全微分形式不变性

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微积分中的函数形式不变性

作者：平国庆王志芹

来源：《课程教育研究·中》2013年第02期

【摘要】一阶微分形式不变性是微积分的一个重要性质，本文将形式不变性推广到微积分

的函数中，然后给出了利用函数形式不变性的一些解题技巧。

【关键词】形式不变性复合函数中间变量

【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）02-0146-02

哲学中说，运动是绝对的，而静止是相对的。运动使世界千变万化、丰富多彩，同时也让

我们难于掌控。我们总希望能用简单而有效的方法来处理这个世界中的复杂问题。微积分这门

课程，由于其考虑问题的角度是从运动和变化出发的，使得习惯于静止思维方式的初学者较难

理解和掌握。俗语云，以不变应万变。实际上，在学习微积分的过程中，我们还是有许多“不

变”的规律可循的。

说起微积分中的“不变”，我们首先想起的便是一阶微分形式不变性，它是微积分中的一个

重要知识点。

一、一阶（全）微分形式不变

下面我们分别介绍一元函数的一阶微分形式不变和多元函数的一阶全微分形式不变。

1.一元函数的一阶微分形式不变

函数y=f（□）的微分为dy=f1（□）d□，无论符号“□”是自变量还是中间变量，其形式始终

是不变的。

2.多元函数的一阶全微分形式不变

事实上，除了一阶微分形式不变，微积分中的“不变”还有许多，我们下面就介绍一种。

二、函数形式不变

对于函数y=f（u），当u取值于定义域（即u为自变量）时，就是我们定义的一般函数f

（u）；而当u取值于另一个函数g（x）的值域（即u为中间变量）时，就是我们定义的复合

函数f[g（x）]。总之，无论是一般函数还是复合函数，函数形式y=f（□）始终是不变的。

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例1已知函数y=sinu，u=1n（x2-1），求由y和n复合而成的复合函数。

解：复合函数为y=sin[1n（x2-1）]，定义域为{x‖x|>1}。

当z≥2时，定义域不存在，从而函数f（x，z-x）不存在.

由上面的例题可见，两个函数复合而成一个复合函数，实质上就是将一个函数代入另一个

函数得到一个新的函数。复合过程当然可由更多个函数复合而成，如例2。例1、2、5、7是

求复合函数，而例3、4、6是由复合函数求原本函数。当我们由复合函数求原本函数时，若复

合过程不容易观察出来，可以用例4、6的待定参数法求解。

另外，并不是任意两个函数都可以复合。两个函数能复合的前提条件是外层函数的定义域

和内层函数的值域交集为非空集，比如上面的例1，u和y就不能复合，因为y的值域与u的

定义域的交集为空集；例7中有的复合函数不存在也是因此。

在后继课程《概率论与数理统计》中求随机变量函数的分布时，例7中这种讨论变量的取

值范围来确定复合函数的表达式的方法会经常用到。

下面我们看一道应用函数形式不变性的延伸题目。

最后，需要特别指出的是以上我们提到的“不变”均是指形式不变，而其实质内容往往是要

变的，并且通常会变的让我们难以确定其原本满足的形式不变性。这也是我们碰到的题目千变

万化的主要原因之一。我们常说“万变不离其宗”。在学习微积分的过程中，解题时能够抓住其

满足的形式不变性，就可以达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]周性伟.微积分[M].北京：科学出版社，2009：l-9.

[2]朱来义.微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]罗蕴玲，安建业，等.高等数学及其应用[M].北京：高等教育出版社，2010.