斜率为0

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承接上次课：

倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角



叫做直线l的倾斜角

关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..

斜率：一条直线的倾斜角

()

2





的正切值叫做这条直线的斜率.记为tank.

时，斜率不存在。当时，当

的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当

的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当

2

;00

,0)

2

(

,0)

2

,0(























k

kkk

kkk

斜率公式：已知直线上两点

111222

(,),(,)PxyPxy

12

()xx

的直线的斜率公式：21

21

yy

k

xx







.

例题1：如图，图中的直线

321

lll、、、的斜率分别为k1,k2,k3,则(D)

A.k1

例题2：若经过P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（A）

A、1B、4C、1或3D、1或4

例题3：若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（B）

A、1B、－1C、0D、7

例题4：直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（B）

A、45°B、135°C、45°或135°D、－45°

例题5：若经过点P（1－

a

，1＋

a

）和Q（3，2

a

）的直线的倾斜角为钝角，求实数

a

的取

值范围.

解：(-2,1)

学习小结：

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是

[0,180).

2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点

111222

(,),(,)PxyPxy

的坐标

来求；⑶当直线的倾斜角

90

时，直线的斜率是不存在的

3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

直线的倾斜

角



直线的斜率k直线的斜率公式

定

义

tank

12

12

xx

yy

k







取值范

围

[0,180)),()(

21

xx

题型一：已知两点坐标求直线斜率

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例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率

（1）(1,1)，(-1,-2)（2）(1,-1)，(-2,4)（3）(-2,-3)，(-2,3)

题型二：求直线的倾斜角

例题2：设直线L过坐标原点，它的倾斜角为



，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转45，

得到直线L1那么L1的倾斜角为(D)

A.45B.135C.135

D.







135

4

3

45

4

3

0，为），；当）时，为，当

例题3：变式：已知直线L1的倾斜角为



，则L1关于x轴对称的直线L1的倾斜角=

题型三：斜率与倾斜角关系

例题4：当斜率k的范围如下时，求倾斜角



的变化范围：

1)1(k1)2(k33)3(k

题型四：利用斜率判定三点共线

例题5：已知三点A（a,2），B（5,1），C（-4,2a）在同一条直线上，求a的值。

利用斜率相等即可

即AB的斜率=BC的斜率

用两点式计算斜率

(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)

(5-a)(2a-1)=9

-2a²+11a-5=9

2a²-11a+14=0

(2a-7)(a-2)=0

∴a=7/2或a=2

题型五：平行于垂直的判定

不存在)3(

3

5

)2(

2

3

)1(





k

k

00

0









，当

，），，（当

3

(1)[0,)[,)

24

(2)[0,](,)

42

2

(3)[0,](,)

33



















2

7

2aa或

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例题6：已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三点，求点D的坐标，使直线,ABCD且

CB//AD.

题型六：综合应用

例题7：变式：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能够成三角形，求实数k的取值范围。

解：能够成三角形则不能共线

AC垂直y轴

是y=1

则k≠1

例题8：已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（2，-1）的直线L与线段AB有公共点，

求直线L的斜率k的取值范围

例题1.下列命题正确的个数是(C)

)1,0(

12

33

,2,

1

1

1,

3

,3

),D

D

yx

yx

kkk

x

y

k

kk

x

y

kk

yx

BCADBCAD

CDABCDAB

























得

点坐标为（解：设

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1)若a是直线L的倾斜角，则1800a2）若k是直线的斜率，则Rk

3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角

A．1B.2C.3D.4

例题2.直线L过(,)ab,(,)ba两点，其中0,abba则（D）

A.L与x轴垂直B.L与y轴垂直C.L过原点和一，三象限D.L的倾斜角为135

例题3.已知点)1,1(),321,1(BA,直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜

率为（B）

A.1

3

3

.B

3.C

D.不存在

例题4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a，斜率为k，则（B）

0sin.akA0cos..akB0sin.akC0cos.akD

例题5.若),0(),2,(),5,1(aCaaBaA三点共线，则a=2

例题6.已知四边形ABCD的顶点为)5,2(),3,3(),1,6(),,(DCBnmA,求m和n的值，使四边形

ABCD为直角梯形。

86251829

(,),(,)

131355

AA

解：有两种情况

1、AB//CD角A=90=角D

（5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6)

2m+n=13

(n-5)/(m-2)=1/2

m=18/5

n=29/5

2、AD//BC角A=90=角B

(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/3

2m+3n=19

(n-1)/(m-6)=3/2

3m-2n=16

m=86/13

n=25/13

两直线平行与垂直的判定：

平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的

斜率相等，则它们平行，即12

//ll1

k

=2

k

垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们

的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.

即12

ll1

2

1

k

k



12

1kk

学习小结：

1．

1212

//llkk

或

12

,ll

的斜率都不存在且不重合.

2．

1212

1llkk

或

1

0k

且

2

l

的斜率不存在，或

2

0k

且

1

l

的斜率不存在.

直线的点斜式方程：

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直线的点斜式方程：已知直线

l

经过点

00

(,)Pxy

，且斜率为

k

，则方程

00

()yykxx

为直

线的点斜式方程.

直线的斜截式方程：直线

l

与y轴交点

(0,)b

的纵坐标

b

叫做直线

l

在y轴上的截距.直线

ykxb

叫做直线的斜截式方程.

