young不等式

1

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明

方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明

积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不

等式的应用。

【关键词】积分不等式Schwarz不等式Ho..lder不等式Gronwall不等式

Young不等式

1引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函

数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz

公式求出（如2

1

0

xedx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例

如设函数f在0,1上连续可微，且

(1)(0)1ff

，求

1

'2

0

()fxdx），因此我们希

望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式.

我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

2

1

2

1

lnlnxdxxxdxx

，





22

()cos()sin1bb

aa

fxkxdxfxkxdx都是积分不等

式.

2积分不等式的证明方法

2.1定义法

我们根据定积分的定义，把积分区间

n

等分，得出积分和，再由离散型式子，

得出积分和之间的大小关系，再令

n

，取极限即可.

例1设函数)(xf在区间0,1上可积.试证明有不等式

11

2

00

()()fxdxfxdx.

证先用Jenn不等式法证明不等式:对Rxxx

n

,,,

21

,有不等式

2

n

xxx

n

xxx

nn

22

2

2

121







.

设

T

为区间

]1,0[

的

n

等分.由上述不等式,有



























n

i

n

i

nn

i

f

nn

i

f

1

2

1

11

.

令

n

,注意到函数

)(xf

和)(2xf在区间[0,1]上的可积性以及函数

||x

和x的连续性，就有积分不等式

11

2

00

()()fxdxfxdx.

例2设

f

在区间,ab上连续，

()0px

，

()0

b

a

pxdx，且

()mfxM

，

()hx

在,mM上有定义，并有二阶导数''()0hx，试证明：

()()()(())

()

()()

bb

aa

bb

aa

pxfxdxpxhfxdx

h

pxdxpxdx







.

证（利用积分和）将,abn

等分，记

()

i

i

xaba

n



，()

ii

ppx，()

ii

ffx，

1,2,3i

因为''()0hx，所以

()hx

为凸函数，所以11

11

()

()

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

pfphf

h

pp











则有11

11

()

()

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

baba

pfphf

nn

h

baba

pp

nn















令n取极限，便得欲证明的积分不等式.

2.2利用定积分的基本性质

例3设

)(xf

在,ab上二次连续可微，

()0

2

ab

f





，试证：

3()

()

24

b

a

Mba

fxdx



，

其中''sup()

axb

Mfx



.

证将)(xf在

2

ab

x





处用泰勒公式展开，注意到

()0

2

ab

f





，则

'''2

1

()()()()()

222!2

ababab

fxfxfx



，)(xf的右端第一项在,ab上的

3

积分为0，故

''2

1

()()()

2!2

bb

aa

ab

fxdxfxdx



''2

1

()()

22

b

a

ab

fxdx



3

1

()|

62

b

a

ab

Mx





3()

24

Mba

，其中''sup()

axb

Mfx



.

例4设函数

()fx

在0,1连续且递增，证明：对任意0,1k，有

1

00

()()kfxdxkfxdx.

证1

11

0000

()()()()()kkk

k

kfxdxfxdxkfxdxfxdxfxdx











1

0

(1)()()k

k

kfxdxkfxdx

12

(1)()()kkff

0

12

(1)k其中0

,

移项即得.

证2

1

00

()()kfxdxkfxdx1

00

()()()kk

k

fxdxkfxdxkfxdx

1

0

(1)()()k

k

kfxdxkfxdx或

1

0

11

()()

1

k

k

fxdxfxdx

kk







但

f

在闭区间0,1上连续且递增，故

1

0

11

()()()

1

k

k

fxdxfkfxdx

kk





，即

1

0

11

()()

1

k

k

fxdxfxdx

kk





成立，原题获证.

2.3利用重积分证明积分不等式

把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式.

例5已知

()0fx

，在,ab上连续，

()1

b

a

fydy，k为任意实数，求证：







22

()cos()sin1bb

aa

fxkxdxfxkxdx（*）

证（*）式左端

()cos()cos()sin()sin

bbbb

aaaa

fxkxdxfykydyfxkxdxfykydy

()()()

bb

aa

dxfxfycoskxydy()()1bb

aa

dxfxfydy

原式获证.

