导：

导函数和原函数的性质讨论

17

'()'()FxFx

，即

()fx

=

()fx

，

()fx

为奇函数，

同理可证

()Fx

为奇的情况；

（ii）设

()fx

为偶函数，则

()fx

=

()fx

，即

'()Fx='()Fx

，

两边积分有：

'()'()'()()FxdxFxdxFxdx，得:

()()FxFxC

，同理可证

()fx

为奇的情况。

例19.

()sinfxx

是奇函数，

(sin)'cosxx

，则

'()fx

是偶函数。

例20.复合函数

()yfu

与

()ugx

在相应区间上可导，导函数

'()gx

，'[()]

u

fgx

对于x来说，奇偶性相同，则复合函数的导函数'

x

y是偶函数；若

'()gx

，'[()]

u

fgx对

于

x

来说，奇偶性相异，则复合函数的导函数'

x

y是奇函数。

证明：依题，对复合函数

(())yfgx

关于

x

进行求导得：

''[()]'()

xu

yfgxgx，已知

'()gx

，'[()]

u

fgx关于

x

奇偶性相同，则：

两个奇（偶）函数之积为偶函数，故'

x

y是偶函数；

同理可证奇偶性相异的情况。

证毕。

5.4周期性：（i）

()Fx

是周期为

T

的函数时，

()fx

也是周期为

T

的函数；

（ii）若

()fx

为可积的周期为

T

的函数，且

()(0)FTF

，则

()Fx

也

是周期为

T

的函数；

（iii）若

()Fx

为R上的非常值周期函数，

()fx

为仅有有限个第二类

间断点的周期函数（个数为零时即是连续函数），则

()Fx

与

()fx

的基

本周期必相同。

证明：

（i）已知

()()FxTFx

，则两边求导有：'()'()FxTFx，即：

()()fxTfx

，即：()fx是周期为T的函数；

导函数和原函数的性质讨论

18

（ii）已知

()fx

为可积函数，则可令:

0

()()()()()()(0)()xTxT

aa

gxTftdtftdtftdtgxFTFgx，

故

()gx

是周期为

T

的函数，又：()()()()()

x

a

FxFaftdtFagx，

则

()Fx

也是周期为

T

的函数；

（iii）已知

()Fx

是非常值的周期函数，则不妨设

()Fx

的基本周期为

1

T，

()fx

只有有限个第二类间断点，则不妨设

()fx

的基本周期为

2

T，

那么由前可知，

1

T一定是

()fx

的周期，故

12

TkT，

k

为正整数，且

12

TT，

2

2

22

21222

22

(1)

22

2

00

2

[(0)()]()()()()

[()(1)]()

()(1)()(1)[()(0)]

kk

iT

iT

ii

k

TT

i

FFTFTFTFkTFT

FiTFiTftdt

ftdtkftdtkFTF





















于是有：

2

[()(0)]0kFTF，故

2

()(0)FTF，即

2

T也是

()Fx

的周期，

则

12

TT，又前已证

12

TT，所以必有：

12

TT。

证毕。

5.5极限：（i）

()Fx

在

0

x点有极限，则：

()fx

在

0

x点未必有极限；

（ii）

()fx

在

0

x点有极限，则：

()Fx

在

0

x点必有极限。

证明：

（ii）的结论由导数定义是显见的，关于（i）有例题如下：

例21.设：

2

2

1

cos,(0,1]

()

0,0

xx

Fx

x

x

















，则22

111

2cos2sin,(0,1]

()

0,0

xx

fx

xxx

x

















，

显然在0x点，

()Fx

极限存在，

()fx

无极限。

5.6间断点：

()Fx

无间断点，

()fx

可能无间断点，可能有第二类间断点。

证明：见定理2。

导函数和原函数的性质讨论

19

5.7可微性：

()Fx

必可微，

()fx

不一定可微。

证明：

由定义知，结论显然成立。例17中在

[0,1]

上

()Fx

可微，

()fx

不可微（

0x

为

间断点）。

5.8极值：极值在

()Fx

与

()fx

之间不相互传递。

例22.设2

432

(),[1,)Fxxx

x



，则有：

6x

是

()Fx

的极小值点，但

2

432

()2fxx

x



在

6x

处无极值。

例23.设2(),fxxxR，则有：

()fx

在

0x

点取极小值，

()Fx

=3

1

3

x

在

0x

点无极值。

5.9凸性：凸性在

()Fx

与

()fx

之间不相互传递。

例24.设4()Fxx，则有：

在

[1,1]

