特勒根定理

58

第五章特勒根定理

5-1引言

特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更

普遍的意义。

特勒根定理是en在本世纪五十年代初提出的[1、2]。实际上，在此之前，

已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。最早的工作应追溯到1883年

ide的论文[6]。尽管如此，先于Tellegen的作者们没有指出定理的普遍性及其应用

上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。定理以

Tellegen的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。

特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程

组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。

本章介绍特勒根定理。首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定

理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。

5-2特勒根定理

定理5-1（特勒根定理1）：对

n

个节点b条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，

必有

0),,,(02

1

21

































n

nb

T

b

I

I

I

VVVIV



（5.1）

其中，

b

V和

b

I分别是支路电压和支路电流向量。

证明：

由第一章网络的关联性可知

m

T

bbn

T

ab

IKIVKV（5.2）

各符号意义同第一章，于是有

ba

T

nb

T

b

IKVIV(5.3)

由基尔霍夫电流定律

0

ba

IK（5.4）

故必有

0

b

T

b

IV

（5.5）

证毕。

定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全

一致，必有

59

0

~



b

T

b

IV（5.6）

和

0

~



b

T

b

IV（5.7）

成立。其中

bb

IV,和

bb

IV

~

,

~

分别属于两个不同网络。

证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回

路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵

a

K和

b

K，这样有

ba

T

nb

T

b

IKVIV

~~

（5.8）

上式显然为零。这就证明了式（5.6）。同理可证式（5.7）。

式（5.1）和式（5.8）也可以用基尔霍夫电压定律加以证明。以式（5.8）的证为例

m

T

bbm

T

b

T

bb

T

b

IVKIKVIV)

~

(

~~

（5.9）

而由基尔霍夫电压定律

0

~



bb

VK

从而式（5.9）等于零。

所以，特勒根定理并不同时依赖于基尔霍夫两个定律，而仅由其一即能推导出定理的结

论。这种认识很重要，由此可以将特勒根定理作更广泛意义上的拓广。

定理5-1反映了网络能量守恒关系，称之为功率定理。定理5-2是两个不同网络支路电

压和电流的乘积，具有功率量纲，没有实际意义，称之为拟（似）功率定律（Quasi-power

theorem)

5-3互易定理

互易定理（Reciprocitytheorem）可以用特勒根定理简捷地证明，是特勒根定理应用的

一个范例。

互易性有两种等效的但是不同的定义。在一种定义中，设有一个有源二端口网络，观察

它的响应，如果将源与负载交换后响应一样，则网络是互易的，如图5-1所示。

图中，若网络互易，必有

12

~

VV

。

Maxwell,Rayleigh和Lorentz等人应用另一种更广泛的定义来定义

n

端口网络的互易

性。这就是，一个p端时不变网络，或者一个1p端元件，如果存在

NN

I

1。

。

。

。

。

。。

I

2

V

2

2/1/

1

2

I

SI

S

1

I

1

I

2

V

1

。

图5-1互易定理

(a)

(b)

1/

60

0)

~~

(

1





kkkk

P

k

IVIV（5.10）

其中k对应于端口

则称它是互易的。显然这是第一种定义的拓广。

网络元件可以看作是最简单的网络。因此若一个元件满足式（5.10），则称为互易元件。

对于一个两端元件

e

，如图5-2，考察

e

I

e

I

~

e

V

s

E

e

V

~

s

E

~

(a)(b)

图5-2元件的互易性

0

~~



eeee

IVIV（5.11）

是否成立以确定是否是互易元件。对于线性电阻、电容及电感，有

0

~~~~



eeeeeeeeee

IIZIIZIVIV（5.12）

因此它们是互易元件。

理想变压器是两端口元件，容易证明它是互易元件。可以举出许多非互易元件的例子，如晶

体管，回转器等等。

定理5-3（互易定理）：由互易元件组成的网络一定是互易网络。

证明：组成网络N的元件可以用支路表示，设端口支路用k表示，内部支路用j表示，

则由特勒根定理2，有

0

~



b

T

b

IV（5.13）

0

~~



kk

p

k

jj

b

j

IVIV（5.14）

0

~~



kk

p

k

jj

b

j

IVIV（5.15）

两式相减，有

0)

~~

()

~~

(

kkkk

p

k

jjjj

b

j

IVIVIVIV（5.16）

由于网络有互易元件组成，故

0)

~~

(

jjjj

b

j

IVIV（5.17）

得到

0)

~~

(

kkkk

p

k

IVIV

这正是式（5.10）.证毕。

注意，独立电源不是互易元件，所以对于独立源应放在端口。受控源不一定不是互易元

件，如线性负电阻就是互易元件。故互易性和无源性不完全等同。

e

e

61

5-4交互互易定理

对于网络N和N

~

，若满足

1）N和N

~

具有相同的拓扑结构。

2）如果内部支路（独立电源以外的支路）具有阻抗表达形式，并满足

b

T

b

ZZ

~

（5.19a）

或

b

T

b

YY

~

（5.19b）

其中

b

Z和

b

Y分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵；

3）N和N

~

端口以外的支路，即独立电源支路具有相同的性质（电压源或电流源）；

则称N和N

~

互为伴随网络（Adjointnetwork）。

定理5-3（交互互易定理）：若网络N和N

~

相互伴随，则对于非独立电源支路集合b，必有

0)

~~

(

1





llll

b

l

IVIV(5.20a)

或写作

0

~~



b

T

bb

T

b

IVIV（5.20b）

并称之为交互互易定理（Interreciprocity）。

证明

0

~~

