圆柱展开图

数学教案－圆柱和圆锥的侧面展开图

第一课时

素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、

过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．

2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．

（二）能力训练点

1．通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和

概括能力；

2．通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；

3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽

象出数学模型的能

力．

（三）德育渗透点

1．通过圆柱的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“真知产生于

实践”的观点；

3．通过圆柱侧面展开图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体

图形为平面图形的“转化”的观点；

4．通过圆柱轴截面的教学，向学生渗透“抓主要矛盾、抓本质”的

矛盾论的观点．

（四）美育渗透点

重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：（1）圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特

征；

（2）会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积．

2．难点：对侧面积计算的理解．

3．疑点及解决方法：学生对圆柱侧面展开图的长为什么是底面圆的

周长有疑虑，为此教学时用模型展开，加强直观性教学．

教学步骤

（一）明确目标

在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，

涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天

“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容。

（二）整体感知

圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计

算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，

用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的

模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能

将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找到相互转化的对

应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．

（幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子

等），前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能

说出圆柱有哪些特征？（安排举手的学生回答：圆柱的两个底面都是圆面，

这两个圆相等，侧面是曲面．）

（教师演示模型并讲解）：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周

得到的图形是什么？（安排中下生回答：圆柱）．大家再观察，圆柱的上、

下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？（安排中下生回答：上底是以A为

圆心，AD旋转而成的，下底是以B为圆心，BC旋转而成的．）上、下底

面圆为什么相等？（安排中下生回答：因矩形对边相等，所以上、下底半

径相等，所以上、下底面圆相等．）大家再观察，圆柱的侧面是矩形

ABCD的哪条线段旋转而成的？（安排中下生回答：侧面由DC旋转而成

的．）

矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱

的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对

边AD、BC是上、下底面的半径。

圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同

学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？（安排中下生回答：相等．）哪

位同学发现圆柱上、下底面圆有什么位置关系？（安排中下生回答：平行）

A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条

性质？（安排中等生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心）哪位同学能

按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？（安排中上学生回答：圆

柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底，圆柱的母线平行于轴

且长都相等，等于圆柱的高，圆柱的底面圆平行且相等．）

（教师边演示模型，边启发提问）：现在我把圆柱的侧面沿它的一条

母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？（安排中

下生回答，短形）这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什么线

段？（安排中下生回答：一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周

长）．大家想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？

（安排中下生回答：底面圆周长某圆柱母线）大家知道圆柱的母线与高相

等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？（安排中下生回答：）

幻灯展示［例1］如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形

ABCD．已知，求这个圆柱形木块的表面积（精确到）．

矩形的AD边是圆柱底面圆的什么？（安排中下生回答：直径．）题

目中的哪句话暗示了AD是直径？（安排中上生回答：第一句，“把一个

圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD”．因圆柱轴过底面圆的圆心，

矩形过轴则意味AD过底面圆圆心，所以AD是圆柱底面圆直径．）cm是

告诉了圆柱的什么线段等于30cm？（安排中下生回答：圆柱的高等于

30cm）什么是圆柱的表面积？哪位同学知道？（安排中上生回答：圆柱侧

面积与两底面圆面积的和．）同学们请完成这道应用题．（安排一中上生

上黑板做题，其余在练习本做）

解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，

则

答：这个圆柱形木块的表面积约为．

幻灯展示［例2］用一张面积为的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，

求这个圆柱的底面直径（精确到0.1cm）．

请同学们任拿一正方形纸片围围看．哪位同学发现正方形相邻两边，

一边是圆柱的什么线段，另一边是圆柱底面圆的什么？（安排中下生回答：

一边是母线，另一边是底面圆周长．）

此题要求的是底面圆直径，所以只要求出正方形的什么即可？（安排

中下生回答：边长．）边长可求吗：（安排中下生回答：可求，因为已知

中给了正方形的面积．）

请同学们完成此题．（安排一中等生上黑板完成，其余在练习本上完

成）

解：设正方形边长为某，圆柱底面直径为d．

则，依题意（cm）

答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．

（四）总结、扩展

本节课学习了圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展

开图及其面积计算．

然后按总结顺序；依次提问学生，此过程应重点提问中下生．

布置作业

教材P．187练习1、2；P．192中2、3、4。

九、板书设计

第二课时

素质教育目标

（一）知识教育点

1．使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、

过轴的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。

2．使学生会计算圆锥的侧面积或全面积。

（二）能力训练点

1．通过圆锥的形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力

和概括能力；

2．通过圆锥的面积计算，培养学生正确迅速的运算能力；

3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽

象出数学模型的能

力．

（三）德育渗透点

1．通过圆锥的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“实践出真知”

的观念；

3．通过圆锥侧面展示图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体

图形为平面图形的“转化”的观点；

4．通过圆锥轴截面的教学，向学生渗透“抓主要矛盾，抓本质”的

矛盾论的观点．

（四）美育渗透点

通过学习新知，使学生进一步完整对几何美的认识，提高美育层次．

重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：（1）圆锥的形成过程和圆锥的轴、母线、高等概念及其性

