球的表面积和体积

球的体积和表面积

【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实

际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的

________倍．

2．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝________．

！

一、选择题

1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()

A．

6π

6

B．

π

2

C．

2π

2

D．

3π

π

2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()

A．2倍B．22倍

C．2倍D．

3

2倍

3．正方体的内切球和外接球的体积之比为()

》

A．1∶3B．1∶3

C．1∶33D．1∶9

4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为()

A．1∶2∶3B．1∶2∶3

C．1∶22∶33D．1∶4∶7

5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

则这个球的表面积为()

A．25πB．50π

C．125πD．以上都不对

6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半

径之比为()

A．4∶9B．9∶4

（

C．4∶27D．27∶4

二、填空题

7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8

倍，则火星的大圆周长约________万里．

8．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半

径是________．

9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；

(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．

三、解答题

10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你

设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使

冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料

]

<

11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁

球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

/

能力提升

12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与

三棱锥所得的图形，如图所示，则()

A．以上四个图形都是正确的

B．只有(2)(4)是正确的

C．只有(4)是错误的

D．只有(1)(2)是正确的

13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球

过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

、

/

1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关

计算．

2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图

形中，再进行相关计算．

3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，

运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．

%

1．3．2球的体积和表面积答案

知识梳理

1．4πR242．

4

3

πR3

作业设计

1．A[先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝

6π

3

r，再由体积公式求得体积比

为

6π

6

．]

2．B[由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．]

3．C[关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]

￥

4．C[由表面积之比得到半径之比为r

1

∶r

2

∶r

3

＝1∶2∶3，从而得体积之比为

V

1

∶V

2

∶V

3

＝1∶22∶33．]

5．B[外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝a2＋b2＋c2(a、b、c分别是长、宽、高)．]

6．A[设球半径为r，圆锥的高为h，则

1

3

π(3r)2h＝

4

3

πr3，可得h∶r＝4∶9．]

7．4

解析地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的

周长，即2πR地球＝8，故R地球＝

4

π

(万里)，所以火星的半径为

2

π

万里，其大圆的周长为4万里．

8．3cm

解析设球的半径为r，则36π＝

4

3

πr3，可得r＝3cm．

9．(1)球(2)球

解析设正方体的棱长为a，球的半径为r．

(1)当6a2＝4πr2时，V球＝

4

3

πr3＝

6

π

a3>a3＝V正方体；

'

(2)当a3＝

4

3

πr3时，S球＝4πr2＝6

3

π

6

a2<6a2＝S正方体．

10．解要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须

V圆锥≥V半球，V半球＝

1

2

×

4

3

πr3＝

1

2

×

4

3

π×43，

V圆锥＝

1

3

Sh＝

1

3

πr2h＝

1

3

π×42×h．

依题意：

1

3

π×42×h≥

1

2

×

4

3

π×43，解得h≥8．

即当圆锥形杯子杯口直径为8cm，高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．

又因为S圆锥侧＝πrl＝πrh2＋r2，

当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8cm时，

制造的杯子最省材料．

11．解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

/

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积

为V＝V圆锥－V球＝

1

3

π·(3r)2·3r－

4

3

πr3＝

5

3

πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水

面圆的半径为

3

3

h，从而容器内水的体积是V′＝

1

3

π·(

3

3

h)2·h＝

1

9

πh3，由V＝V′，得h＝

3

15r．

即容器中水的深度为

3

15r．

12．C[正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]

13．解设正方体的棱长为a．如图所示．

①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点

及球心作截面，所以有2r

1

＝a，r

1

＝

a

2

，所以S

1

＝4πr2

1

＝πa2．

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r

2

＝

2a，r

2

＝

2

2

a，所以S

2

＝4πr2

2

＝2πa2．

③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r

3

＝3a，

r

3

＝

3

2

a，所以S

3

＝4πr2

3

＝3πa2．

综上可得S

1

∶S

2

∶S

3

＝1∶2∶3．