2.4利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法

例6设函数()fx在0,1上有连续二阶导数，(0)(1)0ff，()0fx

4

（0,1x），试证：

''

1

0

()

4

()

fx

dx

fx

.

证因

()0fx

（0,1x），故

()fx

在0,1内恒正或恒负（否则由介值性知

必有零点在0,1内，与

()0fx

矛盾），不妨设

()0fx

（

0

的情况类似可证），

0,1x,因

()fx

在0,1上连续，故存在0,1c，使得

01

()max()

x

fcfx



，于是对

任意01ab有

''''

11

00

()()

()()

fxfx

dxdx

fxfc

1

''''

0

11

()()

()()

b

a

fxdxfxdx

fcfc

''

1

()

()

b

a

fxdx

fc



''

1

()()

()

fbfa

fc



下面我们来恰当地选取

,ab

，得到所需的估计.注意到

(0)(1)0ff

，应用

Lagrange公式得，

'

()(0)()

0,,()

0

fcffc

cf

cc









；

'

(1)()()

,1,()

11

ffcfc

cf

cc









.

令

,ab

，则

''

1

''

0

()1

()()

()()

fx

dxfbfa

fxfc

1()()1

()1(1)

fcfc

fccccc





因为

211

(1)

24

cc

cc











，所以

''

1

0

()1

4

()(1)

fx

dx

fxcc





，获证.

2.5构造变限积分的方法

对于一个积分不等式，可把常数a变为变量构造辅助函数

()yFx

，再利用函数

()yFx

的性质来证明积分不等式.

例7设

()fx

在0,1上可微，且当0,1x时，'0()1fx，

(0)0f

，试证明：

11

23

00

(())()fxdxfxdx.

证1问题在于证明

11

23

00

(())()0fxdxfxdx

故令23

00

()(())()xxFxftdtftdt，因

(0)0F

，故只要证明在

(0,1)

内有'()0Fx.

5

事实上，'3

0

()2()()()xFxfxftdtfx2

0

()2()()xfxftdtfx











令2

0

()2()()xgxftdtfx，故只要证明在

(0,1)

内有

()0gx

，因

(0)0g

，故只

要证明在

(0,1)

内有'()0gx.事实上，

'''()2()2()()2()(1())gxfxfxfxfxfx，

已知

(0)0f

，'0()1fx（0,1x），故

(0,1)x

时，

()0fx

，所以'()0gx，

故'()0Fx.

证2已知

(0)0f

，'0()1fx（0,1x），故

(0,1)x

时，

()0fx

所以问题在于证明

1

2

0

1

3

0

(())

1

()

fxdx

fxdx







（*）

令2

0

()(())xFxfsds，3

0

()()xGxfsds

则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有

1

2

0

1

3

0

(())

(1)(0)

(1)(0)

()

fxdx

FF

GG

fxdx











'

'

()

()

F

G





0

3

2()()

()

fftdt

f









0

2

2()

()

ftdt

f







0

00

22

2()2()

()(0)

ftdtftdt

ff













''

2()1

1(01)

2()()()

f

fff









2.6其它方法

证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就

不一一介绍了.

3几个重要积分不等式及其应用

本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明

这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨

6

论它们的证明与应用.

3.1Schwarz不等式及其应用

3.1.1Cauchy不等式[9]

对任意n个数0,1,2,3,

i

ain恒有222

111

()()()

nnn

iiii

iii

abab



，其中等号当且仅

当

ii

ab与成比例时成立.

我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式.

3.1.2定理1(Schwarz不等式)[9]

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a)()())()((222,

)(),(xgxf

在区间

],[ba

上可积，其中等

号当且仅当存在常数

,ab

，使得

()()afxbgx

时成立（

,ab

不同时为0）.

证1将

],[ba

n

等分，令

()

i

i

xaba

n



，应用Cauchy不等式得

222

111

(()())()()

nnn

iiii

iii

fxgxfxgx



，则有

222

111

111

(()())()()

nnn

iiii

iii

bababa

fxgxfxgx

nnnnnn





，令n得

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a)()())()((222.

