一个白一个反

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第39讲推理问题

一、专题简析：

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就

是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。

推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理，

仔细分析，寻找突破口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才能使问题得

到较快的解决。

二、精讲精练

例题1有8个球编号是（1）——（8），其中有6个球一样重，另外两个球都

轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，结果如下：

第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；

第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；

第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。

那么，两个轻球分别是几号？

练习一

1、甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。

请说出他们各是几号。

2

2、某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874，756，123，364，925，

其中每一个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编

号是多少？

例题2一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三

种情况，判断每个数字对面上的数字是几。

练习二

1、一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三

种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。

3

2、根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什

么？

例题3小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了

其中的一门第一名，一门第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成

绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁？

练习三

1、下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在哪个盒子里。

4

2、赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。赵

只能教语文或自然，钱只能教数学或体育，孙能教数学、语文或自然，李只能

教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？

例题4有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所装笔的支数分别是11

支、13支、17支、20支、28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的

2倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其中有一只盒子放的是钢笔。这盒钢笔共有

多少支？

练习四

1、十三个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5、7、9、10、11、14、13、17、21、

24、24条。已知同一盆里的鱼是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都是青鱼或

鳊鱼，并且鳊鱼的条数是青鱼的6倍。刀鱼有几条？

5

2、有六只水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余

都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹

果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克。

例题5小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好看完。

已知这本书一共96页，他第几天看到了12页？

练习五

1、有一种水草，水草生长的面积每天扩大2倍，10天后，这片水草的面积是

42平方米。问：当水草长到第7天时，面积是多大？

2、有一条毛毛早由幼虫长到成虫，每天长一倍，30天能长到20厘米。问：长

到5厘米时要用多少天？

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三、课后作业

1、小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学

生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄

小。他们三人中，谁是工人？谁是战士？谁是大学生？

2、下图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同

样的顺序写有1、2、3、4、5、6六个数字，请写出每个数字的对面上的数字是

几。

3、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的哪位

同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来最晚。

（1）甲说：我回来时，丙还没回来；

（2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了；

（3）丙说：我进门时，乙正在床上；

（4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。

他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？

7

4、图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了7叠，其中只有一叠

是连环画，其余都是故事书和科技书，且故事书是科技书的6倍。已知这7叠

书分别有3、4、5、16、21、25和38本。问：连环画有多少本？

5、有一种细菌，每天繁殖一倍，20天达到4000个。问：当繁殖到500个时，

是第几天？

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第39周推理问题

专题简析：

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠

推理来解的数学题称为推理问题。

推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，寻找突破口，并

且可以借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。

例题1有8个球编号是（1）——（8），其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个

轻球，用天平称了3次，结果如下：

第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；

第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；

第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。

那么，两个轻球分别是几号？

分析从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球中有一个轻；从第三

次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8）中也有一个轻。

综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。

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练习一

1，甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。请说出他们各是几号。

答案

解：

因为乙不是最高，但他比甲和丁高，由此推出丙是最高，而甲不比丁高，那么丁比甲

高，由此从高到底排序为丙＞乙＞丁＞甲，图示从高低为2＞4＞1＞3，；1号是丁，2

号是丙，3号是甲，4号是乙.

故答案为：

1号是丁2号是丙3号是甲4号是乙

根据条件依次判断，并把他们进行排序.

解析

因为乙不是最高，但他比甲和丁高，由此推出丙是最高，而甲不比丁高，那么丁比甲

高，由此排序为丙＞乙＞丁＞甲，由此进行选择.

2，某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874，756，123，364，925，其中每一个数与商品编号恰

好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少？答案

方法一:每一个与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字.五个数,就要有五次相

同,列出这五个数:874,765,123,364,925百位上五个数各不相同,十位上有两个6和两

个2,个位上有两个4和两个5.

∴,商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同,商品编号的十位数

字一定和给定5个数中的两个十位数字相同,商品编号的百位数字只能跟5个数中的一

个百位数字相同.

若商品编号的个位数字是5,我们就把第二个和第五个数拿走,剩下的三个数的十位数

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字各不相同,无法满足题目的要求(事实上,十位数字只能取7,而十位上只有一个7).

