xsinxdx

一般地定积分的计算方法袁要考虑被积函数和积分区

间.根据被积函数和积分区间的特点袁采用不同的计算方法.

下面给出两个定积分公式袁可以使得某些积分的计算变得

非常容易.

如果f(x)是闭区间[-a,a]上的连续函数袁

当f(x)是奇函数时院

a

-a乙f(x)dx=0

当f(x)是偶函数时院

a

-a乙f(x)dx=2

a

0乙f(x)dx

当f(x)是非奇非偶函数时院它可以表示成一个奇函数和

一个偶函数之和袁可以简化计算.

例1

仔

-仔乙(x+cosx)3dx

=

仔

-仔乙(x3+3x2cosx+3xcos2x+cos3x)dx

=

仔

-仔乙(x3+3xcos2x)dx+

仔

-仔乙(3x2cosx+cos3x)dx

=6

仔

0乙x2+cosxdx+2

仔

0乙cos3xdx

=6

仔

0乙x2sinx+2

仔

0乙(1-sin2x)dsinx

=6

x2sinx

仔

0

-2

仔

0乙xsinxdx蓘蓡+2

sinx-

1

3

sin3x蓸蔀仔

0

=12

仔

0乙xdcosx=12

xcosx

仔

0

-

仔

0乙cosxdx蓘蓡

=-12仔-12sinx

仔

0

=-12仔.

一般地袁如果f(x)是闭区间[-a,a]上的连续函数袁则

f(x)=

1

2

f(x)+f(-x)蓘蓡+

1

2

f(x)-f(-x)蓘蓡.

其中

1

2

f(x)+f(-x)蓘蓡是偶函数袁

1

2

f(x)-f(-x)蓘蓡是奇函数遥

从而有院

a

-a乙f(x)dx=

a

-a乙1

2

f(x)+f(-x)蓘蓡dx+

a

-a乙1

2

f(x)-f(-x)蓘蓡dx

=

1

2

a

-a乙f(x)+f(-x)蓘蓡dx=

a

0乙f(x)+f(-x)蓘蓡dx.

定理1如果f(x)是闭区间[-a,a]上的连续函数袁则院

a

-a乙f(x)dx=

a

0乙f(x)+f(-x)蓘蓡dx渊1冤

此公式在适合函数f(x)+f(-x)的原函数容易求出的情况.

例2

仔

4

-仔

4乙|tanx|arctanexdx

=

仔

4

0乙[|tanx|arctanex+|tan(-x)|arctane-x]dx

=

仔

4

0乙tanx(arctanex+arctane-x)dx

=仔

2

仔

4

0乙tanxdx=

-仔

2

ln|cosx|

仔

4

0

=仔

4

ln2.

其中arctanex+arctane-x=仔

2

例3

1

-1乙dx

(1+ex)(1+x2)

=

1

0乙1

(1+ex)(1+x2)

+

1

(1+e-x)(1+(-x)2)蓘蓡dx

=

1

0乙1

(1+ex)(1+x2)

+

ex

(1+ex)(1+x2)蓘蓡dx

=

1

0乙dx

1+x2

dx=仔

4

.

下面是一道陕西省第八次大学生高等数学竞赛试题[1]渊有变形袁原题是先证明袁再计算袁更容易一些冤袁组委会给出

的解答非常繁琐.

例4

仔

2

-仔

2乙exsin2xcos2x

1+ex

dx

=

仔

2

0乙exsin2xcos2x

1+ex

+

e-xsin2(-x)cos2(-x)

1+e-x蓘蓡dx

=

仔

2

0乙exsin2xcos2x

1+ex

+

sin2xcos2x

1+ex蓘蓡dx

=

仔

2

0乙sin2xcos2xdx

=

1

8

仔

2

0乙(1-cos4x)dx

=

1

8

x-

1

4

sin4x蓸蔀仔

4

0

=仔

16

.

几个定积分公式及其应用

刘国祥

渊赤峰学院数学与统计学院袁内蒙古赤峰024000冤

摘要院根据被积函数和积分区间的特点袁给出几个定积分公式袁可以使得某些积分的计算变得非常容易.

关键词院被积函数曰积分区间曰积分公式

中图分类号院O172.2文献标识码院A文章编号院1673-260X渊2011冤08-0008-02

Vol.27No.8

Aug.2011

第27卷第8期

2011年8月

赤峰学院学报渊自然科学版冤

JournalofChifengUniversity渊NaturalScienceEdition冤

８--

.htsRerved.

