三重积分的几何意义

1

二、三重积分的计算技巧

重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基

于积分区域的特点分析归纳得出。

一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）

1、在闭区域D为222ayx的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有

（1）dxdyydxdyx

ayxayx







222222

22

（2）若nm,中有一个为奇数有.0

222





dxdyyx

ayx

mn

例1．求dxdyyx

ayx







222

)3(22

解：根据对称性，

原式=dxdyyx

ayx







222

)(222=.24

2

00

3adrrd

a







例2．求

dxdyyx

ayx

2

222

)3(





解：原式=.

2

5

)(5)69(42222

222222

adxdyyxdxdyxyyx

ayxayx







例3．求.)53(

2222

2dxdydzzyx

azyx





（积分区域为球）

解：原式=.)10306259(

2222

222dxdydzxzyzxyzyx

azyx







=.

3

28

5

4

.

3

35

.)(

3

35

55222

2222

aadxdydzzyx

azyx





2、在闭区域D为222)(ayax的圆上

例4．求dxdyx

ayax



222)(

解：原式=

.)(3

2

)(222

adxdyaax

ayax





2

例5．求dxdyx

ayax



222)(

2

解：原式=

dxdyaax

ayax

2

)(222

)(





=



dxdyadxdyaxadxdyax

ayaxayaxayax222222222)(

2

)(

2

)(

)(2)(.

4

5

4a

3、在闭区域D为222)()(cbyax的圆上(处理方法同2)

二、积分区域的对称（化重积分为累次积分）

1、区域关于坐标轴对称

例6．区域D由12yxy与围成，求.)(222dxdyyxxy

D



解：原式=dyyxdxdxdyyx

x

D







1

1

1

2222

2

.=.

27

4

2、区域关于xy对称，DxyDyx),(,),(，有.),(),(

DD

dxdyxyfdxdyyxf

例7．求

D

dxdyyxxy.)(22其中区域D为222ayx，0,0yx

解：原式=

D

dxdyyxyx.)(22=0.

例8．

D

dxdyyxxy.)3(22其中区域D为222ayx，0,0yx

解：原式=dxdyxy

D

24=rdrrrd

a





2

2

00

2sincos4

=



sinsin42

2

0

0

5drd

a=6

9

2

a

例9.求

.

)()(

)()(

dxdy

yx

ybxa

D











其中区域D为222ayx，)(x为正值连续函

数。

解：根据对称性可知

dxdy

yx

ybxa

D







)()(

)()(





=

.

)()(

)()(

dxdy

yx

yaxb

D











3

则由2dxdy

yx

ybxa

D







)()(

)()(





=dxdyba

D

)(=.)(2Rba

故原式等于.)(

2

1

2Rba

例10.若函数)(xf在区间[0,1]上连续，并且

1

0

.)(Adxxf求11

0

)()(

x

dyyfxfdx

解：若)()(),(yfxfyxF则有),(),(xyFyxF

则211

0

)()(

x

dyyfxfdx=y

dxyfxfdy

0

1

0

)()(+11

0

)()(

x

dyyfxfdx

=1

0

1

0

)()(dyyfdxxf=2A

则11

0

)()(

x

dyyfxfdx的值为.

2

2A

三、形如dxdyyx

ayx







222

)(22或.

2222

222dxdydzzyx

azyx





积分的相关运算，

化重积分为定积分（利用极坐标或球面坐标）。

dxdyyx

ayx







222

)(22=

aa

rdrrfdrrfd

00

2

0

)(2)(



dxdydzzyx

azyx







2222

222=drrrdd

a





sin.

0

2

2

00

=drrrf

a

2

0

)(4

例11.令)(ag=dxdyyx

ayx







222

)(22,求.

)(

lim

2

0a

ag

a

解：

2

0

)(

lim

a

ag

a

=).0(

2

)(2

lim

0

f

a

aaf

a









例12．令)(ag=dxdydzzyx

azyx







2222

222,求.

)(

lim

3

0a

ag

a

解：

3

0

)(

lim

a

ag

a

=).0(

3

4

3

)(4

lim

2

2

0

f

a

aaf

a









4

例13．若)(ag=dxdyyx

ayx







222

)(22，1)0(,0)0(



ff，求.

)(

lim

3

0

a

ag

a

解：

2

0

3

03

)(

lim

)(

lim

a

ag

a

ag

aa







=



3

2

3

)(2

lim

2

0





a

aaf

a

.

3

2)0()(

lim





a

faf

ax

四、固定变量替换（利用图形寻找合适的变量替换）

例14．求.)cos(

2

dxdyyxe

yx

yx







解：令则有.,vyxuyx

2

v

2

-,

2

u

2

-





2

,

2

vu

y

vu

x







.则可算出雅克比行列式.

2

1

J

则原式=2

2

2

2

2

2

cos

2

1

2

1

cos



















eeududvedudvuev

D

v

五、用正交变换计算重积分

用正交变换的方法计算重积分，在很多求重积分的题目中会有意想不到的便利。

正交变换（其几何意义为坐标轴的旋转）计算重积分的方法是一种特殊的变量替换。

例15.将





222

)(

tyx

dxdybyaxf化为定积分

解：设

























































y

x

ba

ba

b

ba

a

v

u

11

2222，

则有u=

,

22ba

byax





ubabyax22

则





222

)(22

tvu

dudvubaf=dvubafdu

t

t

ut

ut











22

22

)(22

=

duutubaf

t

t

2222)(2

5

对于dxdydzczbyaxf

tzyx







2222

)(利用正交变换后

222cba

czbyax

u





，

则有ucbaczbyax222，则有：

dxdydzczbyaxf

tzyx







2222

)(

=dudvdwucbaf

twvu







2222

)(222=dudwucbafdu

t

t

utwv









2222

)(222

=.)()(22222duutucbaf

t

t







例16.求

dxdydzzyx

zyx

8

1222

)(





解：原式=duuu)1()3(2

8

1

1





=duuu





1

1

108)(81=

11

36

.