例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是__2x-5y=0或y-2=-(x-5)__．

例题2、经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些

直线的方程。

直线的两点式方程：

直线的两点式方程：已知直线上两点

112222

(,),(,)PxxPxy

且

1212

(,)xxyy

，则通过这两点的

直线方程为11

1212

2121

(,)

yyxx

xxyy

yyxx







，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它

叫直线的两点式方程

直线的截距式方程.：已知直线l与x轴的交点为

(,0)Aa

，与y轴的交点为

(0,)Bb

，其中

0,0ab，则直线

l

的方程1

b

y

a

x

叫做直线的截距式方程.

例题1、已知直线l经过两点)5,3(),2,1(

21

PP,求直线l的方程.

例题2、已知两点),(),,(

222211

yxPxxP其中),(

2121

yyxx，求通过这两点的直线

方程。

例题3、已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在

直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：

直线BC：

(y＋3)/(y－2)＝(x－3)/(x－0)

即5x＋3y－6＝0

直线BC的中点坐标：

x＝(3＋0)/2＝3/2

y＝(－3＋2)/2＝－1/2

即点(3/2,－1/2)

直线BC边中线所在的直线方程：

(y－0)/(y＋1/2)＝(x＋5)/(x－3/2)

即x＋13y＋5＝0

学习小结：

)1(

2

3

2xy

)(

1

12

12

1

xx

xx

yy

yy







0513,0635yxyx

19

13

9

6.2()

13

yx

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1．直线方程的各种形式总结为如下表格：

2.中点坐标公式:已知

1122

(,),(,)AxyBxy

,则AB的中点(,)Mxy,则2121,

22

xxyy

xy





.

例题1、过点P(2，1）作直线

l

交,xy正半轴于AB两点，当

||||PAPB

取到最小值时，求直

线

l

的方程.

直线的一般式方程：

直线的一般式方程：关于,xy的二元一次方程

0AxByC

（A，B不同时为0）叫做直线

的一般式方程，简称一般式

例题1、在方程0CByAx中，A，B，C为何值时，方程表示的直线

（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合。

解：（1）A=0且B≠0且C≠0（2）B=0且A≠0且C≠0

直

线

名

称

已知条件直线方程使用范围

点

斜

式

111

(,),Pxyk

11

()yykxx

k存在

斜

截

式

bk，ykxb

k存在

两

点

式

),(

11

yx

（),

22

yx

11

2121

yyxx

yyxx







12

xx

12

yy

截

距

式

ba,

1

xy

ab



0a

0b

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（3）A=0且B≠0且C=0（4）B=0且A≠0且C=0

例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

⑴斜率是

1

2



，经过点

(8,2)A

；

⑵经过点

(4,2)B

，平行于x轴；

⑶在

x

轴和y轴上的截距分别是

3

,3

2



；

⑷经过两点

12

(3,2),(5,4)PP

.

解：（1）042;2

2

1

yxxy

（2）02;2yy

（3）032;1

3

1

3

2

yxyx

（4）01

2

3

2

2











yx

xy

；

两条直线的交点坐标：

已知方程组A1x＋B1y＋C1=0（1）

A2x＋B2y＋C2=0（2）

当A1，A2，B1，B2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系

解：在直线上

另（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1

1、当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解，相交:且当

2121

BBAA时，两直线垂直

2、当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0时，方程组无解，平行

3、当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1=0时，方程组有无穷多解，重合

例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：

（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0

（2）l

1

：3x－y＋4＝0，l

2

：6x－2y＝0

（3）l

1

：3x＋4y－5＝0，l

2

：6x＋8y－10＝0

解：（1）相交交点坐标











3

5

,

3

5

；

（2）平行，无交点

（3）同一条直线，无穷多解

例题2、求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直

线方程

解：解法一：解方程组





















1

3

012

072

y

x

yx

yx

得

∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3

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∴所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0

解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中

经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0

3

12

2













解得λ=1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0

两点间的距离：

两点之间距离公式：已知平面上两点

111222

(,),(,)PxyPxy

，则22

122121

()()PPxxyy.

特殊地：

(,)Pxy

与原点的距离为22OPxy.

点到直线的距离:已知点

00

(,)Pxy

和直线

:0lAxByC

，则点P到直线

l

的距离为：

00

22

AxByC

d

AB







.

注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；

⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式

平行线间的距离：已知两条平行线直线

1

l

1

0AxByC

，

2

:l

2

0AxByC

，则

1

l

与

2

l

的距离为12

22

CC

d

AB







注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,xy的系数

相等.

例题1、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+C=0，求点P到直线的距离．)(

0A

C

x

例题2、已知点P(x0，y0)，直线l：By+C=0，求点P到直线的距离．)(

0B

C

y

例题3、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．

例题4、点P(3,-2)到直线的距离为

例题5、两条平行线与间的距离是

例题6、求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．

解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2x0－7y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x

－7y＋8=0的距离是

例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，求l的方程

546yxxy

2

3



02543:yxl

22

00

BA

CByAx

d







5

24

26

135

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解：3x±4y=0

例题8、直线l过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l的距离相等，求l的方程

解：x+y-3=0或3x+y-5=0

例题9、△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B,∠C的内角平分线所在的直线方程分别为

x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。

解：A点关于x=0的对称点为(-3,-1),A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上

BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1)

例题10、已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积

解：