例5

仔

4

-仔

4乙sin2x

1+e-x

dx

=

1

2

仔

4

-仔

4乙sin2x

1+e-x

+

sin2(-x)

1+ex蓘蓡dx

=

1

2

仔

4

-仔

4乙sin2xdx=仔

8

-

1

4

a

0乙f(x)dx

=

x=a-t

0

a乙f(a-t)d(a-t)

=

a

0乙f(a-t)dt=

a

0乙f(a-x)dx

则院

a

0乙f(x)dx=

1

2

a

0乙f(x)+f(a-x)蓘蓡dx

定理2如果f(x)是闭区间[0,a]上的连续函数袁则院

a

0乙f(x)dx=

1

2

a

0乙f(x)+f(a-x)蓘蓡dx.渊2冤

此公式在适合函数f(x)+f(a-x)的原函数容易求出的情况.

例6

仔

2

0乙sinnx

sinnx+cosnx

dx

=

1

2

仔

2

0乙sinnx

sinnx+cosnx

+

sinn仔

2

-x蓸蔀

sinn仔

2

-x蓸蔀+cosn仔

2

-x蓸蔀杉

删

山

山

山

山

山

山

山

山

煽

闪

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

dx

=

1

2

仔

2

0乙dx=仔

4

.

例7

仔

0乙x

cos2x-cos4x姨

dx

=

1

2

仔

0乙xcos2x-cos4x

姨

+(仔-x)cos2(仔-x)-cos4(仔-x)

姨蓘蓡dx

=

1

2

仔

0乙1

2

x|sin2x|+

1

2

(仔-x)|sin2x|蓘蓡dx

=

1

4

仔

0乙仔|sin2x|dx=

仔

4

仔

0乙|sin2x|dx=仔

2

.

例8

仔

2

0乙1

1+tan2011x

dx

=

1

2

仔

2

0乙1

1+tan2011x

+

1

1+tan2011仔

2

-x蓸蔀蓘蓡dx

=

1

2

仔

2

0乙dx=仔

4

.

例9

仔

2

0乙sin3x

sinx+cosx

dx

=

1

2

仔

2

0乙sin3x

sinx+cosx

+

sin3仔

2

-x蓸蔀

sin仔

2

-x蓸蔀+cos3仔

2

-x蓸蔀杉

删

山

山

山

山

山

山

山

山

煽

闪

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

dx

=

1

2

仔

2

0乙sin3x+cos3x

sinx+cosx蓘蓡dx

=

1

2

仔

2

0乙(sin2x-sinxcosx+cos2x)dx.

=

1

2

仔

2

0乙(1-

1

2

sin2x)dx=

1

2

(x+

1

4

cos2x)

仔

2

0

.

=仔

4

-

1

4

例10

仔

0乙xsinx

1+cos2x

dx

=

1

2

仔

0乙xsinx

1+cos2x

+

(仔-x)sin(仔-x)

1+cos2(仔-x)蓘蓡dx

=

1

2

仔

0乙仔sinx

1+cos2x

dx=-仔

2

arctancosx

仔

0

=仔2

4

.

这是经典著作[2]的2263题袁多部教材选用.

我们熟知的积分公式院

b

a乙f(x)dx=

b

a乙f(a+b-x)dx.

由此可以得到院

定理3如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数袁则院

b

a乙f(x)dx=

1

2

b

a乙[f(x)+f(a+b-x)]dx.渊3冤

此公式在适合函数f(x)+f(a+b-x)的原函数容易求出的情

况.

可以看出袁渊1冤和渊2冤都是渊3冤的特殊情况袁为了方便使

用袁这里单独列出.

例11

仔

3

仔

6乙cos2x

x(仔-2x)

dx

=

1

2

仔

3

仔

6乙cos2x

x(仔-2x)

+

cos2仔

6

+仔

3

-x蓸蔀

仔

6

+仔

3

-x蓸蔀仔-2

仔

6

+仔

3

-x蓸蔀蓸蔀杉

删

山

山

山

山

山

山

山

山

煽

闪

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

衫

dx

=

1

2

仔

3

仔

6乙1

x(仔-2x)

dx=

1

2仔

仔

3

仔

6乙1

x

+

2仔-2x蓘蓡dx

=

1

2仔

ln

x仔-2x

仔

3

仔

6

=

ln2仔.

例12

b

a乙x(x-a)(b-x)姨dx

=

1

2

b

a乙x(x-a)(b-x)姨+(a+b-x)(a+b-x-a)(b-a-b+x)姨

蓘蓡dx

=

1

2

(a+b)

b

a乙(x-a)(b-x)姨

dx

=

1

2

(a+b)

b

a乙b-a

2蓸蔀2

-

x-

b+a

2蓸蔀2姨dx

=

x-

a+b

2

=

b-a

2

sint

1

2

(a+b)

仔

2

-仔

2乙b-a

2

cost窑

b-a

2

costdt

=

1

4

(a+b)(b-a)2

仔

2

0乙1+cos2x

2

dx

=

1

8

(a+b)(b-a)2t+

1

2

sin2t蓘蓡仔

2

0

=仔

16

(a+b)(b-a)2.

要要要要要要要要要要要要要要要要要要要

参考文献院也1页吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京院人民教育出版

社袁1978.

９--

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