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投稿嬲耩：ｓｘｉｋ＠ｖｉｐ １ ６３ ＣＯｒｎ 数学教学通讯（教师版） 试题研究）知识延伸

等差数列一Ｍ ｎ项和的一个特殊性质

等差数列前ｎ项和５ 有很多常规性

质．在解决有关等差数列前ｎ项和问题方

面有着广泛的应用．笔者在教学中发现，

等差数列前ｎ项和另有一个特殊性质在解

决有关５ ，Ｓ ，Ｊｓ一的某一类问题时，不但

能简化运算过程，提高解题速度，还能提

高解题的准确率．现阐述如下．

特殊性质

性质已知｛％｝为等差数列，其前ｎ项

和为＿ｓ ，贝０ｓ ．（ｍ＋ｎ）（，ｎ≠ｎ）．

证明因为｛ａｎ｝为等差数列，所以设

ｓ

…

ＡｍＺ＋

…

Ｂｍ＝

即 ｍｎ＝～ａｎ－—ｂｍ

．所以５ （ｍ＋凡）２＋口（ｍ＋

）＝Ａｍ ＋Ｂｍ＋Ａｎ ＋Ｂｎ＋２Ａｍｎ＝ａ＋ｂ＋

２吼一２ｂｍ（ａｍ－ａｎ＋ｂｍ－ｂｎ）＋（２ａｎ－２ｂｍ）

ａ－ｂ

．

（，ｎ＋ｎ）．所以，故５ ：—Ｓ￣－Ｓ．

．（ｍ＋ｎ）

，ｎ—ｎ

（ｍ≠／１）

性质应用

例１（２００７年辽宁卷）设等差数列

｝的前ｎ项和为Ｓ ，若Ｓ ＝９，￥６＝３６，则ａＴ＋

ａｓ＋ａ９＝（ ）

Ａ．６３ Ｂ．４５ Ｃ．３６ Ｄ．２７

方志平

广东惠州第一中学５１６００７

解析因为｛ ｝是等差数列，Ｓ３＝９，５６＝

３６，所以５ ・（６＋３）一－３６

３

＿９

×９＝８１．所

以研｝８Ｒ＋ Ｓ６－－４５，故选Ｂ．

点评因为ａ￣＋ａｓ＋ａｇ＝Ｓ９－Ｓ６，所以本题

实质上由５３＝９，￥６＝３６求 的问题，由上

述特殊性质求Ｓ。是很容易做到的．

注：由等差数列性质知Ｓ，，￥６－Ｓ３，Ｊｓ

成等差数列，即９，２７，Ｓ一 成等差数列，

从而也可求得￥９－Ｓ６－４５．

例２（２００６ｆｆ＿－ｚ￣国Ⅱ卷） 是等差数

列｛ ｝的前 和，若要＝了１，则 ＝（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１

１Ｏ ３ ８ ９

解析设ｓ ，Ｓ￣－３ｋ（ｋ＃Ｏ）， ・

（６＋３ １—３ｋ－ｋ ９

：６ｋ．

３

ｓ・ｚ＝９＿３３９－３３・（９＋３）＝ ６ｋ－ｋ．１２＝１０

，

所

以 ： ：

三

．故选Ａ

Ｓｌ２ ｌＯｋ １０

点评本题采用了设而不求的方法．

即由Ｓ３＝ ，￥６＝３ｋ，利用上述等差数列前ｎ

项和的特殊性质，用ｋ表示Ｓ ，Ｓ． ，使问题

得到解决．

注：由等差数列的求和公式可得： ＝

３ａ￣ ＋３ｄ

：

１

，

可得 ：２ｄ且ｄ≠ｎ从而也

６ａ．＋１５ｄ ３ ‘

可求得 ：鱼 ！± ： ： ． Ｓｌ２ １２ａｌ＋６６ｄ ９０ｄ １０

例３等差数列｛％｝的前ｎ项和为Ｓ 且

￥４＝２０，Ｓ ４＝６０，Ｓ．＝１２０，则ｎ：一

解析因为｛ｑ ｝为等差数列，Ｓ￣＝２０，Ｓ，

６。， ｌ２。，所以．ｓ ‘［（ｎ－４） ］ｊ

１２０：—６０－２０

．ｎ 故ｎ：１２．

ｎ－８

点评本题要注意到ｎ＝（ｎ－４）＋４，由公

式ｓ ．（， ）（ｍ≠ｎ），可求得ｎ的值．

倒４已知｛ ｝是等差数列…Ｓ为其前

ｎ项和，若ａ３＝２，Ｓ￣ｏ＝５０，求Ｓｌ，

解析因为｛ ｝是等差数列，Ｙ．－ｏｅ＝２，

所 ＝半．５－５ ｎ由ｓｍ＝ ・

（１５＋５）得：５０＝ ‘２０．

点评注意在等差数列中由叻的值能

直接求出Ｓ 的值，由等差数列前Ｉ１，项和特

殊性质ｓ 押＝ ．（ｍ＋ ）（ｍ≠ｎ）可知，

Ｓ５，Ｓ１５＇Ｓ∞知二可求一．

综上所述，涉及等差数列中 ， ，Ｓ～

“知二求一”的某一类问题．利用上述等差

数列前ｎ项和的特殊性质解决．可避免冗

长的推理和运算．大大降低难度，使解题

过程变得更为简捷１

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