勾股数有哪些

勾股定理知识点梳理

1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直

角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在Rt△ABC中，cba222

；③面积，两种

计算面积的方法。

2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？

①有一个内角为直角的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形；③如

果三角形的三边长为a、b、c满足cba222

，那么这个三角形是直角三角形

3．勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4．互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆

命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc

中，a，b，c为

正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如

3,4,5

；

6,8,10

；

5,12,13

；

7,24,25

，8,15,17；

9,40,41等

6.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4

EFGH

SSS





正方形正方形ABCD

，22

1

4()

2

abbac

，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22

1

42

2

Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb

所以222abc

方法三：

1

()()

2

Sabab

梯形

，2

11

2S2

22ADEABE

SSabc





梯形

，化简得证

c

b

a

H

G

F

E

D

C

B

A

b

a

c

b

a

c

c

a

b

c

a

b

a

b

c

c

b

a

E

D

C

B

A

一．典型例题

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾

股定理的变形使用。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，

则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求

出BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于

P.求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的

面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方

向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工

厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小

于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网

改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村

庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种

架设方案最省电线．

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，

然后进行比较，得出结论．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一

只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得

（提问：勾股定理）

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：最短路程约为１０．７７cm．

类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为

和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．（正确）

2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常

要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边

形ABCD的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,

且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设

未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）

求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD

的面积。

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处

有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音

的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪

声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间

为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小

于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）

要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找

到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为

24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作

辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，

在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了

花草。

解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则

故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为

1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多

少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化

为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、

AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段

的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可

以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放

在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的

值。

思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，

BC=10cm，求EF的长。