在实数范围内分解因式

分解因式及在实数范围内分解因式

分解因式及在实数范围内分解因式

因式分解的常用方法

一、提公因式法•

二、运用公式法•

三、分组分解法•

(一)分组后能直接提公因式(二)分组后能直接运用公式

四、十字相乘法•

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式---x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。

(二)二次项系数不为1的二次三项式----ax2bxc

(三)二次项系数为1的齐次多项式

(四)二次项系数不为1的齐次多项式

五、换元法。

六、添项、拆项、配方法。

七、待定系数法。

八、在实数范围内分解因式

因式分解巩固提高

一•填空题

I.如果二次三项式

x2-ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为(只填写一

个你认为正确的答案即可)________________.

2•把x2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k可以取的整数是_______________.(写

出符合要求的三个整数)•

2

3.分解因式：(x+2)(x+4)+x-4=_______________•

4.因式分解(x+1)4+(x+3)4-272=_________________•

5.分解因式：(1-7t-7t2-3t3)(1-2t-2t2-t3)-(t+1)6=_______________•

22

6.分解因式：18ax-21axy+5ay=_____________.

7.____________________________________________________________________________

若对于一切实数x,等式x2-px+q=(x+1)(x-2)均成立，则p2-4q的值是______________________.

&在实数范围内分解因式：2x2-8X+5=2(x-—)(x--------).此结论是：__________的.

22

二.解答题

9.分解因式

(1)8a3『-12ab3c(2)-3ma3+6ma2-12ma

2222

(3)2(x-y)-x(x-y)(4)3ax-6axy+3ay(5)p-5p-36

(6)x5-x3(7)(x—1)(x—2)-6(8)a2-2ab+b2—c2

22

10.已知x-7xy+12y=0(y工0,求x:y的值.

II.(1)因式分解(2x+y)2-(x+2y)2(2)在实数范

围内分解因式x4-9.

12.把a4-6济+9在实数范围内分解因式.

分解因式及在实数范围内分解因式

42

13.把多项式9mx-6mx+m在实数范围内因式分解.

14.已知x2-x-仁0,求-x3+2x2+2007的值.

222

15.已知四个实数a,b,c,d,且a^bc若四个关系式：a+ac=4,b+bc=4,c+ac=8,

2

d+ad=8同时成立，试求a,c的值.

分解因式及在实数范围内分解因式

29.

16.已知整数a,b满足6ab=9a-10b+16，求a+b的值.

试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除.

计算：（[二）沢（1一4）%…X（1一_^）223Z2009220102

A99=n98

计算：―.

西-2100

32232012

已知：a为有理数，a+a+a+1=0，求1+a+a+a+…+a的值.

21.证明：58-1能被20至30之间的两个整数整除.

22.用因式分解进行计算

三.选择题

23.对二次三项式4x2-6xy-3y2分解

因式正确的是（）

D.（2-^y）⑵-警y）

24.将4x2-4x-1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是（

C.-6D.-8

22

△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab，则△ABC是(

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形

30.已知“十，那么多项式*-"-7x+5的值是（）

A.11B.9C.7D.5

17

.

18

.

19

.

(1)

颂9

20092-2008X2010

2.5XI9.7+3.24忽5+2.5X47.9.

V21+3A.4（対呼丫）側于y）B7（纤竽小〔竽）(x-3y-7217)(x-3^^217)C.

(2K-1-V2)(2K-1+V2)C.

25.把4x4-9在实数范围内分解因式，结果正确的是（

22

A.（2x+3）（2x-3）B.

-V2

2

(2K+1-(2x+l+72)

__)

(迈出Q(V2i_V5)

C.匕---

22

26.已知a+b=2,则a-b+4b的值是(

A.2B.3C.4D.6

232

27.如果x+x-1=0，那么代数式x+2x

D.」-]-1-

）

7的值为（）

28.

如果x2+3x-3=0,

A.0B.-3

则代数式x3+3x2-3x+3的值为（

C.3D.

-3土何

~2

B..!.「「

分解因式及在实数范围内分解因式

1

因式分解答案

1答案不唯一.

2.k的值是±17,±10,±8.

22222

3.解：(x十2)(x+4)十x-4=x十6x+8十x-4=2x+6x+4=2(x+3x+2)=2(x+2)(x+1).

4.解：令x+2=t,•••原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2(t4+6t2-135)=2(t2+l5)(t2-9)

2

=2(t+15)(t+3)(t-3)

将x+2=t代入：原式=2[(x+2)2+15](x+2+3)(x+2-3)=2(x2+4x+19)(x+5)(x-1).

32

5.解：设(t+1)=x,y=t+t+2，贝U

原式=[(2t2+t+2)-3(1+3t+3t2+t3)]-[(t2+t+2)-(1+3t+3t2+t3)]-[(t+1)3]2=(2y

-3x(y-x)-x2=2x2-5xy+2y2=(2x-y)(x-2y)=[2(t3+3t2+3t+1)-(t2+t+2)][(t3+3t2+3t+1)

2323222

-2(t+t+2)]=(2t+5t+5t)(t+t+t-3)=t(2t+5t+5)(t-1)(2t+2t+3).

2222

6.解：18ax-21axy+5ay=a(18x-21xy+5y)=a(3x-y)(6x-5y).

