伯努利方程推导

伯努利方程

●本节教材分析

本节属于选学内容，但对于一些生活现象的解释，伯努利方程是相当重要

的．本节主要讲述了理想流体，理想流体的定常流动，然后结合功和能的关系推

导出伯努利方程，最后运用伯努利方程来解释有关现象．

●教学目标

一、知识目标

1知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动．

2知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的．

二、能力目标

学会用伯努利方程来解释现象．

三、德育目标

通过演示，渗透实践是检验真理的惟一标准的思想.

●教学重点

1.伯努利方程的推导.

2.用伯努利方程来解释现象．

●教学难点

用伯努利方程来解释现象．

●教学方法

实验演示法、归纳法、阅读法、电教法

●教学用具

投影片、多媒体课件、漏斗、乒乓球、两张纸

●教学过程

用投影片出示本节课的学习目标：

1.知道什么是理想气体.

2.知道什么是流体的定常流动.

3.知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象．

学习目标完成过程：

一、导入新课

1.用多媒体介绍实验装置

把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间

2.问：如果向漏斗口和两张纸中间吹气，会出现什么现象?

学生猜想：

①乒乓球会被吹跑；

②两张纸会被吹得分开．

3.实际演示：

①把乒乓球放在倒置的漏斗中间，向漏斗口吹气，乒乓球没被吹跑，反而会

贴在漏斗上不掉下来；

②平行地放两张纸，向它们中间吹气，两张纸不但没被吹开，反而会贴近

4.导入：为什么会出现与我们想象不同的现象，这种现象又如何解释呢?本

节课我们就来学习这个问题．

二、新课教学

1.理想流体

(1)用投影片出示思考题：

①什么是流体?

②什么是理想流体?

③对于理想流体，在流动过程中，有机械能转化为内能吗?

(2)学生阅读课文，并解答思考题：

(3)教师总结并板书

①流体指液体和气体；

②液体和气体在下列情况下可认为是不可压缩的．

a:液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．

b:在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的变化，也可以认为

气体是不可压缩的．

③a:流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，这叫流体具有粘滞性．

b:不同的流体，粘滞性不同．

c:对于粘滞性小的流体，有些情况下可以认为流体没有粘滞性．

④不可压缩的，没有粘滞性的流体，称为理想流体．对于理想流体，没有机

械能向内能的转化．

2定常流动

(1)用多媒体展示一段河床比较平缓的河水的流动．

(2)学生观察，教师讲解．

通过画面，我们可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平

静地流着，各处的流速没有什么变化，河水不断地流走，可是这段河水的流动状

态没有改变，河水的这种流动就是定常流动．

(3)学生叙述什么是定常流动

流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随

时间而改变,这样的流动就叫定常流动．

(4)举例：自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流

动．

(5)学生阅读课文，并回答下列思考题：

①流线是为了表示什么而引入的?

②在定常流动中，流线用来表示什么?

③通过流线图如何判断流速的大小?

(6)学生答：

①为了形象地描绘流体的流动，引入了流线；

②在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹；

③流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速

大．

3.伯努利方程

(1)设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，

且流动方向从左向右，我们在管的a

１

处和a

2

处用横截面截出一段流体，即a

1

处

和a

2

处之间的流体，作为研究对象．设a

1

处的横截面积为S

1

，流速为V

1

，高度

为h

1

；a

2

处的横截面积为S

２

，流速为v

２

，高度为h

２

；

(2)思考下列问题：

①a

1

处左边的流体对研究对象的压强p

1

的方向如何?

②a

2

处右边的液体对研究对象的压强p

2

的方向如何?

③设经过一段时间Δｔ后(Δｔ很小)，这段流体的左端S

１

由a

1

移到b

1

，右

端S

2

由a

2

移到b

2

，两端移动的距离分别为Δｌ

1

和Δｌ

2

，则左端流入的流体体积

和右端流出的液体体积各为多大?它们之间有什么关系?为什么?

④求左右两端的力对所选研究对象所做的功?

⑤研究对象机械能是否发生变化?为什么?

⑥液体在流动过程中，外力要对它做功，把功能关系，外力所做的功与流体

的机械能变化间有什么关系?

