ln4

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数函数的关系同步测控新人教B版必修1

1/8

3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系

同步测控

我夯基,我达标

1.当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是()

图3-2-3

解析：首先把y=a-x化为y=（

a

1

）x，

∵a＞1，∴0＜

a

1

＜1.

因此y=（

a

1

）x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.

答案：A

2.已知0＜x＜y＜a＜1，则有()

（xy）＜0B.0＜loga（xy）＜1

C.1＜loga（xy）＜（xy）＞2

解析：∵0＜x＜a＜1，

∴logax＞logaa=1.又0＜y＜a＜1，

∴logay＞logaa=1.

∴logax+logay=loga（xy）＞2.

答案：D

3.若函数y=f（x）的定义域为［

2

1

，2］，则函数y=f（log2x）的定义域为()

A.［-1,1］B.［

2

1

,2］C.［1,2］D.［2,4］

解析：由题意得

2

1

≤log2x≤2,即log22≤log2x≤log24.

解得2≤x≤4.

答案：D

4.若定义在（-1，0）上的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是()

A.(0,

2

1

)B.(0,

2

1

］C.(

2

1

,+∞)

D.(0,+∞)

解析：当x∈（-1，0）时，有x+1∈（0，1），

此时要满足f（x）>0，只要0<2a<1即可.

由此解得0

2

1

.

答案：A

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2/8

5.函数y=loga（x-2）+1（a＞0且a≠1）恒过定点________.

解析：若x-2=1，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1，都有y=1.

答案：（3，1）

6.函数f（x）=log（a-1）x是减函数，则a的取值范围是_________.

解析：注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不

等式求a.

由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.

答案：1＜a＜2

7.求下列函数的定义域:

(1)y=

27

1

312x;

(2)y=)1lg(x;

(3)y=

)(log1

1

ax

a



(a>0,a≠1).

分析:解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式

组，解之即可.

(1)若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；

(2)若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

(3)0的0次幂没有意义；

(4)若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.

求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.

解：(1)由32x-1

27

1

≥0,得32x-1≥3-3.

∴2x-1≥-3.

∴x≥-1.

∴函数的定义域为［-1,+∞).

(2)由











,01

,0)1lg(

x

x

























1

11

1

0)1lg(

x

x

x

x

0≤x<1.

∴函数的定义域为［0,1).

(3)由











,0

,0)(log1

ax

ax

a

得











ax

aax

aa

,log)(log

①

当a>1时,-a<-1,由①,得x+a

∴x<0.

∴定义域为(-a,0).

当0

由①,得x+a>a.∴x>0.

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3/8

∴定义域为(0,+∞).

故所求定义域是:当01时,x∈(-a,0).

8.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小.

分析:要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作

商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f（x）与g（x）的

正负不确定，所以采取作差比较法.

解：f（x）和g（x）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.

f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logx4

3

x.

（1）当0＜x＜1时，0＜

4

3

x＜

4

3

<1.

此时logx4

3

x＞0，即0＜x＜1时，f（x）＞g（x）.

（2）当x＞1时，若

4

3

x＞1，即x＞

3

4

，

此时logx4

3

x＞0，

即x＞

3

4

时，f（x）＞g（x）；

若

4

3

x=1，即x=

3

4

，此时logx4

3

x=0，

即x=

3

4

时，f（x）=g（x）；

若0＜

4

3

x＜1，即0＜x＜

3

4

，此时logx4

3

x＜0，

即1＜x＜

3

4

时，f（x）＜g（x）.

综上所述，当x∈（0，1）∪（

3

4

，+∞）时，f（x）＞g（x）；

当x=

3

4

时，f（x）=g（x）；当x∈（1，

3

4

）时，f（x）＜g（x）.

我综合,我发展

9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在［2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.（-∞，4）B.（-4，4］

C.（-∞，-4）∪［2，+∞）D.［-4，4）

解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.

令u（x）=x2-ax+3a，其对称轴为x=

2

a

.

由题意有















,2

2

,0324)2(

a

aau

解得-4

答案：B

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4/8

10.函数y=lg

1

1

x

的图象大致是()

图3-2-4

解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0）、

（

10

11

，1）;②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函

数为减函数.

答案：A

11.若函数f（x）=logax（0

A.

4

2

B.

2

2

C.

4

1

D.