7.若对于一切实数x，等式x2-px+q=(x+1)(x-2)均成立，则p2-4q的值是9.

&解：I2x2-8x+5=0,•X1='：x2=：'',•2x2-8x+5=2(x-：')(x-：

1),

2222

32322

9.解：(1)8ab-12abc=4ab(2a-3bc);

(2)-3ma3+6ma2-12ma=-3ma(a2-2a+4)=-3ma(a-2)2;

2

(3)2(x-y)-x(x-y)=(x-y)(2x-2y-x)=(x-y)(x-2y);

22222

(4)3ax-6axy+3ay=3a(x-2xy+y)=3a(x-y);

(5)p2-5p-36=(p-9)(p+4);(6)x5-x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1);

2

(7)(x-1)(x-2)-6=x-3x+2-6=(x-4)(x+1);

(8)a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).

22

10.解：Tx-7xy+12y=0,•(x-3y)(x-4y)=0,•x=3y或x=4y,•x:y=3或x:

分解因式及在实数范围内分解因式

1

故a+b=-1.

y=4.

11解：(1)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=3(x+y)(x-y).

(2)原式=(x2+3)(x2-3)=(x+.)(x-^).

:a4-6a2+9=(a2-3)2=()2(a-)2.

:原式=m(9x4-6x2+1)=m(3x2-1)2=m'x+1)2(.「；x—1)2.

:•••-x3+2x2+2007=-x3+x2+x2+2007=x(-x2+x)+x2+2007①；又Tx2-x-1=0,

+x=-1②，将②代入①得，原式=x(-1)+x2+2007=-x+x2+2007=-(-x2+x)+2007③;将

②代入③得，原式=-(-1)+2007=2008.

2222

15.解：由)a+ac)-(b+bc)=4-4=0,(c+ac)-(d+ad)=8-8=0,得(a-b)(a+b+c)=0,(c-d)

(a+c+d)=0，•‘a^bc^d,•a+b+c=0,a+c+d=0,•b=d=-(a+c).又)a2+ac)+(c2+ac)=4+8=12,

(a2+ac)-(c2+ac)=4-8=-4,得二-;,

(a-c)(a+c)=-4.当」一匚L.：时，

12.解

13.解

14.解

••-

x2

当*一2伍社-护亜，解得

—竽解得

2V3

3r

16.解：由6ab=9a-10b+16,得

2b-3都为整数，

，—「；，卜:

3

.一：；，On.

33

6ab-9a+10b-15=16-15•(3a+5)(2b-3)=1.T3a+5,

3a45=l

2b-3=1

，或

2b-3=-1

，或

Lb=2

-2

b=l

•-a,b为整数.••取■

分解因式及在实数范围内分解因式

22

17.解：设两个连续偶数为2n,2n+2，则有(2n+2)-(2n)=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)X2=4

(2n+1),因为n为整数，所以4(2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4(2n+1)是4的倍数，不是8的倍

数.故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除.

18.解：(1—三)江(1—

二)X…X(L-X(1——,

22322009220102

=丄XX2X4X…xoogJXoii-即口

-叵233X00勺X010X010巨X0104取0'

_32232012,23、5―23、2009

20.解：Ia+a+a+1=01+a+a+a+…+a=1+a(1+a+a+a)+a(1+a+a+a)•••+a

(1+a+a2+a3)=1.

8444224

21.解：T5-仁(5+1)(5-1)=(5+1)(5+1)(5-1)=(5+1)X26X4.

•••58-1能被20至30之间的26和24两个整数整除.

22•解：(1)原式

20092009

200^2-(2009-1)>

<(2009+1)"20092-(200^2-1)

(2)原式=2.5X(19.7+32.4+47.9)=2.5X00=250.

24.解：因为4x2-4x-仁0的根为x仁1''：,

x2」'，所以4x2-4x-

22

仁(氐-1-近)(2i-14^2).

25.解：4x4-9=(2x2+3)(2x2-3)=(2x2+3)(陆Ijx+.二)(.■:x-:'；).

26.解：Ta+b=2,•a2-b2+4b=(a-b)(a+b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2(a+b)

=2>2=4.

27解：由x2+x-1=0得x2+x=1,•x3+2x2-7=x3+x2+x2-7=x(x2+x)+x2-7=x+x2-7=-6.

2322

28.解：当x+3x-3=0时，x+3x-3x+3=x(x+3x-3)+3=3.

9999

29解：对等式可变形为：a-2bc-c+2ab=0,(a-c)+(2ab-2bc)=0,(a+c)(a-c)+2b(a-c)

=0,(a-c)(a+c+2b)=0,Ta,b,c是厶ABC的三边，•a+c+2b>0,二ac=0,「.a=c.

19•解：原式=

泸(2-1)

210°(2-1)

=2

98-100=

=4

23.解：4x2-6xy-3y2=4[x2-丄xy+(主y)2]-3y2-

2

(°3顷…3亠顶、(°:…、“

=(2x-—y-.-y)(2x-=y+-y)=(2x-口y)(2x

4'

_,.2

16'y=4(x-—y)

4

~2~

2-_Ly2

1&

分解因式及在实数范围内分解因式

L2

30.解：TX-一二x-3x=1

X

x3-x2-7x+5=x(x2-3x)+2x2-7x+5=2x2-6x+5=2(x2-3x)+5=2+5=7