质；

（2）会进行圆锥侧面展开图的计算，计算圆锥的表面积．

2．难点：准确进行圆锥有关数据与展开图有关数据的转化．

3．疑点及解决方法：由于学生空间想象能力较弱，对圆锥的侧面展

开图是扇形，用扇形一定可以围成一个圆锥的侧面有疑惑，为此安排学生

课前或课上或课下自己动手剪剪看或围围看，通过实践解决疑点．

教学步骤

（一）明确目标

在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在

生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这

些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7．21圆锥的

侧面展开图”所要研究的内容．

（二）整体感如

和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过

圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间

观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计

算，为学习立体几何打基础．

圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于

画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点．

本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运

动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，

使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展

开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之

间对应关系进行计算．

［幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］前

面屏幕上展示的物体都是什么几何体？［安排回忆起的学生回答：圆锥］

在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？安排举手的学

生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧

面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。

［教师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt，绕直线SO旋转一周得

到的图形是什么？［安排中下生回答：圆锥．］大家观察圆锥的底面，它

是Rt的哪条边旋转而成的？［安排中下生回答：OA］圆锥的侧面是Rt的

什么边旋转而得的？［安排中下生回答，斜边］，因圆锥是Rt绕直线SO

旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？［安排中

下生回答：轴．］大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？［安排学生稍

加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连

接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高．］圆锥的侧面是Rt的斜边

绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？

［安排中下生回答：母线．］给一圆锥，如何找到它的母线？［安排中上

生回答：连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母线．］圆锥的母线

应具有什么性质？［安排中下生回答：圆锥的母线长都相等．］

［教师边演示模型，边启发提问］：现在我把这圆锥的侧面沿它的一

条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？

［安排中下生回答：扇形．］请同学们仔细观察：并回答：1．圆锥展示

图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是圆锥的什

么线段？［安排中下生回答：扇形的弧长是底面圆的周长，即，扇形的半

径。就是圆锥的母线］由于，圆锥半径已知则展开图扇形的弧长已知，圆

锥母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这

个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．当然

展开图扇形的圆心角也可求．

［教师边演示模型，边启发提问］：如图，现在将圆锥沿着它的轴剖

开，哪位同学回答，经过轴的剖面是一个什么图形？［安排中下生回答：

等腰三角形．］这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？［安排中下

生回答：腰是圆锥的母线，底是圆锥的直径．这个等腰三角形的高也就是

圆锥的什么？［安排中下生回答：高］．这个经过轴的剖面，我们称之谓

“轴截面”，在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底

面圆半径．这个等腰三角形的顶角，我们称之谓“锥角”，大家不难发现

圆锥的母线、高、底面圆半径及锥角构成了一个直角三角形，它给定旋转

一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展开图—

—扇形的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就

是解这个直角三角形的问题．

幻灯展示例题：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长

50cm，（1）计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图．

要计算展开图的面积，哪位同学知道展开图扇形的弧长是圆锥底面圆

的什么？［安排中下生回答：周长．［展开图形的半径是圆锥的什么？

［安排中下生回答：母线．］

请同学们计算这个展开图的面积．［安排一中等生上黑板完成，其余

学生在练习本上做．］

解：圆锥底面圆直径80cm，∴底面圆周长cm，又母线长50cm∴展

开图扇形的半径50cm，弧长cm。∴

哪位同学到前面计算一下这个扇形的圆心角？［安排一名中下生上前，

其余在练习本上做］

解：且，，∴（度）。

同学讨论一下这个扇形怎样画？［安排一中上学生回答：首先画一个

半径为50cm的圆⊙S．然后用量角器作出72°的圆心角，则为弧的扇形，

r就是所要画的展开图．］

幻灯展开例题：图中所示是一圆锥形的零件经过轴的剖面，它的腰长

等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径，按图中标明的尺寸（单

位mm），求：

（1）圆锥形零件的母线长l；

（2）锥角（即等腰三角形的顶角）；

（3）零件的表面积．

图中给出等腰三角形的哪些尺寸？［安排中下生回答：高40，底边

长34］哪位同学会计算圆锥形零件的母线长l？［安排一中等生上黑板，

其余同学练习本上做］［答案：mm］锥角打算如何求？［安排一中等生回

答：解Rt求出，的对边DB，邻边SD已知∴选的正切．］请同学们求

出．［安排一中等生上黑板，其余在练习本上做］，［答案：］

零件的表面积等于什么？［安排中下生回答：圆锥的侧面积加上底面

圆面积．］计算圆锥侧面积所需条件已具备了吗？计算底面圆面积所需条

件呢？［安排中下生回答，］

请同学们把表面积求出来．［］

（四）总结、扩展

请同学们回顾一下，本堂课我们学了些什么知识？［可安排中下生相

互补充完整：1．圆锥的特征；2．圆锥的形成及有关概念；3．圆锥的展

示图；4．圆锥的轴截面。］

布置作业

教材P．191：练习1、2；P．193中5、6、7、8。

板书设计