复合函数奇偶性

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复合函数的定义域和解析式以及单调性

【复合函数相关知识】

1、复合函数的定义

如果

y

是

u

的函数，

u

又是

x

的函数，即

()yfu

，

()ugx

，那么

y

关于

x

的函数

(())yfgx

叫

做函数

()yfu

（外函数）和

()ugx

（内函数）的复合函数，其中

u

是中间变量，自变量为

x

函

数值为

y

。例如：函数212xy

是由

2uy

和21ux

复合而成立。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数

(())yfgx

中

x

的取值范围。

⑵

x

称为直接变量，

u

称为中间变量，

u

的取值范围即为

()gx

的值域。

⑶

))((xgf

与

))((xfg

表示不同的复合函数。

2．求有关复合函数的定义域

①已知)(xf的定义域为)(ba,，求

))((xgf

的定义域的方法：

已知)(xf的定义域为)(ba,，求

))((xgf

的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即

)(bau,

，

)()(baxg,

。通过解不等式

bxga)(

求得x的范围，即为

))((xgf

的定义域。

②已知

))((xgf

的定义域为

)(ba，

，求

)(xf

的定义域的方法：

若已知

))((xgf

的定义域为

)(ba，

，求

)(xf

的定义域。实际上是已知直接变量

x

的取值范围，

即

)(bax，

。先利用bxa求得

)(xg

的范围，则

)(xg

的范围即是

)(xf

的定义域。

3．求有关复合函数的解析式

①已知

)(xf

求复合函数

)]([xgf

的解析式，直接把

)(xf

中的

x

换成

)(xg

即可。

②已知

)]([xgf

求

)(xf

的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在

)]([xgf

中把关于变量

x

的表达式先凑成

)(xg

整体的表达式，再直接把

)(xg

换

成

x

而得

)(xf

。

换元法：就是先设

txg)(

，从中解出

x

（即用t表示

x

），再把

x

（关于t的式子）直接代入

)]([xgf

中消去

x

得到

)(tf

，最后把

)(tf

中的t直接换成

x

即得

)(xf

。

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4.求复合函数的单调性

若

)(xgu

)(xfy

则

)]([xgfy

增函数增函数增函数

减函数减函数增函数

增函数减函数减函数

减函数增函数减函数

即“同增异减”法则

5.复合函数的奇偶性

一偶则偶，同奇则奇

【例题讲解】

一、复合函数定义域解析式

例1设函数

53)(,32)(xxgxxf

，求

))(()),((xfgxgf

．

例2已知

xxxf2)12(2

，求)122(f

例3①已知

,1)(2xxf

求

)1(xf

；

②已知

1)1()1(2xxf

，求

)(xf

．

例4⑴若函数

)(xf

的定义域是[0，1]，求

)21(xf

的定义域；

⑵若

)12(xf

的定义域是[-1，1]，求函数

)(xf

的定义域；

⑶已知

)3(xf

定义域是

5,4

，求

)32(xf

定义域．

例5①已知

x

xxf

1

)1(

，求

)(xf

；

②已知

2

2

1

)

1

(

x

x

x

xf

，求

)1(xf

．

例6①已知

)(xf

是一次函数，满足

172)1(2)1(3xxfxf

，求

)(xf

；

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②已知

x

x

fxf4)

1

(2)(3

，求

)(xf

．

二、复合函数单调性及其值域

①初等函数复合求单调区间与值域

例1已知函数

2251

3

xx

y









，求其单调区间及值域。

变式练习1

1.求函数

)(xf

=2215.0xx的单调区间及值域

2.求函数

52342

1



x

xy

的单调区间和值域.

例2求)(xf=2-4-5xx的单调区间及值域

变式练习2

求函数f(x)=212x的单调区间及值域

例3求2

11

22

1

(log)log5

2

yxx在区间[2,4]上的最大值和最小值

变式练习3

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1.求函数)45(log)(2

2

xxxf的单调区间及值域

2.求函数

2

logy

2

x

·

4

log

2

x

])81[(,x

的最大值和最小值.

②含参数的复合函数单调性与值域问题

例4已知函数)253(log)(2xxxf

a

（

0a

且

1a

）试讨论其单调性。

例5求函数)2(log2x

a

aaxy的值域。

变式练习4

1.讨论函数)1(logx

a

ay的单调性其中

0a

，且

1a

．

③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围

例6设函数)12lg()(2xaxxf，若)(xf的值域为R，求实数的取值范围．

例7已知)2(logaxy

a

在区间]10[,上时减函数，求a的取值范围.

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例8若函数

)3(log2axxy

a

在区间]

2

1

(a,上为减函数，求实数

a

的取值范围.

变式练习5

已知函数122axxy

在区间3,上是增函数,求

a

的范围.

解:令12axxu,则原函数是由12axxu与uy2复合而成.原函数在区间3,上是

增函数,而外层函数uy2始终是增函数,则易知内层函数12axxu在区间3,上也是增

函数.而实质上原函数的最大单调增区间是















2

,

a

,由3,















2

,

a

得3

2



a

,即

6a

.

【过关检测】

1.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

（1）)(xf

452xx

;（2）5)

2

1

(4)

4

1

()(xxxg

2.求下列函数的单调递增区间：（1）

226

2

1xx

y















;(2)622xxy.

3.已知函数

)10(log)(aaxxf

a

,

，如果对于任意)3[,xx都有1)(xf成立，试求

a

的取值范围.

4.已知函数

)(log)(2aaxxxf

a



f（x）=log2(x2-ax-a)在区间

]31,(

上是单调递减函数.求实数

a

的取值范围.

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5求函数

)32(log

1

2

5.0





xx

y

的单调区间

【考试链接】

1.（2008山东临沂模拟理，5分）若1a，且

yaxa

a

y

a

xloglog，则

x

与y之间的大小关系是（）

A．0yxB．0yxC．0xyD．无法确定

2.函数|1|||lnxeyx的图象大致是（）

3．（2008江苏南通模拟，5分）设

xxf

a

log)(（0a且1a），若1)()()(

21



n

xfxfxf（Rx

i

，

ni,,2,1），则)()()(33

2

3

1n

xfxfxf的值等于________。

4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log

2

（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。

5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：

①函数xay（0a且1a）与函数x

a

aylog

（0a且1a）的定义域相同；

②函数3xy和xy3的值域相同；

③函数

12

1

2

1





x

y与

x

x

x

y

2

)21(2

•



都是奇函数；

④函数2)1(xy与12xy在区间),0[上都是增函数。

其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）