若商品编号的个位数字是4,拿走第一和第四个数后,十位上仍有两个2,可取十位数字

为2,再拿走第三和第五个数,剩第二个数,它的百位是7,所以商品的编号为724.

如果一个数与商品编号在某一位有相同数字,那么这个数与商品编号不会再有另外相

同数字.因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的.

方法二:商品编号的个位数字只可能是3、4、5.

如果是3,那么874,765,364,925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字（百

位有一个相同,十位有两个相同）,还有一个数与商品编号无相同数字,矛盾.

如果是5,那么765,925的个位数字是5,从而商品号码的十位数字不是6、2,因此必须

是7.这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字,矛盾.

∴,该商品号码的个位数字只能是4,而且这个号码应为724.

即这个三位数为724.

3，小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道：小李比战

士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。他们三人中，谁是工人？谁是战士？谁是大学生？

答案

【解析】

根据小李比战士年龄大，所以小李是大学生或工人；因为小王和大学生不同岁，所以

小王是工人或战士；因为大学生比小张年龄小，所以小张是工人或战士；又因“小张年

龄比战士大”，所以小张是工人；小王是战士，小李是大学生，据此解答．

【答案】解：根据小李比战士年龄大，所以小李是大学生或工人；因为小王和大学生

不同岁，所以小王是工人或战士；因为大学生比小张年龄小，所以小张是工人或战士；

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又因“小张年龄比战士大”，所以小张是工人；小王是战士，小李是大学

生．

故答案为：

小张是工人；小王是战士，小李是大学生．

【点评】

此题主要考查推理问题的解法．解答此题的关键是要结合题意，进行分析、推理，弄

清所给的各个人身份之间的关联关系，进而得出所求的结论．

例题2一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面

上的数字是几。

分析如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。

（1）从（A）、（B）两种摆法中可以看出：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那么，4对面一定是3；

（2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出：1的对面不会是4、6，也不会是2、3，那么，1的对面一定

是5；

（3）剩下2的对面一定是6。

练习二

1，一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的

对面涂着哪种颜色。

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答案

解：：从前2个图形看，和蓝相邻的有黄、红、黑、白，那么和蓝相对的就是绿.从第

1个图形和第3个图形看，和红相邻的有黄、蓝、绿、白，那么和红相对的就是黑.则

和黄相对的就是白.

故这个正方体各个面上的颜色中蓝对面是绿；红对面是黑；黄对面是白.

故答案为：

蓝对面是绿红对面是黑黄对面是白

解析

从前2个图形看，和蓝相邻的有黄、红、黑、白，那么和蓝相对的就是绿.从第1个图

形和第3个图形看，和红相邻的有黄、蓝、绿、白，那么和红相对的就是黑.则和黄相

对的就是白.

本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意

在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力.

2，根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？

答案

解：

A--E；B--D；F--C

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故答案为：

A--E；B--D；F--C

解析

通过仔细观察，第一幅图可以判断A、F、D是相邻的面，相对的面是B、C、E；第

二幅图可以判断B、C、A是相邻的面，相对的面是E、D、F；第三幅图可以判断E、

D、C是相邻的面，相对的面是A、E、F.由此推断出A的对面是E；B的对面是D；F

的对面是C.

3，下图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、3、4、

5、6六个数字，请写出每个数字的对面上的数字是几。

答案

解：

观察图形可知，小正方形中与5相邻的数字分别为1、2、3、4，则与5对面的数字为

6；

因1、4相邻，2、4相邻，所以1和2相对；

剩下3和4相对.

故答案为：

5和6相对；1和2相对；3和4相对

例题3小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门

第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩

第一名的是谁？

分析因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，而小明已获得了数学第

二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。

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练习三

1，下面盒子上写的标签只有一张是正确的，请判断乒乓球在哪个盒子里。

答案

解：

设乒乓球在A盒，则A正确，由题意知，B和C错误，而B正确，所以乒乓球不在A

中，则C正确，所以B错误，则乒乓球在B中.

故答案为：

B

解析

根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.

