四面体体积公式

类似于海伦公式的四面体体积公式

欧培辅蝴南锡渤鹤卜中李长禄兰州粉中

平面几何中有一个叫做海伦—秦九

韶的三角形面积公式

。了可厂云砍歹二石灭歹二丽丁

其中。是三角形三边的长,是周

长的一半

有趣的是在立体几何中,也有一个与

之相类似的四面体体积公式

四面体含石

训丽爪而而而不蔺油面汤平不不砰刁,

①

其中‘是共顶点的三条棱的长

夕丫是相邻被组成的面角。是这三个

面角和的一半

公式①的证明

设四面体一中二

乙乙匕口

匕丫

作上平面垂足为作

尹上,垂足为声作尹上垂

足为尹连结刀‘产则丑,工

、

,裂。

尹上因为,,四点共

圆在特殊情况下,这四点可以退缩为三

点,甚至于一点但不可能退缩为两点,

所以,是此圆的直径因此,

,产匕,

产②

若为锐角刀为锐角时则尸

产点都在乙的边上,那么

匕产尸丫

此时②式可表示为

产产丫③

若为锐角刀为钝角时,则尸点

在乙的边上尹点在的反向

延长线上那么

匕,

‘一丫

此时②式可表示为③式

同理,若为钝角夕为锐角时②式也

可表示为③式

若夕角都是钝角时产‘点

都在乙两边的反向延长线上那么

之,,遏鱼丛通之

此时,②式可表示为③式

若口角之一为,不妨设口二

,则产点和点重合图

上图,

’上图

‘三点共圆

©://

‘

、

成立

若口角都为钝角时则产‘

点都在之两边的反向延长线那么

入丁乙,,重坦醚匕肛二丫

图

’

,产

艺产尹

图

又,’艺产产二匕尹刀

一艺一丫图

’二尹产

此时②式可表为③式

若角都是时由②式可得

‘尸成立

总之无论哪种情况③式总成立

又,二万

厂乙日

,,

产

,十么一产

,

艺‘‘““夕一

一西’。口乙‘,④

若为锐角刀为锐角时则‘

产点都在乙的边上那么

艺产尹艺“丫

此时有

夕之产尸二夕

若为锐角夕为钝角时则产在

艺的边万上‘点在的反向延

长线上那么

艺,

尹一乙一丫

艺产,一

此时有

夕尹

一口一“丫君丫

同理若。为钝角夕为锐角时上式也

,

此时有

夕匕‘‘夕丫

若夕角之一为或都为时

则口之一为零或都为零此时有

月艺二刀丫

总之无论哪种情况

夕乙产产尸丫

都成立,所以④式可表示为

,‘“’“十乙““刀一右“夕

丫二““夕一夕丫

姓,训而护。月一口云

于是

、二鱼。。十。。。一丫

丫

’训丽万王二初石厄

二侧“一“

二丫”么

刀夕丫

丫·,一·。夕一丫

而“丫一“口一口丫

二一“丫一一“刀十口丫

“夕丫一丫一

一口一

二〔君一刀〕丫一之丫一

一夕一刀

二口丫一口丫一“丫

一夕一夕

二〔夕一〕一

©://

一十口一丫〕一夕

二仁口一一一日〕

求棱长为的正四面体的体积

解。告,

二口丫,

丫一

口口

十一丫一乙

一

‘

一

一‘丫卜一刀”丫一、

——一—艺

正四面体古“侧若而亏万石

侧

,

口一一自工一

声了针丫

砂答

一

一︷

丫一

一山一

一丫一

一

口夕一白旦

“体积单位

丝

令

日一丫

。二弄

工厂“土日”

卜口卜则

所求正四面体的体积为髻一‘体

积单位

三棱锥一中侧棱

二臼一丫

一刀十

二。一口

的长分别是

艺匕

又艺

求这个棱锥的体积

一卜吕丫

一了一,勿一,

重点中学立体几何课本页第题

解勿专二

于是

三棱锥注“

时“勺些目洲鱼二夕土笙

侧

侧

一

寺训

一

一

沙一

一

二卫土全土兰

二告“阮了动五面己盔五面石面五息价丽五价

。。一。一夕。一丫

达色、‘

丫

、二鱼。西‘体积单位

答砧

一

功。一。一口

︺丫

一丫

劝一

一

一

斌丽五丈。一

所求三棱锥一的体积为

体积单位

又。。含

告

四而体一的体积

尹斗卜嘴卜咐、

丰小资料幸

气咭卜闷卜礴卜矛

四面体体积公式

寿,。

一

不艺丫

乙

单一

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一

侧。一月。一协

一含。阮侧盯而污而丈面二丽瓜可厉二两

侧。一

即四而休二舌“阮了云而而痴面二云下

丫。一夕。一

公式①的应用举例

四面体,。告丫

艺其中“。刀

艺丫二艺艺口是

面和底面所成的角根据《三角

法辞典》条改写

如果四面体一个共顶点的三条棱的

长都是由另外三个顶点确定的三角形的

边长分别是“则四面体

邵

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