两平面垂直

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平

面互相垂直的条件下，能推出哪些结论。

如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可

以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面是否存在某

些特定的关系．

探究

如图，设α⊥β，α∩β＝a．在β

内任意画一条直线b，b与a有哪些位置

关系相应地，b与α有哪些位置关系为什

么

显然，b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与

a相交时，b与α也相交．

特别的，当b⊥a时，b⊥α．下面我

们来证明这个结论．

如图，设b与a的交点为A，过点A

在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的

角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β知，b⊥c．又b

⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α．

由此我们得到平面与平面垂直的性质定理．

定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于

这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面

A

c

a

b

α

β

图

图

β

α

b

a

垂直．

这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如，

装修房子时，需要在墙壁上画出与地面垂直的直线，这时只

要在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可．

探究

设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面

β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系

我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直．因

此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重

合．

如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，

根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β．

因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直

线a与直线b重合，因此aα．

对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内

的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平

面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论

下面的例子就是其中的一些结果。

例9如图，已知平面α，β和直线a有如下关系：α

图

⊥β，a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系．

解：在α内作垂直于α与β交线的直线b．

∵α⊥β，

∴b⊥β．

又a⊥β，

∴a∥b．

又aα，

∴a∥α．

即直线a与平面α平行．

精心搜集整理，只为你的需要

图