本题主要考查逻辑推理能力，关键点在于找到推理的突破口

2，赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然和体育中的一门功课。赵只能教语文或自然，钱只

能教数学或体育，孙能教数学、语文或自然，李只能教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？答案

解：

李只能教自然，则赵只能教语文，所以孙教数学.

故答案为：

孙

解析

根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.

本题主要考查逻辑推理能力，关键点在于找到推理的突破口.

3，甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯，第二天宿

舍管理员查问谁回来最晚。

（1）甲说：我回来时，丙还没回来；

（2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了；

（3）丙说：我进门时，乙正在床上；

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（4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。

他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？答案

本题主要考查统计中的有关知识，先从第一句话知道，丙比甲晚，从第二句话知道，

乙比丁晚，从第三句话知道，丙比乙晚，从第四句话知道，它们说的都是实话，所以

丙是最晚.

答案

解：

先从第一句话知道，丙比甲晚，从第二句话知道，乙比丁晚，从第三句话知道，丙比

乙晚，从第四句话知道，它们说的都是实话，所以丙是最晚.

故答案为：

丙

点评

本题主要考查统计中的有关知识，先从第一句话知道，丙比甲晚，从第二句话知道，

乙比丁晚，从第三句话知道，丙比乙晚，从第四句话知道，熟练掌握此类题的推导.

例题4有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所装笔的支数分别是11支、13支、17支、20支、

28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的2倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其中有一只盒子

放的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？

分析因为水彩笔是圆珠笔的2倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔的2倍，所以，水彩笔、

圆珠笔和铅笔的总支数一定是4的倍数。11+13+17+20+28+43=132支，132正好是4的倍数，说明那一盒

钢笔也正好是4的倍数，而满足条件的只有20和28。

（1）当钢笔是20支时：（132－20）÷4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合条件；

（2）当钢笔是28支时：（132-28）÷4=26支，题中没有一盒或2盒的和是26，不符合条件。

所以，盒钢笔有20支。

练习四

1，十三个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5、7、9、11、14、13、17、21、24、24条。已知同一盆里的鱼

是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都是青鱼或鳊鱼，并且鳊鱼的条数是青鱼的6倍。刀鱼有几条？答案

16

解：

由题意知，共有160条鱼，设刀鱼为x条，青鱼y条，则有x＋7y＝160，当x＝13时，

y是正整数，所以刀鱼有13条.

故答案为：

所以刀鱼有13条

解析

根据已知条件找到本题突破口进行往下推理即可.

2，有六只水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放

水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克。答案

苹果的重量是梨的5倍.所以,苹果与梨的和是梨的倍.

所以被6除余5的数就是香蕉,就是17千克的那一箱.

3，图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了7叠，其中只有一叠是连环画，其余都是故事

书和科技书，且故事书是科技书的6倍。已知这7叠书分别有3、4、5、16、21、25和38本。问：连环

画有多少本？答案

解答

连环画为：21本。

解析

根据题意可知，故事书和科技书是7的倍数，

（3+4+5+16+21+25+38）÷7=16，而21÷7=3，所以连环画为：21本。

例题5小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知这本书一共96页，

他第几天看到了12页？

分析由于他每天看过的页数比前一天增加一倍，7天正好看完，也就是说第7天能看到96页。由此往前

推：第6天看到了96÷2=48页，第5天看到了48÷2=24页，第4天看到了24÷2=12页。

所以，他第4天看到了12页。

练习五

1，有一种水草，水草生长的面积每天扩大2倍，10天后，这片水草的面积是42平方米。问：当水草长到

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第7天时，面积是多大？答案

42÷2÷2÷2=21÷4=5、25m2

2，有一条毛毛早由幼虫长到成虫，每天长一倍，30天能长到20厘米。问：长到5厘米时要用多少天？答

案

解：毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛

虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为

20÷2=10厘米；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。

解析

3，有一种细菌，每天繁殖一倍，20天达到4000个。问：当繁殖到500个时，是第几天？

答案

解答

繁殖到500个时，是第17天.

解析

根据题意可知，20天是4000个，那么19天是4000÷2=2000个，18天是2000÷2=1000

个，17天是1000÷2=500个，所以当繁殖到500个时，是第17天.