爪型行列式

1行列式的定义及性质

1.1定义[3]

n

级行列式

11121

21222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

aaa

等于所有取自不同行不同列的个

n

元素的乘积

12

12

n

jjnj

aaa(1)

的代数和,这里

12n

jjj是

1,2,,n

的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当

12n

jjj是偶排列时,(1)带正号，当

12n

jjj是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成



12

12

12

11121

21222

12

12

1n

n

n

n

jjj

n

jjnj

jjj

nnnn

aaa

aaa

aaa

aaa



这里

12n

jjj

表示对所有

n

级排列求和.

1.2性质[4]

性质1.2.1行列互换,行列式的值不变.

性质1.2.2某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.

性质1.2.3如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行

列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原

行列式相同.

性质1.2.4两行(列)对应元素相同,行列式的值为零.

性质1.2.5两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.

性质1.2.6某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变.

性质1.2.7交换两行(列)的位置,行列式的值变号.

2行列式的分类及其计算方法

2.1箭形（爪形）行列式

这类行列式的特征是除了第

1

行(列)或第

n

行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素

均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用

对角元素或次对角元素将一条边消为零.

例1计算

n

阶行列式



1

2

323

111

100

1000

100

nn

n

a

a

Daaaa

a



.

解将第一列减去第二列的

2

1

a

倍，第三列的

3

1

a

倍第n列的

1

n

a

倍，得

1

2

2

3

11

111

000

000

000

n

n

n

a

aa

a

D

a

a











1

2

2

1n

n

i

i

i

i

aa

a















.

2.2两三角型行列式

这类行列式的特征是对角线上方的元素都是

c

,对角线下方的元素都是b的行列式，初看，

这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当

bc时可以化为上面列举的爪形来计算，当bc时则用拆行(列)法[9]来计算.

例2计算行列式

1

2

3n

n

accc

bacc

Dbbac

bbba



.

解当bc时

1

2

3n

n

abbb

babb

Dbbab

bbba



.

将第

2

行到第行

n

都减去第

1

行，则

n

D化为以上所述的爪形，即

1

12

13

1

00

00

00

n

n

abbb

baab

Dbaab

baab







.

用上述特征

1

的方法，则有



11

2

12

13

1

1

000

00

00

00

n

i

i

n

n

abba

ab

baab

D

baab

baab



















111

1

1

n

n

iiin

i

i

abbabababab









.

当bc时，用拆行(列)法[9]，

则

11

22

33

0

0

0

n

nn

xaaaxaaa

bxaabxaa

Dbbxabbxa

bbbxbbbbxb









1

1

2

2

3

3

0

0

0

n

xaa

xaaa

bxa

bxaa

bbx

bbxa

bbbxb

bbbb







1

2

1

1

0

000

nn

n

xaa

baxaa

xbD

a

babaxaa

b













.

化简得



1211nnnn

DbxaxaxaxbD



.1

而若一开始将

n

x拆为

n

axa，则得



1211nnnn

DaxbxbxbxaD



.2

由12

nn

xbxa，得



11

1nn

nij

ij

Daxbbxa

ab













.

有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列

式进行计算.

例3计算行列式

2

n

dbbb

cxaa

Dn

caxa

caax



.

解将第一行

a

b



，第一列

a

c



，得

2

2

n

ad

aaa

bc

axaa

bc

D

aaxa

a

aaax



.

即化为上21情形，计算得

121nn

n

Ddxanadbcxa

.

而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公

共因子的，则用升阶法[8]来简化.

例4计算行列式

2

1121

2

2122

2

12

1

1

1

n

n

n

nnn

xxxxx

xxxxx

D

xxxxx









.

解将行列式升阶，得

12

2

1121

2

2122

2

12

1

01

01

01

n

n

nn

nnn

xxx

xxxxx

Dxxxxx

xxxxx







.

将第

i

行减去第一行的

i

x2,,in倍，得

12

1

2

1

100

010

001

n

n

n

xxx

x

Dx

x







.

这就化为了爪形，按上述特征

1

的方法计算可得

2

12

1

1

0100

0010

0001

n

in

i

n

xxxx

D









2

1

1

n

i

i

x



.

2.3两条线型行列式

这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个

顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元

素全为0的，自然也直接展开降阶计算.

例5计算行列式

11

22

11

n

nn

nn

ab

ab

D

ab

ba





.

