柱面方程

建筑2%

1

引言

空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次

特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面

定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线

相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线作叫

做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母

线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲

线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一

平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1母线平行于坐标轴的柱面方程

选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z

轴，准线为

Oxy

面上的一条曲线，其方程为：

,0

0

fxy

z















又设,,Pxyz为柱面上一动点（图2），则过点P与z

轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的

交点记为,,0Mxy，因点M在准线上，故其坐标应

满足准线方程，这表明柱面上任一点,,Pxyz的坐标

满足方程,0fxy

反过来，若一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy，过P作z轴的平行线



x

z

y

O

,,Pxyz

,,0Mxy

图2

图1



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2

交

Oxy

面于点M，则点M的坐标,,0xy满足准线的方程,0,0fxyz，

这表明点M在准线上，因此直线MP是柱面的母线(因为直线MP的方向向量

为0,0,||0,0,1z)，所以点P在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：

母线平行上于z轴，且与

Oxy

面的交线为,0,0fxyz的柱面方程为：

,0fxy（1）

它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x轴，且与

Oyz

面的交线为,0,0gyzx的柱面方程

为,0gyz；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为,0,0hxzy的柱面方

程为,0hxz。

定理1：凡三元方程不含坐标,,xyz中任何一个时必表示一个柱面，它的母

线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以

Oxy

面上的椭圆

22

22

1,0

xy

z

ab

，双曲线

22

22

1,0

xy

z

ab

和抛

物线22,0yPxz为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为

2222

2

2222

1,1,2

xyxy

yPx

abab



它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故

又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

z

x

y

o

x

y

z

o

o

y

x

z

图3

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3

例2：证明，若柱面的准线为

,0

:

0

fxy

z

















母线方向为,,0Vlmnn，则柱面方程为

,0

lm

fxzyz

nn









（2）

证：设

111

,,0Pxy为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：

11

,,xxlyymzn（为叁数）①

当点

1

P遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数，由①式中

最后一个式子得

z

n



，代入其余两个式子，有

11

,

lm

xxlxzyymyz

nn



因点

1

P在准线上，代入

11

,0fxy，即得(2)式

若柱面的准线为



1

,0

:

0

fxz

y

















母线方向为{,,}0Vlmnm

则柱面方程为：

1

:,0

ln

fxyzy

mm









（3）

若柱面的准线为：



2

,0

:

0

fyz

x

















母线方向为{,,}0Vlmnl

则柱面方程为

2

:,0

mn

fyxzx

ll









（4）

1.2柱面的一般方程

设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为

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4





1

2

,,0

:

,,0

Fxyz

Fxyz

















母线方向为,,lmn，在准线上任取一点

1111

,,Pxyz，则过点

1

P的母线方程是：

11

,,xxlyymzn（为叁数）

这里,,xyz是母线上点的流动坐标。因点

1

P的坐标应满足：



11112111

,,0,,,0FxyzFxyz





1

2

,,0

,,0

Fxlymzn

Fxlymzn





















从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程

,,0Fxyz(5)

这就是以为准线，母线的方向数为

,,lmn

的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221xyz与平面

0xyz

的交线，母线方

向是1,1,1，求柱面的方向。

解：设

111

,,xyz是准线上任一点，则过这点的母线方程为

111

,,xxyyzz

由此得

111

,,xxyyzz

代入准线方程，得

2221

30

xyz

xyz



















消去参数，得

222

1

333

xyzxyzxyz

xyz











展开，化简后得22223xyzxyyzzx

这就是所求的柱面方程。