全反力

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1

摩擦角及其应用

提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡问题的思路，会用摩擦角解

题

关键词：全反力；摩擦角；最大静摩擦角；临界平衡

一、摩擦角的概念①全反力：物体所受的正压力与摩

擦力的合力，图1中的F就是全反力，N为物体所受

的正压力，f

k

为摩擦力。

动摩擦角：物体受动摩擦力作用时，正压力N与全反

力F的夹角，图1中的就是动摩擦角

tan

k

-1N

f

k

=tan-1

k



说明：接触面一定，动摩擦因数k一定，动摩擦角

k



就一定

静摩擦角：物体所受静摩擦力作用时，正压力N与全反力F’的夹角。图2

中的角

s



就是静摩擦角

s

=tan-1N

f

s

最大静摩擦角：物体所受最大静摩擦力f

m

作用时，

正压力N与全反力F的夹角。图2中的角

m



就是最

大静摩擦角

m



=tan-1N

f

m

=tan-1

s



说明：接触面一定，静摩擦因数

s



一定，最大摩擦角

m



就一定

一般情况下，物体平衡时，静摩擦力不超过最大静摩擦力，即

s





m

，其

中

s





m



是临界平衡状态。

判断一个受摩擦力的物体是否能静止时，可先假设该物体静止，由平衡条件

求出此时全反力与正压力间的夹角

s

=tan-1N

f

s

，然后判断：若

s





m



，

物体能静止平衡或临界平衡，假设正确；若

s



>

m



，物体不能静止平衡，

F

N

fk



图1

F'

N

fs

fm

F

s

m



图2

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2

假设错误。

二、意义引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角

后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程

度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态

平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题

（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确

定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定）这里特别补充说

明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0等效于三力共

点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交

三、应用摩擦角解12年高考24题第2问

1、（2012新课标）24（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如

图3）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因

数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上

拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推

力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角

θ

0

．若θ≤θ

0

，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使

拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ

0

。

解法一（标准答案）：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将

推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有

Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f（2）

式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有

f=μN（3）联立①②③得F=mg





cossin

（4）

(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有

Fsinθ≤λN（5）这时①式仍满足，联立①⑤得

sinθ-λcosθ≤λ

F

mg

(6)

现考察使上式成立的θ角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且

当F无限大时极限为零，有sinθ-λcosθ≤0(7)

使上式成立的θ角满足θ≤θ

0

，这里θ

0

是题中所定义的临界角，即当θ≤θ

0

时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为

tanθ

0

=λ⑧

图3

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3

45º

m

图4

解法二：用摩擦角解第二问

（2）临界平衡时，受力分析如图4，有θ

0

=

m



⑤

m

f=Fsin0⑥

N

Fsino

=λ⑦

tan

m



=

N

f

m

⑧

联立⑤⑥⑦⑧得:临界角的正切为tan0=λ⑨

显然，本题的难点是临界平衡条件方程的构建，而用摩擦角寻找临界平衡条件

直观明了，省去了用数学方法探讨极值的过程，这是用摩擦角解临界平衡问题的

优点所在。

以下例题我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F（以下讲到

的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），

例1，如图2所示，用绳通过定滑轮物块，使物块

在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，

若物块与地面的摩擦因素1，滑轮的质量及摩

擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是

（）。

A.绳子的拉力将保持不变B.绳子的拉力

将不断增大

C.地面对物块的摩擦力不断减小D.物块对地面

的压力不断减小

解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做

全反力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将

图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，它们就是绳子拉力

矢量，用曲箭头标明变化趋势。由1知力三角形中①和②

的夹角小于45º，初始状态绳子拉力与水平呈45º，力三角形

中③和①的夹角从45º开始慢慢减小，图3中θ<90º，不难得

出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图

1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。

例2，如图4所示，倾角45º的斜面上，放置一质量m的小物

块，小物块与斜面的动摩擦因素

3

3

，欲使小物块能静止

在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是

（）。

A.0sin15mg，与水平成15º斜向右B.0sin30mg，

竖直向上

C.0sin75mg，沿斜面向上D.0tan15mg，

水平向右

解析：由

3

3

得，摩擦角110

3

tantan30

3

，

F全N

fm

F

G

m



θ

0

图4

v

45º

图2

45º

m

图5

15º

30º

O

①

③

②

θ

O

图3

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4

作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面全反力，红色有向线

段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则

00sin(45)sin15Fmgmg方向与水平成15º斜向右。即A正确。例3，（2009.辽

宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)。现对

木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水

平面夹角为，如图6，在从0逐渐增大到90°的过程中，

木箱的速度保持不变，则（）

A.F先减小后增大B.F一直增大C.F的功率减小

D.F的功率不变解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速

度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所

示，则由平衡条件得：sinmgNF，cosfNF

两式联立解得

2cossin

1sin()

mgmg

F













，可

见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率

cos

cos

cossin1tan

mgvmgv

PFv











，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan

逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是

在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）

方法二（引入摩擦角）：由(01)得，摩擦角φ<45º，作

出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱

的全反力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向线段

为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，

F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减

小后增大。对于F的功率，由矢量表达式：

1FFG

v

vv

，重力的功率显然为0（重力与速度成

90º），得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的

功率11cosPFv•,显然F1与v的角度ψ保持不

变，而F1不断的减小，从而F的功率

|1||1cos|PPFv•的值不断的减小，所以答案为

AC。结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的

多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非

得参加竞赛的学生才掌握。

例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平

地面上，物体与地面的动摩擦因素

3

3

，想用力F推动物

体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内是可能

的？解析：摩擦角10tan30，考虑临界情况，重力

mg、地面对物体的全反力以及推力F构成闭合三角形时，则有

0

0

sin(60)sin

mgF







，临界角01

0

60sin

2

mg

F

，由图9

可知

0

时物体可在地面上滑动。即0160sin

2

mg

F

。

F

θ

图6

F

θ

图8

F

θ

图9

mg

ψ

F

φ<45º

图7

v

ψ

F1

F

G