解按第一行展开可得



221

3322

1

1

1111

11

1n

nn

nnnn

nnn

abb

abab

Dab

abab

aab









1

1212

1n

nn

aaabbb

.

例6计算行列式

11

11

2

11

11

nn

nn

n

nn

nn

ab

ab

ab

D

cd

cd

cd







.

解方法1直接展开可得



1111

1111

12

21111

1111

00

1

00

nnnn

n

nnn

nnnn

nn

abab

abab

Dacdbcd

cdcd

dc











1111

211

1111

1111

1111

1

nnnn

n

nnnn

nnnn

abab

abab

adbc

cdcd

cdcd











21

nnnn

n

adbcD



.

则











21111

2122

1

n

nnnnnnnnnnnnniiii

nn

i

DadbcDadbcadbcDadbc







.

方法2(拉普拉斯定理法[3])按第一行和第2n行展开得



11

1212

11

2

11

11

1

nn

nn

nn

n

nn

nn

ab

abab

D

cdcd

cd











21

nnnn

n

adbcD



.

其余的同法

1

.

2.4Hesnberg型行列式

这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第

1

或第

n

行外，其他元

素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，

以便于这一行或列的展开降阶计算.

例7计算行列式

1231

11000

02200

220

00011

n

nn

D

nn

nn













.

解将各列加到第一列得

1

231

2

01000

02200

220

00011

n

nn

nn

D

nn

nn















.

按第一列展开得



1000

2200

1

2

220

0011

n

nn

D

nn

nn















1

1!

1

2

n

n





.

2.5三对角型行列式

形如

n

ab

cab

D

c

b

ca



的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其

他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展

开，将所得的1n阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法[5].

例8计算行列式

n

ab

cab

D

c

b

ca



.

解按第一列展开有

12nnn

DaDbcD





解特征方程20xaxbc得

22

12

44

,

22

aabcaabc

xx





.

则



11

12

12

12

,

nn

n

xx

Dxx

xx







.

例9计算行列式

95

49

95

49

n

D

.

解按第一行展开得

1

9200

nn

DD



.

解特征方程得

12

4,5xx.

则

1145nn

n

Dab.

分别使

1,2n

得

16,25,ab

则

1154nn

n

D.

2.6各行(列)元素和相等的行列式

这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)

加到第一行(列)或第

n

行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列

式中出现大量的零元素.

例10计算行列式

111

222

1

1

1

n

nnn

aaa

aaa

D

aaa









.

解将第

2

行到第

n

行都加到第

1

行，得

111

222

111

1

1

nnn

n

nnn

aaaaaa

aaa

D

aaa









222

1

111

1

1

1

n

nnn

aaa

aa

aaa









1

111

010

1

001

n

aa



1

1

n

aa.

2.7相邻两行(列)对应元素相差

1

的行列式

这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差

1

的行列式，对这类行

列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行

n

(列)开始，后行(列)减去前

行(列)，即可出现大量元素为

1

或

1

的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.

若相邻两行(列)元素相差倍数k，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k倍，可使行列

式出现大量的零元素.

例11计算行列式

01221

10132

21043

23401

12310

n

nn

nn

nn

D

nnn

nn













.

解依次用前行减去后行，可得

11111

11111

11111

11111

12310

n

D

nnn













.

现将第

1

列加到第

2

列至第

n

列，得

10000

12000

12200

12220

123241

n

D

nnnnn













1

2121n

nn



.

例11计算阶

n

行列式

221

132

2143

234

231

1

1

1

1

1

nn

nnn

nnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

D

aaaa

aaaa











.

解这是相邻两行(列)相差倍数

a

，可采用前行减去后行的

a

倍的方法化简得

231

10000

01000

00100

00010

1

n

n

n

n

n

n

a

a

a

D

a

aaaa











11n

na.

2.8德蒙德型行列式

这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为德蒙

德行列式来计算.

例12计算行列式

11

111111

11

222222

1

11

111111

nnnn

nnnn

n

nn

nn

nnnn

nnnnnn

aababb

aababb

D

ab

aababb













.

解将第

i

行提出n

i

a，得

11

11

22

1

1

22

1

11

1

1

1

1

1

n

n

n

n

ni

i

n

nn

n

n

bb

aa

bb

Da

aa

bb

aa







































11

ijij

ijn

abba



.