极坐标求面积

极坐标与极坐标方程的应用

1.极坐标概述

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约

于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，

书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上

发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝

努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐

标去研究曲线。

在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是

确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标

表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。

通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解

决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对

其进行了初步探讨。

国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以与极坐标方程做了深入探究，

而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极坐

标已应用到各个领域。

1.1极坐标系的建立

在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线

OX

，叫做极轴，再选定一个长度单

位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。

对于平面内任意一点M，用表示线段

OM

的长度，表示从

OX

到

OM

的角度，叫

点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系

叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。

x

O

P

M



x

P

O

M



图1-1图1-2

如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：

(1)＞0，M，

(2)＞0，M，

同理，，与，也是同一个点的坐标。

又由于一个角加2nnZ后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯

一。但若限定

0

，02或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可

以一一对应了。

1.2曲线的极坐标方程

在极坐标系中，曲线可以用含有，

这两个变数的方程0，来表示，这种方

程叫曲线的极坐标方程。

求曲线的极坐标方程的方法与步骤：

1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为，；

2°写出适合条件的点M的集合；

3°0列方程，；

4°化简所得方程；

5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。

三种圆锥曲线统一的极坐标方程：

y

x



P

BF

O

K

A

M

图1-3

过点F作准线L的垂线，垂足为K，以焦点F为极点，FK的反向延长线FX为极轴，

建立极坐标系。设M，是曲线上任意一点，连结MF，作MA⊥L，MB⊥FX，垂

足分别为AB，．那么曲线就是集合

MF

pMe

MA









.

设焦点F到准线L的距离FKPMF，由，MABKPCOS

得

cos

e

p









即

1cos

ep

e









这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当01e时，方程表示椭

圆，定点F是它的左焦点，定直线L是它的左准线。1e时，方程表示开口向右的抛物线。

1e时，方程只表示双曲线右支，定点F是它的右焦点，定直线L是它的右准线。若允许

0，方程就表示整个双曲线。

1.3极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的

长度单位，设M是平面内任意一点，其直角坐标x，y，极坐标是，，从点M作

MN⊥OX，由三角函数定义，得cossinxy，.

图1-4

进一步有222,0

y

xytgx

x



注：在一般情况下，由

tg确定角时，可根据点M所在的象限取最小角。

2极坐标在平面解析几何中的应用

2.1极坐标法求到定点的线段长度

解析几何中涉与到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数

解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将

此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标

系是解决问题的关键。

以定点为极点

如果题设条件与结论中，涉与到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先

将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为

极坐标方程求解。

例1设等腰OAB的顶角为2，高为h，在OAB内有一动点p，到三边

OAOB、OC的距离分别为PDPFPE、、，并且满足关系2PDPFPE，求P点的轨迹。

x

F

E

D

P

B

A

O

图2-1

解:如图2-1所示,以

O

为极点,∠

AOB

的平分线为极轴,建立极坐标系，设P点极坐标

为p，,则

sin,sin,PDPFcosPEh

由2PDPFPE得

2

2sinsincosh

化简得

2

2

22

2

cos0

coscos

hh







化成直角坐标方程为

22

2

22

sin

coscos

hh

xy













这是以

2cos

h









，0为圆心，以

2

sin

cos

h



为半径的圆，所求的轨迹是该圆在等腰OAB内

部的部分。

以原点为极点

如果题设条件或结论中涉与到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应

用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。

例2已知椭圆22

1

2416

xy

，直线L:

1

128

xy



，P是L上一点，射线

OP

交椭圆于R，

又点

Q

在

OP

上，且满足2OQOPOR，当点P在L上移动时，求点

Q

的轨迹方程，并

说明轨迹是什么曲线。

解:如图2-2所示，以

O

为极点，

OX

为极轴，建立极坐标系。则由互化公式知椭圆

的极坐标方程为

2222cos3sin48

(1)

直线L的极坐标方程为

2cos3sin24(2)



12

QRP设，、，、，，则由(1)式知

2

1

22

48

2cos3sin









由(2)式知

2

24

2cos3sin









又2

21

,有



22

2448

0

2cos3sin2cos3sin









22222cos3sin4cos6sin

所以2223440xyxy

即



2211

1,0

55

23

xy

xy



不同时为

点Q的轨迹是以1，1为中心，长轴、短轴分别为

25

10

3

，

且长轴平行与X轴的椭圆，

去掉坐标原点。



O

P

R

Q

L

y

x

图2-2

以焦点为极点

凡涉与圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲

线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。

例3设O为抛物线的顶点，F为焦点，且

PQ

为过F的弦。已知OFaPQb，

OPQ求的面积。

图2-3

解:如图2-3所示，以F为极点，FO的反向延长线FX为极轴，建立极坐标系。则抛

物线的极坐标方程为

2

1cos

a









222

224

1cos1cossin

aaa

bPQPFQF







于是2

4

sin

a

b



114

sin

22OPQ

a

SPQOFabaab

b







2.2极坐标简解与角有关的解析几何题

含有已知角或公共顶点的一类解析几何题，运用极坐标系（或化直角坐标系为极坐标

系）进行解题，常可避繁就简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面分类举例说明。

含有已知角，角顶点为极点

例4已知

PQ，

在∠

AOB

的两边

OAOB，

上，∠

AOB

=

3



，

POQ

的面积为8，求

PQ

的中点M的轨迹方程。

图2-4

解：以O为极点，OB为极轴，建立极坐标系，如图2-4所示，设

123

PQ











，0，，，

M，，则

12

1

sin8

23





即

12

3

8

4

(1)