证2利用定积分的性质易知

0])()([2dxxtgxfb

a

，即

0)()()(2)(222b

a

b

a

b

a

dxxfdxxgxftdxxgt

(1)当2()0b

a

gxdx时，因为()gx在区间

],[ba

上可积，所以2()gx在区间],[ba上

也可积且非负，故有2()0,gxae于E，所以()0,gxae于E，继而有

()()0,fxgxae于E，所以有()()0b

a

fxgxdx，命题得证，其中,Eab.

(2)当2()0b

a

gxdx时，上面方程是关于t的二次多项式不等式，因此，判别式：

0)()(4))()((4222b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

，即：

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a)()())()((222,命题得证.

7

证3利用二重积分来证明Schwarz不等式.

222()()(()())bbb

aaa

fxdxgxdxfxgxdx

2222

11

()()()()()()()()

22

bbbbbb

aaaaaa

fxdxgxdxfydygydyfxgxdxfygydy

2222

1

[()()()()2()()()()]

2

bb

aa

dyfxgyfygxfxgxfygydx

2

1

[()()()()]

2

bb

aa

dyfxgyfygxdx0

即有

dxxgdxxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a)()())()((222，由此看出若

)(),(xgxf

在区间

],[ba

上连续，其中等号当且仅当存在常数

,ab

，使得

()()afxbgx

时成立（

,ab

不

同时为0）.

3.1.2Schwarz不等式的应用

应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数

,fg

.

例1已知

()0fx

，在,ab上连续，

()1

b

a

fydy，k为任意实数，求证：







22

()cos()sin1bb

aa

fxkxdxfxkxdx（*）

证（*）式左端第一项应用Schwarz不等式，得







22

()cos()(()cos)bb

aa

fxkxdxfxfxkxdx2()cos()bb

aa

fxkxdxfxdx

2()cosb

a

fxkxdx

同理

2

2()sin()sinbb

aa

fxkxdxfxkxdx

所以





22

22()cos()sin()cos()sinbbbb

aaaa

fxkxdxfxkxdxfxkxdxfxkxdx

()

b

a

fxdx1

例2求证：

111

222

222((()()))(())(())bbb

aaa

fxgxdxfxdxgxdx,其中

)(),(xgxf

在区间

],[ba

上连续，其中等号当且仅当存在常数

,ab

，使得

()()afxbgx

时成

立,

,ab

不同时为0.

8

证222(()())()()2()()bbbb

aaaa

fxgxdxfxdxgxdxfxgxdx

11

2222

22()()2(())(())bbbb

aaaa

fxdxgxdxfxdxgxdx

2

11

22

22(())(())bb

aa

fxdxgxdx











对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.

3.2Ho..lder不等式及其应用

3.2.1基本形式[10]

设,0,1,2,3,

ii

abin，',kk为实数，且有

'

11

1

kk



，则

当1k（从而'1k）时，

11

'

'

111

nnn

kk

kk

iiii

iii

abab













当

1,0kk

（从而'1k）时，

11

'

'

111

nnn

kk

kk

iiii

iii

abab













其中等号当且仅当

ii

ab与成比例时成立.

3.2.2Ho..lder不等式的积分形式[10]

定理2设

(),()0fxgx

，并使得所论的积分有意义，

,'0,1kk

为共轭实数（即

'

11

1

kk



），则

当1k（从而'1k）时，





11

'

'()()()()bbb

kk

kk

aaa

fxgxdxfxdxgxdx

当

1,0kk

（从而'1k）时，





11

'

'()()()()bbb

kk

kk

aaa

fxgxdxfxdxgxdx

若

,fg

连续，则其中的等号当且仅当'()()kkfxtgx时成立.

证当1k（从而'1k）时，令[,]Eab.

因为

(),()0fxgx

，所以'()0,()0bb

kk

aa

fxdxgxdx，

(1)若

()0

b

k

a

fxdx，又

()0fx

，则()0kfx，所以(),kfxae于E，故

9

(),fxae

于E，所以有

()(),fxgxae

于E，故

()()()()0b

aE

fxgxdxfxgxdx，原式得证.同理'()0b

k

a

gxdx时，原式可证.

