等角

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线

上构成的相似图形，这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角.不同地区对此有不

同的称呼，“K形图”,“三垂直",“弦图”等，以下称为“一线三等角”.

二.一线三等角的分类

全等篇

D

C

A

B

P

D

C

BA

P

C

AB

P

D

同侧

锐角直角钝角

C

D

P

B

AA

D

P

C

B

D

P

B

C

A

异侧

相似篇

D

C

A

B

P

D

C

BA

P

C

AB

P

D

同侧

锐角直角钝角

D

C

P

B

A

C

D

P

B

A

D

P

C

A

B

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE。

2。当等角所对的边相等时,则两个三角形全等。如图3—1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3。中点型“一线三等角”

如图3—2，当∠1=∠2=∠3,且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4。“中点型一线三等角“的变式(了解)

如图3-3,当∠1=∠2且

1

90

2

BOCBAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构造

“一线三等角”。

如图3—4“中点型一线三等角"通常与三角形的内心或旁心相关，

1

90

2

BOCBAC这是内心的性质，反之未必是内心.

在图3-4（右图）中,如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心.

5.“一线三等角"的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图3—5

其实这个第4图，延长DC反而好理解。相当于两侧型的,不延长理解，以为

是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行

解题

四、“一线三等角”的应用

1。“一线三等角"应用的三种情况。

a。图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。

体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或

指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张

角问题,在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三

等角解决问题更是重要的手段.

3。构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

坐标系中,要讲究“线”的特殊性

如图3—6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D

两点作直线l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需

要.

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不

容易掌握.

解题示范

例1如图所示,一次函数4yx与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上

一个动点(不包括A、B两端点),C是线段OB上一点，∠OPC=45°,若△OPC是等腰三角

形,求点P的坐标.

例2如图所示,四边形ABCD中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°,AE⊥BC于E，∠

ADE=67.5°，AB=6，则CE=.

例3如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°，AB=3,AD=5.求BC的

长.

例4如图，△ABC中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD的长。

一线三等角，补形最重要，内构勤思考,外构更精妙.找出相似形，

比例不能少。巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

例5如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AC=2AB,AD⊥AC交BC于点D，若AD=2，

求△ABC的面积

当然有45°或135°等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.

大练身手：

例7:在平面直角坐标系中，已知点A(1，0），B（0,3),C（－3，0），D是线段AB上一点，CD

交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB

．

（1）求直线AB的解析式；

(2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由；

（3)若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°,求点F的坐标．

例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点(A在B的左侧）,BC

＝2AC,点P是抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;

（3)若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．

y

E

D

CAO

B

x

B

x

y

C

A

O

练1:。如图，抛物线的顶点为C（－1,－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐

标为－3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积,请直接写出点D的坐标;

（3）若点E的坐标为（0,2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE＝45°？

若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

课后作业：

B

A

C

O

x

y

E

如图，点A(0，—1)，B(3,0)，P为直线y=—x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标

在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长。

如图，正方形ABCD中，点E,F，G分别在AB，BC,CD上，△EFG为等边三角形,求证：

BE+GC=3BC

如图,△ABC△DBA,且AC=2BC，求证:CD=2AB.

如图,在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长

如图，点A是反比例（X＞0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0，2），

点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标。

如图,抛物线y＝ax2

＋bx＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线

l:y＝－错误!x＋m经过点A,与抛物线交于另一点D（5，－错误!），点P是直线l上方的抛物

线上的动点,连接PC、PD．

（1)求抛物线的解析式；

（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设△PCD的面积为S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由．

1。如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6）.

3

22

27

4

2xy

y

x

OAB

C

D

l

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重

合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N。试探究：线

段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值，如果不是,说明

理由；

（3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重

合）,点D(m，0）是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD。继续探

究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Ox

y

A

B

E

D

图2

图1

A

x

y

P

Q

M

N

O

如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线y＝ax2

＋bx＋c（a＞0)

过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．

（1)求抛物线的解析式；

(2）点D为抛物线上一点,∠DCA＝45°，求点D的坐标；

BAO

C

x

y

备用图

BAO

C

x

y