上，

()Fx

具有凸性，()fx

=4x3不具凸性。

例25.设2()3fxx，则有：

在

[1,1]

上，

()fx

具有凸性，

()Fx

=x3不具凸性。

5.10可积性：（i）

()fx

可积，则：

()Fx

必可积；

（ii）

()Fx

可积，则：

()fx

不一定可积。

证明：

（i）因为

()Fx

可导，则必连续，那么必可积（见6.2.2）；

（ii）例17表明，

()Fx

在[0,1]上连续，故

()Fx

可积，但

()fx

在[0,1]上为无

界函数，故不可积。

6函数可积与原函数存在的关系

在论文的第二节中给出了导函数的定义，我们知道，对于区间

I

上任一处处可导

函数

()fx

求导，所得即是该区间上的一个导函数。那么对于任意给定的一个函数，

在满足什么样的条件时可以看做是导函数（即在区间上存在原函数）是我们这一节需

导函数和原函数的性质讨论

20

要讨论的内容（

()fx

只有确定为导函数后，前面所述的有关导函数的性质才能使用）。

函数通过求导得到导函数，相应的，在微积分中，定义了求导的逆运算:积分。

那么，函数

()fx

可积时是否一定存在原函数，原函数存在的函数

()fx

（即

()fx

可做

导函数）又是否一定可积，将在这一节进行讨论并给出一些结论。

注：本节所提到的积分皆是指黎曼积分。

6.1首先介绍两个引理

关于定积分有著名的牛顿-莱布尼茨公式：

Newton-Leibniz公式：设

()fx

在

[,]ab

上连续，

()Fx

是

()fx

的任意一个原函数，即：

'()()Fxfx

，

[,]xab

，那么()()()b

a

fxdxFbFa。

将牛-莱公式的条件进一步弱化，我们来证明如下定理：

引理2：设

'()fx

在

[,]ab

上可积，

()fx

是

'()fx

的任意一个原函数，那么

'()()()b

a

fxdxfbfa。

证明：

设T是[,]ab的任一分法：T：

01

...

n

axxxb,记

1,2,...,

max

i

in

x



，其中

1iii

xxx



，则：

1

1

()()[()()]

n

ii

i

fbfafxfx





，

又

()fx

在

[,]ab

上可导，

则由拉格朗日中值定理知，存在

1

(,)

iii

xx



，使

11

()()'()()(1,2,...,)

iiiii

fxfxfxxin



，从而，

1

1

()()'()()

n

iii

i

fbfafxx





，又'()fx在[a，b]上可积，

而上式右端恰为'()fx在

[,]ab

上属于分法T的一个积分和，

故当0时，有：

1

0

1

()()lim'()()'()

k

b

iii

a

i

fbfafxxfxdx













.

证毕。

导函数和原函数的性质讨论

21

引理3：若

()fx

为区间

I

上的单调函数，则

()fx

在

0

xI存在单侧极限。

这一节分为可积函数的原函数存在性和原函数存在函数的可积性两部分来论述。

6.2可积函数的原函数的存在性

我们讨论如下三类常见的黎曼可积函数类型。为方便起见，分别将它们称作：第

一类可积函数，第二类可积函数，第三类可积函数：

第一类可积函数：若

()fx

在

[,]ab

上有界且间断点个数有限，则

()fx

在

[,]ab

上可

积；

第二类可积函数：若

()fx

在

[,]ab

上连续，则

()fx

在

[,]ab

上可积；

第三类可积函数：若

()fx

在

[,]ab

上单调，则

()fx

在

[,]ab

上可积。

按照上述的定义，我们有相关的结论如下：

6.2.1第一类可积函数

对于第一类可积函数，依据其间断点的不同类型有：

（i）若

()fx

的间断点是第一类间断点，则

()fx

的原函数必不存在；

（ii）若

()fx

的间断点是第二类间断点，则

()fx

的原函数可能存在，可能不存

在。

证明：

（i）由定理2，推论5，皆可直接得出

()fx

有一类间断点时原函数不存在；

（ii）例26和例27说明了当间断点是第二类间断点时原函数存在的不确定性：

例26.设

11

2sincos,0

()

0,0

xx

fx

xx

x

















，则有：

因

()fx

在[0,1]上有界，且仅有一个第二类间断点0x，因此

()fx

在

[0,1]上可积，令

2

1

sin,0

()

