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更新时间:2022-12-03 07:00:36 阅读：评论：0

二模冲刺标语-远芳侵古道

2022年12月3日发(作者：工作会议)

1

例文一：行列式的计算方法

介绍7种常用方法

1三角化方法：通过行列初等变换将行列式

化为三角型行列式.

例1计算n+1阶行列式

xaaa

aaxa

aaax

Dn

n



321

21

1





2把某一行（列）尽可能化为零

例2计算：

y

x

D











2222

4

3递归法（数学归纳法）：设法找出D

n

和低

级行列式间的关系，然后进行递归.

2

例4证明：













11

1000

0010

001

000

nn

n

D



例5证明范德蒙行列式（n2）









nji

ji

n

nnn

n

xx

xxxx

V

1

11

3

1

2

1

22

3

2

1

321

)(

1111



4加边法：对行列式D

n

添上一适当行和列，

构成行列式D

n+1

，且D

n+1

=D

n

例6证明：

)

1

1(

11111

1

21

3

2

1











n

i

n

na

aaa

a

D



3

5拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.

即如果行列式的某行（或列）元素均为两项

和，则可拆分为两个行列式之和

例7设abcd=1,求证：

0

1

11

1

11

1

11

1

11

2





d

c

b

a

6利用行列式的乘积：为求一个行列式D的

值，有时可再乘上一个适当的行列式；或

把D拆分为两个行列式的积.

例8（1）

1)cos()cos()cos(

)cos(1)cos()cos(

)cos()cos(1)cos(

)cos()cos()cos(1

121

33231

23221

13121



nnn

n

D







4

（2）设S

k

=

1

k+

2

k++

n

k(k=1,2…),求证：













nji

ji

nnnn

n

ssss

sssn

1

2

2211

1432

321

121

)(



7利用拉普拉斯定理求行列式的值.

拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展

开定理的推广.

定义(1)在n阶行列式D中，任取k行k列

(1kn),位于这k行k列交叉处的k2个元素

按原来的相对位置组成的k阶行列式S，称

为D的一个k阶子式.如：

D=

3751

4852

1074

4621

则D的一个2阶子式为：S=

82

61

5

在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生

的k阶子式有Ck

n

个.

(2)设S为D的一个k阶子式，划去S所在

的k行k列，余下的元素按原来的相对位置

组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又

设S的各行位于D中的第i

1

,i

2

…i

k

行，S的

各列位于D中的第j

1

,j

2

…j

k

列，称

A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.

如：

3751

4852

1074

4621

则D的一个2阶子式为：S=

82

61

M=

35

17

为S的2阶子式

M=（-1）（1+3）+（1+3）

35

17

为S的代数余子式.

6

拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行

(1kn-1)，则由这k行所对应的所有k阶子

式与它们的代数余子式的乘积等于D.

例9计算

21000

12100

01210

00121

00012

D

例10块三角行列式的计算

设：

















nn

mm

C

B

A

*

0

或

















nn

mm

C

B

A

0

*

则：detA=(detB)(detC).特别地：若

A=diag(A

1

,A

2

,…,A

t

),则

DetA=(detA

1

)(detA

2

)…(detA

t

).

例11设分块矩阵















DC

B

A

0

，其中0为零阵，

B和D可逆，求A-1.

7

例12计算

n

b

aaa

D

100

010

001

0

2

1

21





例13设：















C

B

A

,BCT=0.

证明：AAT=BBTCCT.

例文2：行列式的多种计算方法

行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式

的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德

行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方

法，从而减轻计算量.

1定义法：n阶行列式等于所有取自不同列的n个元素的乘积的代数和．

8

例1：

nn

n

D







000

1000

0200

0010







解：在n！项中只有一项1n),n3,2(,

11342312





aaaaaa

nnnn

且不为零

!n)1(n1n21)1()1(D1n1n

112312

1n

n







nnnn

aaaa

2三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.

2.1特殊行列式

n21

nn

n

2

1

nn

n

2

1

nn

n

2

1

0*

00

*0

00

)1(





















下三角行列式上三角行列式对角行列式

n21

2

)1(

nn

n

2

1

nn

n

2

1

nn

2

1

)1(

00

0

00

)2(



























nn

次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式

2.2箭形行列式

例2

nn

n

D











001

0301

0021

1111

解：)

1

1(!