（2）若()0

b

k

a

fxdx，'()0b

k

a

gxdx，

令1

()

()

()k

k

E

fx

x

fxdx





，'

'

1

()

()

()k

k

E

gx

x

gxdx





，因为有

'

'

kkAB

AB

kk

（此式见

本文第13页例8）,令

(),()AxBx

，则得

'

'

()()

()()

kkxx

xx

kk





'

'''

()()

()()

kk

kk

EE

fxgx

kfxdxkgxdx





所以

'

11

()()1

E

xxdx

kk

，'

11

()()

1

()()

E

kk

k

k

EE

fxgx

dx

fxdxfxdx











11

'

'()()()()bbb

kk

kk

aaa

fxgxdxfxdxgxdx.

当

1,0kk

（从而'1k）时，因'(1)0kkk，则

''

1

(1)()()()()()()

k

bbb

k

kkkkkk

aaa

fxdxfxgxdxfxgxgxdx







1

'()(()())()

k

bbb

kkk

aaa

fxdxfxgxdxgxdx



















'

1111

''()()()()()()

k

bbbbb

kkk

k

kkkk

aaaaa

fxgxdxfxdxgxdxfxdxgxdx





所以有





11

'

'()()()()bbb

kk

kk

aaa

fxgxdxfxdxgxdx.

在上述两种情况中，等号当且仅当'()()kkfxtgx时成立.

3.2.2Ho..lder不等式的应用

例3试证明：

3

sincos

2

00

(0)

4

xxxadxadxa





.

证令

2

xt





，sincos

2

00

xtxadxadt





10

于是sincoscoscos

222

0000

xxtxxadxadxadtadx





2

coscos

2

22

0

tt

adt











2

4





3

4





例5设函数

f

在0,1上连续可微，且

(1)(0)1ff

，求

1

'2

0

()1fxdx.

证在Ho..lder不等式中取'2kk

，则











111

111

222

'2'22

000

()()1fxdxfxdxdx11

''

00

1()()fxdxfxdx(1)(0)1ff

故有

1

'2

0

()1fxdx

3.3Gronwall不等式及其应用

3.3.1Gronwall不等式[2]

定理3设

k

为非负常数，

(),()ftgt

为区间,ab上的连续非负函数，且满足不等

式

()()()

t

a

ftkfsgsds，,tab，则有

()exp()t

a

ftkgsds，,tab.

证1当0k时，令()()()

t

a

tkfsgsds，则()t在,ab上恒正且可导，则

'()()()()()tftgtgtt，则

'()

()

()

t

gt

t







'()

()

()

tt

aa

s

dsgsds

s





，

ln()ln()()t

a

tagsds

()exp()b

a

ftkgsds；

当0k时，

()()()

t

a

ftfsgsds，,tab

0

，

()()()t

a

tfsgsds，则有

()exp()t

a

ftgsds

由



的任意性知，

()00exp()t

a

ftgsds，原式得证.

证2令

()()()

t

a

tfsgsds，

()exp()t

a

tgsds

则()0a，

()1a

且()t在,ab上可导，'()()()(())()tftgtktgt

'()()()()ttgtkgt'()()()()()()ttgttkgtt





对上式两边取积分得，'()()()()()()tt

aa

ssgssdskgssds





11

()()0()()exp(())t

a

ttktktkkgsds

()()exp(())exp(())tt

aa

fttkkkkgsdskgsds，原式得证.

3.3.2Gronwall不等式的应用

下面我们来看一下Gronwall在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用.

例6设积分方程

0

0

(,())x

x

yyfyd在区间

00

,xxh上存在连续解，且

(,)fxy

关于

y

满足Lipschitz条件：

1212

(,)(,)fxyfxykyy，证明这个连

续解

()x是惟一的.

证设此方程还有一连续解()x.现在取

00

()xy，构造皮卡逼近函数序列如下：

0

00

01

()

()(,())x

nn

x

xy

xyfd























，

00

,xxxh，

1,2,3n

则

0

0

()(,())x

x

xyfd，

0

0

()(,())x

x

xyfd

00

()()(,())(,())xx

xx

xxfdfd

0

(,())(,())x

x

ffd

0

()()x

x

kd

应用Gronwall不等式得()()0xx，则有

()()xx

，即连续解()x是惟

一的.