0,0

xx

Fx

x

x

















，则有：

'()()Fxfx在[0,1]上成立，即

()fx

在[0,1]上存在原函数

()Fx。

导函数和原函数的性质讨论

22

例27.设

1

sinsgn,0,1

()

1

0,0,1

xx

fx

x

x



















，则有：

因

()fx

在

[1,1]

上有界，且仅有一个第一类间断点0x和一个第二类间断点

1x，从而

()fx

在

[1,1]

上可积，但由推论5知，由于第一类间断点0x存

在，则

()fx

在区间

[1,1]

上不存在原函数。

6.2.2第二类可积函数

第二类可积函数的原函数必存在。且有基本定理如下：

定理7：若

()fx

在

[,]ab

上连续，则函数()()

x

a

Gxftdt在

[,]ab

上可导，且

'()()Gxfx

。

证明：

显然，()(),

xx

a

Gxxftdt于是：

()()11

[()()]()xxxxx

aax

GxxGx

ftdtftdtftdt

xxx



，

由积分第一中值定理知，在x与xx之间必存在一点，使：

()()

xx

x

ftdtfx，则

()()

()

GxxGx

f

x







，

对上式两端取极限x0，于是xxx，

又介于

x

与xx之间，所以这时必定有：x，于是：

00

()()

limlim()lim()()

xxx

GxxGx

fffx

x









，故

'()()Gxfx

。

证毕。

6.2.3第三类可积函数

对于第三类可积函数，依据其是否连续有：

（i）若

()fx

在

[,]ab

上连续，则

()fx

在

[,]ab

上必存在原函数；

（ii）若

()fx

在

[,]ab

不连续，则

()fx

在

[,]ab

上必不存在原函数。

证明：

（i）由6.2.2可得该结论；

导函数和原函数的性质讨论

23

（ii）由引理3知，

()fx

若不连续则间断点必为第一类间断点，

则根据推论5：

()fx

在

[,]ab

上必不存在原函数。

前面我们已经证明，如果

()fx

在

[,]ab

上连续，那么

()fx

在

[,]ab

上一定是可积的；

而如果

()fx

在

[,]ab

上不连续，那么一般来讲，即使

()fx

在

[,]ab

上存在原函数

()Fx

，

()fx

也不一定在

[,]ab

上可积，例如：

例28.设：22

121

2sincos,0

()

0,0

xx

fx

xxx

x

















，则有：

记

2

2

1

sin,0

()

0,0

xx

Fx

x

x

















，显然

()Fx

即是

()fx

在（-1,1）上的原函数，

但因

()fx

在[-1,1]上无界，故：

()fx

在[-1,1]上不可积。

6.2.4可积函数的变上限积分与原函数的关系

若

()fx

在

[,]ab

上可积，则变上限积分()

x

a

ftdt（即使处处可导）不一定是其

原函数。

例29.区间[0,1]上的黎曼函数：

1

,(,,)

()

0,0,1

pp

xpq

qqq

fx

x

















为正整数为既约分数

，无理数

，则有：

（i）

()fx

的所有不连续点做成的集是零测度集，因此

()fx

在[0,1]上可积；

（ii）已证得

()fx

在[0,1]上可积，则可求得：

0

()()0,[0,1]xgxftdtx，故

()gx

在[0,1]上处处可导，有：'()0gx，

显然，在稠密集Q{0,1}上有：'()()gxfx，故

()gx

不是

()fx

的原函数。

注：例29的证明中，在证得黎曼函数在区间[0,1]上的可积性后，亦可由：在区间

[0,1]上任一非零有理点皆是

()fx

的第一类间断点，直接根据定理2得出结论：()fx

在[0,1]上的原函数不存在。

导函数和原函数的性质讨论

24

定理8：若

()fx

在

[,]ab

上可积，且存在一个原函数

()Fx

，那么变上限积分()

x

a

ftdt

一定是

()fx

的一个原函数。

证明：

由Newton-Leibniz公式知：()()()

b

a

ftdtFbFa，

把上限b看做变量则有：()()(),[,]

x

a

ftdtFxFaxab，可见：

变上限积分()

x

a

ftdt与

()fx

的原函数

()Fx

只差一个常数

()Fa

，显然：

()x

a

ftdt是

()fx

的一个原函数。

证毕。

6.3存在原函数的函数的可积性

定理9：设

()fx

在

[,]ab

上可导，则

'()fx

在

[,]ab

上可积的充要条件是：存在

[,]ab

上

的可积函数

()hx

，使得：()()()

x

a

fxfahtdt。

证明：

必要性：令

()hx

=

'()fx

，则()()'()

x

a

fxfaftdt显然成立。

充分性：由于

()hx

在

[,]ab

上可积，则对

0,

有分法

T

：

01

...