000

0300

0020

111

1

2

1

,3,2

1

















n

j

nn

n

j

C

j

C

nj

n

j

D

j







2.3可化为箭形的行列式

9









































n

1i

ii

n

1k

22

2

n

1k

ii

CC

n,2j

n

33

3

22

2

11

1

n

1i

ii

n11

3311

2211

321

r-r

n2,i

n

321

)x()1(

100

010

1

)(x

1001-

0101-

0011-

)(x

x00x

0x0x

00xx

x

D:

,,2,1,

3

j1

1i

a

ax

a

ax

a

ax

a

ax

a

ax

a

ax

a

ax

a

ax

x

a

aa

aaa

niax

xaaa

axaa

aaxa

aaax

D

kk

k

kk

n

kk

k

nn

n

ii

nn

n



















解

例

3降阶法降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列

式转化为低阶行列式进行计算

)!1()1(

2

1

)1(

00

000

)1(

000

00

000

00

000

4

11

1









nba

ba

b

a

ba

a

ba

a

ab

ba

D

nnnn

n















按第一列

展开

例

4升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行

列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算

10

0

)()1(

000

1

cccc

001

1

rrrr,rr

0

1

5

1

n

ax

1

12

ax

1

nn

1n1312































n

nn

ax

a

n

Dax

ax

na

ax

aaa

ax

aaa

xaa

axa

aax

aaa

Dax

xaaa

axaa

aaxa

aaax

D

时当

例



















5递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n，2

阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值

:,

)()(:,

)()(

000

00

)(

0

00

0

6

1

得由此递推下去

得递推公式由此

例



























n

nn

n

nn

n

nn

nnnnnn

n

axaDaxD

axaDax

a

aax

Dax

aaaa

axaa

aaxa

aaax

axaaa

xaa

axa

aax

aaxaa

axa

aax

aaax

xaaa

axaa

aaxa

aaax

D























11

])1([)(

)()1()(

)(])())[((

1

12

2

anxax

axanDax

axaaxaDaxaxD

n

nn















6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般

性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值

)

1

(1n

.)1)(

1

1(

)

1

1(

11

)

1

1(1

0

1111

7

1

1211

1

21

2

1

21

2

1

2

1

111

21

2

1





























n

i

nn

n

i

nn

i

n

a

aaaaD

n

a

aaaD

a

aa

a

D

a

aaD

aaa

a

D







的情形猜测正确，即设对

假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测

解

其中

例

1121

1

2

1

2

1

2

1

1111

000

1111











nnn

nn

n

Daaaa

Da

a

D















于是又归纳假设得：

)

1

1()

1

1(

1

21

1

121121











n

i

n

i

nnnna

aaa

a

aaaaaaaD

故对一切自然数n猜得正确，即

1),

1

1(

1

21





n

a

aaaD

n

i

nn



12

7利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行

列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式

例8

n

nnn

n

nnn

n

xxxx

D







321

22

3

2

1

321

1111





n阶范德蒙行列式为









nji

ij

n

nnn

n

aa

aaaa

1

11

3

1

2

1

22

3

2

1

321

)(

1111







解构造n+1阶范德蒙行列式

)(xf

1,11,

1

1,2

2

1,21,1

)1()1(

1

2

321

1

2

1

3

2

3

1

2

1

2

1

321

1

1111

















nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnn

n

AxAxAxxAA

x

xxxx

x

xxxx

















nij

jin

xxxxxxxx

1

21

)()())((

1,1,



nnnnn

AMD由f(x)的表达式知，1nx

的系数为











nij

jinn

nij

jinnn

xxxxxD

xxxxxA

1

21

1

211,

)()(



8拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简单的

行列式加以计算

例9设

nnn

n

aa

D







1

111



13

nnnnn

nn

n

xaxaxa

D











2211

2222121

1212111

解

nnnnn

nn

n

xaxaa

D











221

222221

121211

nnnn

nn

xaxax











221

22221

12121











n

i

nnnnn

nn

Ax

xaxaa

1

11

221

222221

121211













n

i

ij

n

j

n

i

n

i

inn

AxDAxAxD

111

11

1



9变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结

果，最终得到所求行列式的结果

例10

211

121

112







aa

D

n





解令ax1，由（拆项法例题结果）知



















n

i

n

j

ij

n

Aa

a

aaaa

D

11

)1(

100

010

001

111010

101110

101011











因为

)]1()1[()1(

0

)1(

1

nanaD

ji

a

An

n

ij



















10分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所

给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计

算，从而得到所给行列式之值

例11

14

nn

nnnn

n

bababa

D













21

22212

12111

解

2

1

3

))((

0

0000

1111

001

1221

11

321

3

2

1



















n

bbaa

ba

bbbb

a

D

n











例题

15

16

17

18

19

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