~~~

)

~~

(

~~~







b

T

bb

T

b

b

T

b

T

bb

T

b

b

T

bbb

T

bb

T

bb

T

b

VIIV

IZIIV

IIZIVIVIV

由于N和N

~

具有相同的拓扑，故

T

aban

KYKY（5.21a）

T

aban

KYKY

~~

(5.21b)

考虑到

b

Y及

b

Y

~

互为转置，有

T

a

T

ban

KYKY

~

（5.22）

由式（5.21b），得

T

a

T

ba

TT

aba

T

n

KYKKYKY

~

)

~

(

~

（5.23）

62

从而

T

nn

YY

~

（5.24）

同理可得

T

nm

ZZ

~

（5.25）

因此伴随网络的性质1和2等价为节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵互为转置。

由式（5.16），设独立电源端口电压和电流参考方向相反，有

)

~~

()

~~

(

11

kkkk

b

k

jjjj

b

j

IVIVIVIV



（5.26）

即

p

T

pp

T

pb

T

bb

T

b

IVIVIVIV

~~~~

（5.27）

若

bbpp

IVIV,,,

及

bbpp

IVIV

~

,

~

,

~

,

~

从属于两个相互伴随的网络N和N

~

，由本节定理，有

0)

~~

(

1





kkkk

p

k

IVIV（5.28）

或

0

~~



p

T

pp

T

p

IVIV（5.29）

这与互易定理的形式（5-10）完全一致。但有一些不同。互易定理成立的前提是组成网络的

元件必须是互易元件，它是对同一个网络而言。交互互易定理的条件是两个相互伴随的网络，

并不要求元件具有互易性。事实上互易性是交互互易性的特例，分析如下。

若网络N由互易元件构成，必然满足式（5.17），

即

0

~~



b

T

bb

T

b

IVIV（5.30）

而

bb

T

b

T

b

bb

T

bb

T

b

T

b

b

T

bb

T

bb

T

bb

T

b

IZZI

IZIIZI

VIIVIVIV

~

)(

~~

~~~~







（5.31）

上式恒为零，只有

T

bb

ZZ（5.32）

这说明，互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身。由上式可以知道，

由互易元件构成的节点导纳矩阵和回路阻抗矩阵必为对称矩阵。

所以交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构造出伴随网络。（由节点

导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是

原网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵取相应矩阵的转置即可）。因此

伴随网络的选择非常容易。

若网络N的参考数发生了变化

b

Z，由此

b

V和

b

I都将变化，假定网络N

~

不变，则

bbbbbbb

IZIZIZV)(（5.33）

63

考虑式（5.20），有

b

T

b

T

b

b

T

bb

T

bb

T

b

T

b

b

T

bb

T

b

T

bb

T

b

T

b

b

T

bb

T

bbb

T

bb

T

bb

IZI

IVVIIZI

IVIZIIZI

IVIVIIVIVV

~

)

~~

(

~

~~~

~~

)(

~~

)(









即

又∵

b

T

bb

T

b

VIVI

~~



有∴

bb

T

bb

T

bb

T

b

IZIIVVI

~~~

（5.34）

上式说明了不含独立源的支路电压电流与网络参数变化量的近似关系（式（5.33）是近似表

达），它在灵敏度分析中起着重要作用。

5-5广义特勒根定理

本节介绍适合一切可以用线性方程表述的物理系统的广义特勒根定理。

由第三章可知，任意矩阵A都可表达为

LDRA（5.35）

的分解形式。其中A是

mn

阶矩阵，L和R分别为0，-1，1组成的qn和mq阶矩阵，

D是由A的非零元素组成的对角线矩阵。由此有下面的

一．广义特勒根定理

定义：称A

~

与A互为结构伴随矩阵，若满足

TTLDRA

~

~

（5.36）

于是，有下面的

定理5-4（广义特勒根定理）：对于结构相互伴随的

nn

阶矩阵A和A

~

形成的方程组

BAX（5.37a）

和

BXA

~~

~

（5.37b）

必有

BXWYTT

~~

（5.38a）

和

XBYWTT

~~

（5.38b）

成立。这里

RXY（5.39a）

64

XLYT

~~

（5.39b）

YDW

~~~

（5.39c）

DYW（5.39d）

证明：

考虑式（5.39），有

BXLDRXXDYXLWYTTTTT

~~

)

~

(

~

（5.40）

式（5.38a）得证。同理可证式（5.38b）

推论：若将方程作如下增广

0















u

X

BA(5.41a)

即

0CZ(5.41b)

