一正二定三相等

3.4

基本不等式：ab

（第一课时）

ab

2

教学设计

一、教学内容解析

（一）教材的地位和作用

本节课是人教版《数学》必修

5

第三章第四节（第一课时），基本不等式是

高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最

基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、

二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时

基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。

本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基

础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探

究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中

应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式

是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数

学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式

的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导

和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和

探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.

（二）教学目标

1.

通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和

代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维

过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；

2.

从结构、形式等方面进一步认识基本不等式；

3.

经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体

会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数

学的过程。

（三）教学重点与难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。

难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值

问题时的条件的认识。

二、学生学情分析：

在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高

中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性

质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，

条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数

4

学知识解决实际问题的要求较高，在实际问题的解决中应用广泛，是交于学生学

好数学和用好数学的好素材。

三、教学策略分析：

本节课地位很重要，鉴于这种情况，运用探究式教学方法较为合理，通过教

师适当的引导，让学生逐步体会到数形结合的神奇，并能正确的证明基本不等式，

解决实际问题，总结出“一正二定三相等”这一基本条件，并通过一些例子加深

学生对于这三个条件的认识。最后教师总结运用基本不等式解决问题策略的构

建。学生在教师的指导下，能够对课程内容进行总结和梳理，将知识形成一个网

络体系，并且能够运用基本不等式解决一些简单的实际问题。

四、教学手段

采用多媒体辅助教学。

五、教学过程

（一）均值不等式的引入

教学过程

课堂活动

1.请学生按照2人一个小组，人一个大组的方

式进行分组。

.将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个

等腰直角三角形。

3.将两个三角形斜边相对进行组合拼接。

4.从面积角度考察你所得到的图形中的不等关

系？

学生活动设计意图

通过学生自

己动手，引导

引导学生学

会从几何图

形向代数表

达式的转化，

设计一得出重要不

b

个学生容易

操作的动手

总结：矩形面积小于或等活动，让学

于两个三角形面积之和，生从动手中

等式的表示

形式，渗透数

形结合的数

学思想，并让

ab当两个三角形面积相等时感知数学原

取等号。理，从探究

学生学习归

纳总结，激发

a

数学表达式：中发现数学

原理。

学生对学习

新知识的兴

趣

（

2

）

a,bR,a2b22ab

强调不等式成立的条件

a

b

当且仅当

a=b

时取等

a2b22ab



ab

2



ab

20

a2b22ab

若

a,bR

，则

ab

（当且仅当

ab

时，等

（二）均值不等式的形成

教学过程设计

学生活动设计意图

由

特

殊

到

一

般

你能证明上面的不等式吗？

证明不等式

a,bR,a2b22ab

用差比法

让学生对于通

学生自己动过实例得到的

手证明不等不等式进行证

式。明，一方面复

习前面的知

问：何时取等？识，另一方面

当

ab

时，取等号

旨在培养学生

严谨的数学思

问：你在证明过程中发现什么？维，及由特殊

到一般的数学

对于不等式

1

，其中成立的条件可以改为：思想。

a,bR

从而得到重要不等式：

若

a,bR

，则

a2b22ab

（当且仅当

ab

时，等

号成立）

探究：若重要不等式的左边变为

ab

，那不

等式右边会变成什么结构？

将重要不等式左边的式子用a去代换a2，b去代换

b2，那么能够得到：

ab

2

号成立）

这个不等式称为：基本不等式



a



b



2

当

a0,b0

时，用

,

分别取代换

a2,b2可

基本不等式的认识：

1.结构

(1)左边是和，右边是“积”，实现和与积的互化

(2)不等式的使用条件：两个正数

(3)不等式取等条件：两个数相等

2.形式

通过观察、对

比认识基本

不等式。

（1）不等式自身的形式变换

（2）不等式中的a,b可以替换成其他为正的代数式

例如：

当

a0,b0

时，



ab



2



11

ab

以得到：

112



ab

ab

当a0,b0

时，用

a,

1

代换

a2,b2可以得到：

a

通过对基本不

等式的结构、

形式等方面的

认识，让学生

对基本不等式

对有更深刻的

了解，并且突

出本节的重

点。

a

1

a

2

从基本不等式可以生产许多其他的不等式，其

“基本”二字可见一斑。

3.名称

ab

2

称为两个正数的算术平均值

ab称为两个正数的几何平均值

所以重要不等式也称为：两个数均值不等式

思考：均值不等式拓展为3个数或n个数时，会是

什么样的结构？

（三）均值不等式的应用

教学过程

思考：

1.

上述两个重要不等式可以用来解决什么

问题？

使

例

1

：

学生活动设计意图

用

条

件

（

1

）用铁丝围成一个面积为

81cm2的矩形，请

问当长和宽分别是多少时，矩形的周长最小，最

小为多少？

（

2

）用一根长为

24cm

的铁丝围成一个矩形，请

问当长和宽分别是多少时，矩形的面积最大，最

大为多少？

思考：（

1

）当两个正数的积为定值时，你有何发

现？

（

2

）当两个正数的和为定值时，你有何发现？

小结：

1.

均值不等式可以用来求解最大、最小值问题

2.

两个正数，当乘积为定值，并且两个数相等时，

它们的和有最小值。

3.

两个正数，当和为定值，并且两个数相等时，

它们的积有最大值。

总结：两个正数有：积定和最大，和定积最小

使用均值不等式的条件：

1.

两个数都是正数。

2.

两个数的和或者积为定值。

3.

等号能取到。

用均值不等式求最值的三要素：

“一正、二定、三相等”

三者缺一不可

通过例题，

学会使用

均值不等

式来解决

最大、最小

值问题。通

过追问的

形式，让学

生能够提

学生独立练出解决

完成例题，问题的方

然后讨论法规律。

回答问题

。

例

1.

若

x0,

求

f(x)x

的最小值。

变式

1

：若

x0,

求

f(x)x

的最大值。

变式

4

：若

x4,

求

f(x)x

的值域。

（

2

）已知正数

x,y

，若

xy1

，求

1

（四）均值不等式的应用

教学过程

学生活动设计意图

题

组

训

课堂练习

4

x

4

x

学生自行

完成以上

课堂练习，

并请学生

学习过知识

后，让学生

运用知识去

解决问题，

练变式

2

：若

x2,

求

f(x)x

4

x2

的最小值。

起来回答

分析。

可以巩固所

学知识。并

变式

3

：若

0x2

，求

f(x)x(83x)

的最

值。

4

x

通过上述

4

个变式，考察学生对于三要素的掌

握情况，从而达到强调的作用。

例

2.

且加深对于

所学知识的

认识和了

解。

（

1

）求函数

f(x)

x2

2x3

x1

(x0)

的值域。

11

xy

的最小值。

（五）小结反思

教学过程

学生活动设计意图

小

结

知

识

内容小结

今天这节课你学到了什么？

1.

两个不等式。

2.

用均值不等式求解最值问题。

思悟小结

今天这节课对你往后的生活和学习有什么启

小结学习的

知识点，让学

生对于所学

学生回答分内容有更清

析。晰的认识。

反

思

过

程

示？

1.

我们从两个实例入手研究两个重要不等式，

说明数学是与生活相关的，来源于生活，高于

生活。

2.

数形结合思想在数学学习中有着非常重要

的作用。

3.

学会从特殊到一般，从个别到整体的的数学

思想方法。

学生分析回

答

不尽要反思

学习结果，还

要反思学习

的过程，强化

对知识的理

解，领悟其中

的思想方法。

作业布置：

1.

完成课本

P100A

组

1,2,3,4