3.4Young不等式及其应用

著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特

点的Young不等式.

3.4.1Young不等式[10]

定理4设

()fx

递增，连续于0,，

(0)0f

，

,0ab

，1()fx表示

()fx

的反

函数，则1

00

()()ababfxdxfydy，其中等号当且仅当

()fab

时成立.

该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情

12

况，如下图所示，这时

0

()a

OABO

fxdxS，1

0

()b

OCEO

fydyS，

OADEO

abS，其中

OCEO

S表示图形

OCEO

的面积.

y=f(x)

(1)

x

y

B,C,D

O

E(b)

A(a)

y=f(x)

(2)

x

y

C

D

O

E(b)

A(a)

B

y=f(x)

(3)

x

y

C

O

E(b)

A(a)

B

D

()bfa()bfa()bfa

证01

我们证明()

1

00

()()()afafxdxfydyafa①

因为

()fx

递增，连续于0,a上，故1f递增，连续于0,()fa上.故①式有意义.

将0,an等分，记分点为

012

0

n

xxxxa，相应的点为()

ii

yfx，

（

1,2,3,in

）构成0,()fa上的一个分划：

012

0()

n

yyyyfa，

因为

()fx

在0,a上连续，故在0,a上一致连续.故n时，对于分划

012

0()

n

yyyyfa来讲，有

11

111

maxmax()max(()())0

iiii

ininin

yyyfxfx





n，故

()

11

1

00

11

()()lim()()

nn

afa

iiii

n

ii

fxdxfydyfxxfyy



















1

111

1

lim()()(())()()

n

iiiiii

n

i

fxxxffxfxfx

















111

1

lim()()()()

n

iiiiii

n

i

fxxxxfxfx

















11

1

lim()()

n

iiii

n

i

fxxxfx











00

lim()()

nn

n

fxxxfx





13

()0(0)()afafafa

，①式获证.

02

由①式可知，若

()bfa

，则1

00

()()ababfxdxfydy中等号成立.

03若

0()bfa

，则由

f

的连续性知，存在

0

0,xa，使得

0

()fxb，于是

00

0

()

11

0000

()()()()()abxafx

x

fxdxfydyfxdxfxdxfydy

00

0

()

1

00

(()())()xfxa

x

fxdxfydyfxdx

00000

()()()()fxaxfxxafxab

04()bfa

时，只要把f看作是1f的反函数，就可由03的结论得到.

05联系02

，03，04

可知定理成立.

3.4.2Young不等式的应用

例7证明当

,1ab

时，不等式1lnaabebb成立.

证令()1xfxe，则f单调递增且连续，1()ln(1)fyy

因

,1ab

，应用Young不等式可得

11

1

00

(1)(1)()()ababfxdxfydy



1lnaabebb.

例8设,0ab，1p，

11

1

pq

，试证：

pqab

ab

pq

.

证设1()pfxx，则f单调递增且连续，11()qfxy

因1p，应用Young不等式可得1

00

()()

pq

abab

abfxdxfydy

pq

，且等号当

且仅当

()fab即pqab时成立。原式获证.

4积分不等式的应用

4.1求含积分的数列或函数的极限

设收敛数列()

n

afn或()yfx是一个有关定积分的数列或函数，若它不容易算

出来，此时我们就可以借助两个积分不等式来估计它，再应用数列或函数的夹逼

原则即可以得出它的极限.

14

例1求（1）2

0

limsinn

n

xdx





；（2）

1

0

lim

1

n

n

x

dx

x



解（1）任意

0

（不妨设

0

2





）

2222

00

22

0sinsinsinnnnxdxxdxxdx









222

0

22

sin()1

22

ndxdx











()sin()

22222

n





因为

0sin()1

22





，所以

()sin()0()

2222

nn





故存在0N，使得nN时，

()sin()

22222

n





所以

()sin()

22222

n





故2

0

limsinn

n

xdx





=0.