其中

BAC（5.42a）















u

X

Z（5.42b）

并设

EEE

RDLC（5.43）

EEE

T

EE

EEE

EE

YDW

ZLY

YDW

ZRY

~~~

~~









（5.44）

则必有

0

~



E

T

E

WY（5.45a）

和

0

~



E

T

E

YW

（5.45b）

成立。

结论显然，证略。

二．矩阵交互互易定理

定义：对于任意的X和X

~

，若

0

~~

YWWYTT（5.46）

65

则称矩阵A和A

~

交互互易。

定理5-5（矩阵交互互易定理）：若A，A

~

为互为转置，则A，A

~

是矩阵交互互易，反之亦

然。且称A，A

~

互为伴随矩阵。

证明：由广义特勒根定理，得

XAAX

XAXAXX

XBBXYWWY

TT

TTT

TTTT

)

~

(

~

~

~~

~~~~







（5.47）

对于任意X，X

~

上式都为零，只有TAA

~

。

推论1：若A和A

~

互为结构伴随矩阵，那么，若DD

~

，则A和A

~

互为伴随矩阵。

推论2：若A矩阵为对称矩阵，即TRL，则其伴随矩阵就是它本身。并称A为互易

矩阵。

推论1、2结论是显然的，证略。

5-6广义特勒根定理的流图解析

由第三章第四节可知，对某节点而言，它对流出节点表示变量，对流入节点表示方程。

若赋以变量以“拟位”的概念，类似于电网络，流出支路——节点关联矩阵R与变量X乘

积

RXY

就具有类似于支路电压的性质，称为支路“拟压”拟压与类似于电网络支路导纳的数的乘积

DYW

就具有类似于支路电流的性质，称为支路“拟流”而

BAXLDRXLW（5.48）

表示流入到各节点的拟流之和，显然它等于B。设B为节点的流出拟流，于是就有流入拟

流之和等于流出拟流的关系，这正是基尔霍夫电流定律。对增广型方程表示方法，有

0

EE

WL（5.49）

也是基尔霍夫电流定律。它是右边量B移项所得。由此，可以证明广义特勒根定理。

XWRRXWYWTTTT)

~

(

~~



（5.50）

考虑到对结构伴随矩阵TR是节点——流入支路关联矩阵，从而

XBXWRYWTTTT

~

)

~

(

~



对于增广形式，有

0)

~

(

~

ZWRYWT

E

T

EE

T

E

66

这就是利用基尔霍夫电流定律的证明过程。事实上，在第5节的证明中隐含了这一点。

5-7利用特勒根定理进行方程组的灵敏度计算

方程组的灵敏度反映方程组受扰动后对方程组的解产生影响的大小。方程组所受扰动对

i

X的影响可用下式表达

j

j

i

n

j

jk

jk

i

n

k

n

j

i

b

x

x

a

a

x

X













111

(5.51)

其中

jk

a和

j

b分别表示A矩阵的元素和右边量B的元素。

设式（5.37a）有扰动，即

BBXXAA))((（5.52）

略去二次项，有

BXAAX（5.53）

设X

~

是关于伴随矩阵TAA

~

的解，于是

AXX

XAXXAXAXXXBBX

T

TTTTTT





~

~

~~~~~

（5.54）

即

)0,0,(

~~

(

~~~





b

TT

TTT

IABXXB

BXAXXXB

即且激励变化网络参数不变

网络参数变化）

（5.55）

取B

~

的第i个元素为1，其余为零，则

BiXAXiXXTT

i

)(

~

)(

~

这里

)(

~

iX对应于B

~

的第i个元素为1，其余为零时伴随矩阵方程的解。在已知X并求

得

)(

~

iXT后，通过比较系数，不难求得式（5.51）的各项导数，即灵敏度。

例5-1求方程







































1

1

32

12

2

1

X

X

变量

2

X对扰动的灵敏度。

扰动前



















































































0

21

1

1

2121

4143

1

1

32

121

2

1

X

X

67















31

22

~

TAA

































































21

21

1

0

2141

2143

~

~

)2(

~

)2(

2

1

x

x

X

故

2122122111

2

1

2221

1211

2

2121002121

)2121(

0

21

)2121(

bbaaaa

b

b

aa

aa

X































































从而

2

1

21

2

11

2











a

x

a

x

0

22

2

12

2











a

x

a

x

2

1

2

2

1

2











b

x

b

x

本文参考文献

[1]en,“Ageneralnetworktheorem,withapplication”,.,Vo1.7,

pp.259-269,(Aug.1952).

[2]en,“Ageneralnetworktheorem,withapplication”,ngrs.,

Australia,Vo1.14,pp.265-270,(Nov.1953)

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InstituteofTechnology,Pittsburgh,Pennsylvania,(June1949).

[4],“ReparticióndeCorrienteenunaredcenductora”,pano-Americana,

Vo1.5,pp.153-164,(June,1923).

[5],“Theresistanceofanelectricalnetwork”,1.1,

pp.316-324(June1950)

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[11],etal,“EnergytheoryofnsitivityinLCRnetworks”,IEEETrans.,-14

pp.380-387,(Dec.1976)

[12],etal,“Edge-Portconrvationinnetworks”,IEEETrans.,-15,pp.274-276,

(Sep.1968).