n

axxxb，使得：

1

n

h

ii

i

x



，其中

1iii

xxx



，

下证，对于分法

T

还有：'

1

n

f

ii

i

x



成立，

只需证对

(1),iin

皆有：'fh

ii

：

对[,]xab，取x，使得：xx[,]ab，则，

()()1

()xx

x

yfxxfx

htdt

xxx



，

因为

()hx

在[a，b]可积，则在[a，b]上有界，于是在

1

[,]

ii

xx



上有上、下确界。

记：

1

inf{()|[,]}

iii

mhxxxx



，

1

sup{()|[,]}

iii

Mhxxxx



，

则当

1

[,]

ii

xxx



时，有()

ii

mhxM，令x足够小，使得：

1

[,]

ii

xxxx



，

导函数和原函数的性质讨论

25

那么由定积分不等式可得:

()(0)xxxxxx

iiii

xxx

mxmdthtdtMdtMxx或，

()(0)xxxxxx

iiii

xxx

mxmdthtdtMdtMxx，则：

不论x是正或负，皆有

1

()xx

ii

x

y

mhtdtM

xx

，令x0

有：

'()

ii

mfxM，

1

[,]

ii

xxx



，由此可得：'fh

iiii

Mm，从而：

'

1

n

f

ii

i

x





1

n

h

ii

i

x



，

故：

'()fx

在

[,]ab

上可积.

证毕。

6.4Dirichlet函数

最后我们讨论Dirichlet函数是否可积和原函数是否存在，以此例补充说明函数

可积与原函数存在之间是不具有必然的相互确定关系的。

例30.

1,

()

0,

x

Dx

x









为有理数

为无理数

证明：

显然

()Dx

在任意区间上不可积，又:

()Dx

在任意区间不具有介值性，

则

()Dx

于任意区间上原函数也不存在。

证毕。

注：这也指出，要注意Newton-Leibniz公式的运用条件，即：函数可积和原函

数存在要同时成立。

结束语

本论文以导函数为核心，尽可能全面的总结、讨论了导函数的几个不同于一般函

数的较为特殊的性质，分析了函数的一些基本属性、性质在导函数及其原函数之间的

传递情况，以及函数可积与原函数存在之间的关系。通过对这些问题的探讨、总结，

得出了一些相关的结论、定理。文中的例题也可以看出，这些结论对于更好的认识和

理解导函数的相关问题，以及解决数学分析中的很多相关问题都有重要作用。

导函数和原函数的性质讨论

26

致谢

经过两个多月的时间，我终于完成了这篇论文。首先我要向给予我莫大的关心帮

助与悉心指导的李自强老师表示衷心的感谢。

本论文是在河南工程学院理学院的李自强老师的悉心指导下完成的。李老师作为

一名优秀的，经验丰富的教师，具有丰富的学术理论知识，从论文的选题到整个写作

过程中给予了我很大的帮助。

在整个论文的写作过程中，李老师给予我耐心的指导与帮助，同时也对我提出了

严格的要求，引导我不断开阔思路，思考问题，并不厌其烦的为我解答在论文写作过

程中遇到的问题，为我指点迷津，精心点拨。李老师渊博的知识，严谨的治学态度和

敏捷的思维，给我留下了深刻的印象，不仅让我在学术知识上受益匪浅，也必将在我

今后的工作生活中产生积极的影响。再一次向李老师表示衷心的感谢并致以崇高的敬

意。

四年的大学生活即将结束，这四年里，我收获了很多，学到了很多，不论是知识

水平还是为人做事，都得到了极大的提高与进步。这些都离不开每一位尊敬的老师给

予我的谆谆教导和鼓励帮助，在此我要向各位师长致以深深的谢意。

不仅各位师长，在学习生活中，亲爱的同学们也不断的给予我帮助和鼓励，让我

得以更好的生活与学习，请大家接受我诚挚的谢意。

此外，向我的父亲母亲致谢，感谢你们的理解与支持。

最后，衷心的感谢百忙之中评阅论文，参加答辩的各位老师。

导函数和原函数的性质讨论

27

参考文献

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