（2）因

11

00

1

00()

1

1

n

n

x

dxxdxn

n

x







，所以

1

0

lim

1

n

n

x

dx

x

=0.

例2设

f

严格递减，在0,1上连续，

(0)1,(1)0ff

，试证：任意0,1，

都有

1

0

()

lim0

()

n

n

n

fxdx

fxdx













.

证因为

f

严格递减，0()()

2

ff



，所以

()

0()

()

2

n

f

n

f

















故对任意固定的0,1有

111

22

0

00

()()()

0

()

()()

2

nnn

n

nn

fxdxfxdxfdx

fxdx

fxdxfdx

















()1

0()

()

22

n

f

n

f



















所以

1

0

()

lim0

()

n

n

n

fxdx

fxdx













.

4.2估计积分

15

对于一个定积分

()

a

b

tfxdx，若它不易求出，而又要用.到它的一些性质时，我

们往往用另外两个定积分来逼近它，或找一个接近它的定积分作为它的估计值.

例3估计下列各式

（1）

1

2

1

2

arctanxdx



；（2）2

1

0

xedx；（3）

1

1

2

0

,

1

nx

dxnZ

xx









解（1）因为

()arctanfxx

在

11

,

22









上有界，即

11

,

22

x









，有

()

2

fx





，

所以

1

2

1

2

arctan

2

xdx





.

（2）因为2()xfxe在0,1上是单调递减的，故

(1)()(0)ffxf

，

0,1x，即

1

()1fx

e



，所以2

1

0

1

1xedx

e

.

（3）令2()1fxxx，则0,1x时，

3

()1

4

fx

，所以

1

11

1

2

00

1

1()

n

n

x

dxxdx

xxf







1

()nf

（

(0,1)

），故

1

1

2

0

14

13

nx

dx

nxxn









下面我们来看下积分估计在某些例题中的应用.

例4．设f在0,

2









上连续，22

00

()sin()cos0fttdtfttdt



，试证：f在0,

2









内至少有两个零点.

证若f在0,

2









内无零点，因f连续，f在0,

2









内恒保持同号，则

()0fx

（或

0），则得到估计2

0

()sin0fttdt



（或0），这与已知条件矛盾.可见f在0,

2









内至少有一个零点

0

x0,

2











.

若f除

0

x外在0,

2









内再无零点，则f在

0

0,x与

0

(,)

2

x



内分别保持不变号.

若f在此二区间符号相异，则

0

()sin()fxxx在

0

0,x与

0

(,)

2

x



内恒正（或恒负），

16

则2

0

0

()sin()0fxxxdx



（或

0

），但由已知条件

222

000

000

()sin()cos()sinsin()cosfxxxdxxfttdtxfttdt



0

矛盾.若

f

在此二区间符号相同，则

0

()cos()fxxx在

0

0,x与

0

(,)

2

x



内恒正（或恒负），

同样可推出矛盾.故

f

在0,

2









内至少有两个零点.

例5设

f

在0,1连续，

1

0

()0kxfxdx，

0,1,2,,1kn

，

1

0

()1nxfxdx，

求证：在0,1的某一部分上()2(1)nfxn.

证由已知条件，对任意a，恒有

1

0

()()1nxafxdx.

假设在0,1处处都有()2(1)nfxn.若能选取恰当的a，由此得出估计

1

0

()()1nxafxdx，便找到了矛盾.事实上，取

1

2

a，有

11

00

11

()()2(1)

22

n

nnxfxdxnxdx1

1

2

1

0

2

11

2(1)()()1

22

nnnnxdxxdx











证毕.

4.3证明不等式

例6．证明不等式

n

n

nln1

1

2

1

1)1ln(

证考虑函数

,2,1,1,

1

)(nnxn

n

xf

,

),1[,

1

)(x

x

xg

.

易见对任何

n

,在区间

]1,1[n

上

)(xg

和

)(xf

均单调,因此可积,且有

)(xg)(xf,注意到)(xg

)(xf,就有11

11

()()nngxdxfxdx.而

111

1

111

1

()()

nnn

nii

ii

iii

dx

fxdxfxdx

ii







,

11

1

1

11

()ln|ln(1)nn

n

dx

gxdxxn

x



，

因此有

1

2

1

1

1

)1ln(

1

ni

n

n

i





.

