大除法

整式恒等变形

整式恒等变形

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下为整式恒等变形的全部内容。

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形

主旨概括

专题简介把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫作代

数式的恒等变形．代数式的恒等变形是数学的基础知识,它在

化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用．

整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，既是代数式

恒等变形的基

础，又有独特的复杂性和技巧性．

常用方法和技巧:降幂迭代法,因式分解，配方法，乘法

公式等等．

模块分类1．恒等变形→降幂迭代与换元．

2．恒等变形→因式分解与不定方程．

3．恒等变形→配方法．

4．恒等变形→乘法公式．

学习目标1．理解恒等的概念．

2．熟悉恒等变换常见题型和常用技巧．

3．强化整体思想和逻辑推理能力．

考点分析

考点汇总考试频率对应例题对应练习题

恒等变形→降幂

迭代

☆☆☆☆☆例1练1

恒等变形→大除

法

☆☆☆☆☆例1、2练1、2

恒等变形→换元☆☆☆例3练3

恒等变形→因式

分解

☆☆☆☆例4~7练4~7

恒等变形→配方

法

☆☆☆例8~10练8~10

恒等变形→乘法

公式

☆☆☆☆例11~14练11～14拓14

模块一恒等变形→降幂迭代与换元

基础夯实

题型一降幂迭代法与大除法

【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．

【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)

已知3x2＋4x－7＝0,求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

整式恒等变形

题型二整体代入消元法

【例2】（第14届希望杯1试)若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．

【练2】当x－y＝1时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．

题型三换元法

强化挑战

【例3】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋（x＋y－2z)2－3（y－z)2－3（x－y）2－3(x－z)2．

【练3】已知x，y,z为有理数（y－z)2＋（z－x）2＋(x－y)2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y)2

＋（x＋y－2z）2，求的值．

模块二恒等变形→因式分解与不定方程

题型一因式分解

基础夯实

【例4】（1)已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于________．

(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝________．

【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋…＋x2012＝__________．

(2)已知15x2－47xy＋28y2＝0，求的值．

强化挑战

【例5】已知：a、b、c为三角形的三条边,且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0,求证：2b＝a

＋c．

【练5】（1)在三角形ABC中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b,c是三角形的三边，

求证：a＋c＝2b．

(2)已知△ABC三边a、b、c,满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ABC的形状，

并说明理由．



222

111

111

yzzxxy

xyz





x

y

整式恒等变形

题型二不定方程

【例6】（1)方程xy－2x－2y＋7＝0的整数解(x≤y)为___________．

（2）已知a＞b＞c≥0,求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011的整数a，b,c的值．

【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y均为整数,且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2

＝0,求它的面积．

(2）矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．

【例7】(2000年联赛）实数x，y满足x≥y≥1和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_______．

【练7】当x变化时，分式的最小值是________．

模块三恒等变形→配方法

【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．

【练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．

【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x,y．

【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．

【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则的值等于____．

2

2

365

1

1

2

xx

xx





b

a

整式恒等变形

【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．

模块四恒等变形→乘法公式

知识点睛

【常见乘法公式】

1、二元二次：

(1）(a＋b)(a－b）＝__________．

(2)(a－b)2＝__________．

2、三元二次：

(3)(a＋b＋c）2＝_________．

（4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．

3、二元三次：

(5）(a＋b）3＝______________．

（6）a3＋b3＝______________．

4、三元三次：

（7）(a＋1)(b＋1)（c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1

(8)（a＋b)(b＋c)（c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc

(9)(a＋b＋c）(ab＋bc＋ca）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc

(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c）(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）

5、三元四次：

(11）(a＋b＋c)（a＋b－c)(b＋c－a）（c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2

6、二元n次：

(12）an－bn＝（a－b)（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1）

（13）an＋bn＝（a＋b）（an－1－an－2b＋an－3b2＋…－abn－2＋bn－1）（n为奇数）

7、n元二次:

（14）（a

1

＋a

2

＋…＋a

n

）2＝a

1

2＋a

2

2＋…＋a

n

2＋2a

1

a

2

＋2a

1

a

3

＋…＋2a

1

a

n

＋2a

2

a

3

＋2a

2

a

4

＋…＋

2a

n－1

a

n

．

(15)a

1

2＋…＋a

n

2＋a

1

a

2

＋…＋a

1

a

n

＋a

2

a

3

＋…＋a

2

a

n

＋…＋a

n－1

a

n

＝［(a

1

＋a

2

)2＋…＋（a

n－1

＋a

n

)2]

强化挑战

【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4,求(a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）

的值．

【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，

试求1995（x＋y）＋6xy－(a＋b)的值．

【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0,求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．

1

2

17

2

整式恒等变形

【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．

【例13】(2009年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．

(1)求ab＋bc＋ca的值；

（2)求a4＋b4＋c4的值．

【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝，

(1)求abc的值;

(2)求a4＋b4＋c4的值．

巅峰突破

【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证：x2014＋y2014＝a2014＋b2014．

【练14】已知a＋b＝c＋d,a3＋b3＝c3＋d3，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．

【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5,求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．

第8讲课后作业

【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．

【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0,求abc的值．

【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m()

A．是完全平方数,还是奇数B．是完全平方数，还是偶数

C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数

8

3

整式恒等变形

【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形

有(）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（)

A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负

【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca,求a＋b2＋c3的值．

【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab（x2＋y2）

的值．

【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．

【习9】(1999年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1,求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．

【习10】（第18届希望杯初一)有理数a，b,c满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，

求a＋b＋c的值．

【习11】(十八届希望杯初二二试）已知a

1

，a

2

,a

3

，…,a

2007

，是彼此互不相等的负数，且

M＝（a

1

＋a

2

＋…＋a

2006

）（a

2

＋a

3

＋…＋a

2007

）,N＝(a

1

＋a

2

＋…＋a

2007

）（a

2

＋a

3

＋…＋a

2006

),试

比较M、N的大小．

【习12】(2013年联赛）已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋

3z＝_______．

【习13】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0,3a2－8b＋c＝0，则abc

的最大值为____________．

【习14】（2001年联赛）求实数x,y的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3)2＋（2x＋y－6)2达

到最小值．