因为

1

2POMQOMPOQ

SSS





所以

1

1

sin4

2



(2)

1

1

sin4

23



（）

(3)

23得

2

12

1

sinsin()16

43





(4)

(1)代入(4)并化简，得2sinsin()23

3





即为所求。

含有已知角，坐标轴平移，化角顶点为极点

例5已知曲线G：21yx，顶点A（2，0），点B是

G

上的动点，

ABC

是以

BC

为斜边的等腰直角三角形，顶点ABC、、按顺时针排列，O为坐标原点，求OC的最大值

与点C的坐标。

图2-5

解:曲线G化为：2210xyy，以点A为新坐标系原点，则

'2

'

{xx

yy





曲线G为22('2)'1'0xyy

以点A为极点，

'x

轴的正方向为极轴，建立极坐标系。如图2-5所示，则曲线

G

为

2

2(cos2)sin1(1)

设0,0

,(',')BC，则

0

0

'

'

2

{









(2)

(2)代入(1)得

22

'cos'2'sin'1

22



















即22'sin'2'cos'1

所以点C的轨迹方程为

22('2)'1yx

即222212xyx(3)

故当OC过（3）的圆心2,2时，OC的最大值为122，此时点C的坐标为

22

11

22











，.

2.3极坐标法证明几何定理

在平面几何证明中，极坐标法是一种重要的方法，应用十分广泛，下面以部分平面几

何中著名定理为例，谈谈极坐标法在证明中的应用。

应用圆心是(,0)a，半径是a的圆的方程2cosa来证明

例6求证：圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积（托列迷定理）。

证明：如图2-6，以D为极点，DO的延长线为极轴建立极坐标系。设圆的半径为a，

则

O

：2cosa.

11

(,)A

、

22

(,)B

、

33

(,)C

三点都在

O

上，

112233

2cos,2cos,2cosADaBDaCDa

另由正弦定理得



122313

2sin2sin2sinABaBCaACa，，

2

123231

4sincossincosABCDBCDAa





2

1

2{sinsinsinsin}a





2

123123

2[sinsin]a

2

132

4sincosa

ACBD



2



1



3

x

O

D

C

B

A

图2-6

应用极点在圆上，圆心为

0

,a的方程

0

2cosa证明

例7自圆上一点引三弦，并以它们各自为直径画圆。

求证：所画三圆的其它三交点共线（沙尔孟salmon定理）。

C

3

C

2

C

1

C

x

A

1

A

2

A

3

O

P

1

P

3

P

2

图2-7

证明：如图2-7,

123

OAOAOAOA、、、分别是

123

CCCC、、、的直径，

123

PPP、、分

别是

122331

CCCCCC与、与、与的交点，以

O

为极点，

OA

的延长线为极轴建立极

坐标系，为简便计，设1OA，极轴与

123

OAOAOA、、的交角分别为

123

、、，则

1122

coscoscosOAOAOA

33

、=、=

所以



111

coscosC：（1）



222

coscosC：（2）



333

coscosC：（3）

设

111

,p，则由（1）、（2）得



1122

coscoscoscos

11112222

11

coscoscoscos

22







积化和



12

cos2cos2

22

222k

12

kk整数

取0k，得

12

，代入（1）中，得

12

coscos.

1

p点坐标为

1212

(coscos,).同理应用轮换得

2

p点坐标为

2323

(coscos,)，

3

p点

坐标为

3131

(coscos,).

显然

123

PPP、、三点坐标满足法线式方程



123123

coscoscoscos

故

123

PPP、、三点共线，命题获证。

应用圆的极坐标方程、两点或直线方程和法线式方程证明

例8求证：三角形外接圆上任一点在三边上的射影共线（西摩松Sinson定理）。

B

3

A

2

B

2

A

3

O

B

1

P

x

A

1

图2-8

证明：如图2-8，以P为极点，

PO

的延长线为极轴建立坐标系。设

123

AAA的外接圆

直径为d，则O的方程为

cosd

，设顶点为cos12302

iiii

Adi，，，，

12

AA的两点式方程为



2121

12

sinsinsin

coscosdd









.



212112112

sincossincossincoscosd







2112112

1

sin2sin2sincoscos

2

d







21122112

sincos()sincoscosd



21

sin0



1212

cos()coscosd

这是

12

AA的法线式方程，故知垂足

1

B的坐标为

1212

(coscos,)d.轮换三个顶点的

坐标，得

2232333131

(coscos,)(coscos,)BdBd、，显然

123

BBB、、三点的坐标满

足法线式方程

123123

cos()coscoscosd

123

BBB、、三点共线，定理得证。