取

,2,1,1,

1

1

)(



nnxn

n

xf

,

),1[,

1

)(x

x

xg

.

17

在区间

]1,1[n

仿以上讨论,有

11

()()nngxdxfxdx.而

1

()lnngxdxx，

11

1

1

11

11111

()

1123

nn

ni

i

ii

fxdxdx

iin













，

n

n

ln1

1

2

1

1

.

综上所述,有不等式

n

n

nln1

1

2

1

1)1ln(

.

例7试证：

121

2

nnnnnn

nnnn











.

证由定积分定义有：

1

0

12111

0

1

nnn

n

n

xdx

nnnnn























121

1

nnnnn

nnnn













所以有

121

12

1

nnnnnnn

nnnnn





















.

4.4一阶线性微分方程的存在惟一性定理

考察微分方程的初值问题：

0

0

(,)

|

x

dy

fxy

dx

yy















(1)

设

(,)fxy

在2R上连续，且关于

y

满足Lipschitz条件

1212

(,)(,)fxyfxykyy

则问题⑴有满足初始条件的惟一解.

证问题(1)等价于积分方程

0

0

()(,())x

x

yxyftytdt的求解.取0，使得

1k.考虑连续函数空间

00

,Cxx

，定义映射：

0

0

()()(,())x

x

Tyxyftytdt，

显然

0000

:,,TCxxCxx，且

18



0

0

1212

(,)max(,())(,())x

x

xx

TyTyftytftytdt









0

0

12

max(,())(,())x

x

xx

ftytftytdt





0

0

12

max()()x

x

xx

kytytdt





0

120

max()()

xx

kyxyxxx





12

(,)kyy

12

(,)kyy

由于1k，故T是压缩映射.由Banach压缩映射原理，T有惟一不动点



00

(),yxCxx，使得

0

0

()(,())x

x

yxyftytdt

这个

()yx

是连续可微的，它就是问题(1)的惟一解.但它仅限定义于



00

,xx上，重复利用Banach压缩映射原理，可将它延拓到整个数轴上去.

4.5Volterra型线性积分方程解的存在惟一性

引理[6]设

X

是完备距离空间，:TXX，如果存在正整数

0

n，使得0

nT为压缩

映射，则T存在惟一不动点.

考察Volterra型线性积分方程：

()()(,)()

x

a

xfxkxyydy（2）

其中

()fx

在区间,ab上连续，而

(,)kxy

在正方形

,axbayb

上连续，则

对于任意，方程（2）恒有惟一连续解.

证利用上述引理来证明结论成立.

令,XCab，

()()(,)()

x

a

Txfxkxyydy

显然:TXX，任取

12

,X且有



1212

()()(,)()()x

a

TxTxkxyyydy

12

()max()()

ayb

Mxayy





12

()(,)Mba

其中

,

max(,)

axyb

Mkxy





22

1212

()()(,)()()x

a

TxTxkxyTyTydy

19

2

2

12

(,)()x

a

Myady

2

2

2

12

()

(,)

2

ba

M





归纳易知，一般地有

1212

()

()()(,)

!

m

m

mmm

ba

TxTxM

m







从而

1212

(,)max()()mmmm

axb

TTTxTx





12

()

(,),1,2,3

!

m

m

m

ba

Mm

m







由于级数

0

!

m

n

u

m





对任

u

都收敛，故可取一正数

m

，使得

()

1

!

m

m

m

ba

M

m







于是此

m

可视为引理中的

0

n，所以mT为压缩映射，于是T有惟一不动点，即方

程（2）在,Cab有惟一解.

5小结

本文将几种常见的证明积分不等式的方法列出，并不是就能解出所有的积分

不等式问题，目的在于能举一反三，碰到相同的题型可以用文中所提到的方法，

碰到没见过的题型应该仔细思考，认真分析，反复琢磨，以便能化为熟悉的类型

而把题目解出来．另外，有些题可用多种方法求解，应认真分析各种方法的利弊，

思索用最简单的方法来求解．

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