(3)学生阅读课文，回答上述问题：

(4)用多媒体展示伯努利方程的推导过程：

解：如图所示，经过很短的时间Δｔ，这段流体的左端S

１

由a

1

移到b

1

，右端Ｓ

2

由a

2

移到b

2

，两端移动的距离为Δｌ

1

和Δl

2

，左端流入的流体体积为ΔV

1

＝Ｓ

1

Δｌ

1

，右端流出的

体积为ΔＶ

2

＝Ｓ

2

Δl

2

．

∴ΔV

1

＝ΔV

2

＝ΔV(因为理想流体是不可压缩的)

左端的力对流体做的功为

Ｗ

1

＝F

1

Δl

1

W

1

=p

1

S

1

Δl

1

=p

1

ΔV

F

1

＝p

1

·S

1

＝p

作用于右端的力F

2

＝p

2

S，它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向

左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：

Ｗ

2

＝－Ｆ

2

Δl

2

＝－p

2

Ｓ

2

Δl

2

＝－p

2

ΔＶ

∴两侧外力对研究液体所做的功为：

W＝Ｗ

1

＋Ｗ

2

＝（p

1

－p

2

）ΔV．

又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v

没有改变，所以研究对象(a

1

到a

2

之间的流体)的动能和重力势能都没有改变．这

样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机

械能．

∴Ｅ

2

－Ｅ

1

＝

2

1

ρ(2

2

V-2

1

V)ΔV＋ρg（ｈ2

－h

1

）ΔV

又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能

∴Ｗ＝Ｅ

2

－Ｅ

1

∴（p

1

－p

2

）ΔV＝

2

1

ρ(2

2

V-2

1

V)）ΔＶ+ρｇ（ｈ2

－h

1

）ΔV

整理后得：p

1

+

2

2

221

2

12

1

2

1

ghVpghV

又a

1

和a

2

是在流体中任取的，所以上式可表述为：p+ghV2

2

1

＝恒量，

这就是伯努利方程．

(5)当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为

p+2

2

1

V

＝常量

(6)学生叙述上式的含义：

在流体的流动中，压强跟流速有关，流速v大的地方压强p小，流速v小的

地方压强p大．

4.伯努利方程的应用举例：

(1)重新做导语中的二个演示实验，要求学生用伯努利方程对实验现象做出

解释：

(2)学生：经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方的空气流速大，

压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在

漏斗上不掉下来．

学生：当向两张纸中间吹气时，两张纸中间空气的流速大，

压强小，外边空气的压强大，所以两张纸会贴近．

(2)用多媒体展示飞机飞上天空，并解释：

①出示飞机飞行时机翼周围空气的流线分布图：

②解释：由于机翼截面的形状上下不对称，机翼上方的流

线密，流速大；下方的流线疏，流速小，由伯努利方程知：机

翼上方的压强小下方的压强大，这样就产生了作用在机翼上的

向上的升力，所以飞机能飞上天．

用多媒体课件模型喷雾器和化油器的工作过程

(2)解释它的工作原理：

喷雾器工作时，让空气从小孔迅速流出，小孔附近的流速

大，压强小，容器里面的液面上方压强大，液体就沿小孔下边

的细管升上来，从细管的上口流出后，受气流的冲击，被喷成

雾状．对于汽油机的汽化器(也叫化油器)，当气缸里的活塞做

吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，

压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状形

成油气混合物，进入气缸．

三、巩固练习

1.在航海中，对并排同向行驶的船舶，为什么要限制船速

和两船的距离?

2.在高速公路上并排行驶的两辆轿车有相互靠近的趋势，为什么?

参考答案：(略)

四、小结

本节课我们学习了理想流体的定常流动过程中压强和流速的关系．

1.不可压缩的，没有粘滞性的流体，叫理想流体．

2.流体流动过程中，如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动叫

做定常流动．

3.由伯努利方程知，在流体的流动中，压强跟流速有关，流速大的地方压强

小，流速小的地方压强大.

五、作业

1.课本P

１５５

练习七(2)

2.课后观察并分析球类比赛中的旋转球和不转球，并说明为什么旋转球比不

旋转球的威力大．

六、板书设计

伯理想流体—不可压缩的，没有粘滞性的流体

努定常流动—空间每一点的流速不随时间而改变

利

方伯努利方程→①p+2

2

1

V

常量

程②在流体的流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大