圆方程公式

第三章直线与方程

直线的倾斜角和斜率

倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成

的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.

2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=

tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那

么它们平行，即

注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即

如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜

率互为负倒数，那么它们互相垂直，即：

1212

1llkkg

3.2.1直线的点斜式方程

1、直线的点斜式方程：直线l经过点),(

000

yxP，且斜率为k)(

00

xxkyy

2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(bbkxy

3.2.2直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(

222211

yxPxxP其中),(

2121

yyxx

y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中

0,0ba

3.2.3直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

22

122221

PPxxyy

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0

3420

2220

xy

xy











得解方程组

x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2两点间距离：

3.3.3点到直线的距离公式

1．点到直线距离公式：

点),(

00

yxP到直线0:CByAxl的距离为：

22

00

BA

CByAx

d







2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线

1

l和

2

l的一般式方程为

1

l：

0

1

CByAx，

2

l：0

2

CByAx，则

1

l与

2

l的距离为

22

21

BA

CC

d







第四章圆与方程

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：

222()()xaybr圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点

00

(,)Mxy与圆

222()()xaybr的关系的判断方法：

（1）

22

00

()()xayb>

2r，点在圆外（2）

22

00

()()xayb=

2r，点在圆上

（3）

22

00

()()xayb<

2r，点在圆内

4.1.2圆的一般方程

1、圆的一般方程：

022FEyDxyx

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指

出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)

2

,

2

(

ED



到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；

（3）当rd时，直线l与圆C相交；

4.2.2圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当

21

rrl时，圆

1

C与圆

2

C相离；（2）当

21

rrl时，圆

1

C与圆

2

C外切；

（3）当||

21

rr

21

rrl时，圆

1

C与圆

2

C相交；

（4）当||

21

rrl时，圆

1

C与圆

2

C内切；（5）当||

21

rrl时，圆

1

C与圆

2

C内含；

4.2.3直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为

代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组),,(zyx，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、

z轴上的坐标

2、有序实数组),,(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系

中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z

叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点),,(

1111

zyxP到点),,(

2222

zyxP之间的距离公式

O

y

x

M

M'

R

P

Q

O

y

z

x

M

P

1

P

2

N

M

1

N

2

N

1

M

2

H