2

1

解析：本题关键是利用f（x）的单调性确定f（x）在［a，2a］上的最大值与最小值.

f（x）=logax（0

当x∈［a，2a］时，f（x）max=f（a）=1，f（x）min=f（2a）=loga2a.

根据题意，得3loga2a=1，即loga2a=

3

1

，

所以loga2+1=

3

1

，即loga2=

3

2

.

故由a3

2



=2,得a=22

3



=

4

2

.

答案：A

12.(2006福建高考,理8)函数y=log21x

x

(x>1)的反函数是()

A.y=

12

2

x

x

(x>0)B.y=

12

2

x

x

(x<0)C.y=

x

x

2

12

(x>0)D.y=

x

x

2

12

(x<0)

解析：将对数式换成指数式,得2y=

1x

x

(x>1)x=

12

2

y

y

>12y>1y>0，

故所求的反函数为y=

12

2

x

x

(x>0).

答案：A

3

2

<1，则a的取值范围是________.

解析：当a>1时，loga3

2

<1=logaa.

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5/8

∴a>

3

2

.又a>1，∴a>1.

当0

2

<1=logaa.

∴a<

3

2

.又0

3

2

.

答案：（0，

3

2

）∪（1，+∞）

14.函数f（x）=logax

x





3

3

（a>0且a≠1），f（2）=3，则f（-2）的值为__________.

解析：∵f（-x）=logax

x





3

3

=-logax

x





3

3

=-f(x).

∴函数为奇函数.

∴f（-2）=-f（2）=-3.

答案：-3

15.求函数f（x）=log21

1





x

x

+log2（x-1）+log2（p-x）的值域.

分析:求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.

解：f（x）的定义域为

























,0

,01

,0

1

1

xp

x

x

x

∴

















.0

,01

,01

xp

x

x

∴











p.x

1,x

∵函数定义域不能是空集，

∴p＞1，定义域为（1，p）.

而x∈（1，p）时，f（x）=log2（x+1）（p-x）=log2［-x2+（p-1）x+p］=log2［-（x

2

1



p

）

2+（

2

1p

）2］.

（1）当0＜

2

1p

≤1，即1＜p≤3时，0＜（x+1）（p-x）＜2（p-1）.

∴f（x）的值域为（-∞，log22（p-1））.

（2）当1＜

2

1p

＜p，即p＞3时，0＜（x+1）（p-x）≤（

2

1p

）2.

∴函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2］.

16.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）.

（1）求y=f（x）的定义域；

（2）在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴.

分析:对于（2）的判断可借助函数图象,思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.

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解：（1）由ax-bx>0，得（

b

a

）x>1=（

b

a

）0.

∵

b

a

>1，∴x>0.

∴函数的定义域为（0，+∞）.

（2）先证明f（x）是增函数.

对于任意x1>x2>0，

∵a>1>b>0，

∴a1

x>a2

x，b1

x

x.

∴a1

x-b1

x>a2

x-b2

x.

∴lg（a1

x-b1

x）>lg（a2

x-b2

x）.

∴f（x1）>f（x2）.

∴f（x）在（0，+∞）上为增函数.

假设y=f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线AB平行于x轴，

则x1≠x2，y1=y2，这与f（x）是增函数矛盾.

∴y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.

我创新,我超越

17.已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)

［f(x)+f(2)-1］.若y=g(x)在区间［

2

1

,2］上是增函数，则实数a的取值范围是()

A.［2,+∞)B.(0,1)∪(1,2)C.［

2

1

,1)D.(0,

2

1

］

解析：∵y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,

∴f(x)=logax(x>0).

g(x)=f(x)［f(x)+f(2)-1］

=f2(x)+f(x)logaa

2

.

令f(x)=t.因为g(x)在［

2

1

,2］上单调递增,

①当a>1时,f(x)单调递增,t∈［loga2

1

,loga2］,g(t)=t2+logaa

2

·t,

则loga2

1

≥

2

1

logaa

2

满足题意.

解得a∈.

②当0

1

］,g(t)=t2+logaa

2

·t,

则loga2

1

≤

2

1

logaa

2

满足题意.

解得a∈(0,

2

1

］.

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综合①②可得a∈(0,

2

1

］.

答案：D

18.已知函数f(x)=(

2

1

)x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则

关于h(x)有下列命题：

（1）h(x)的图象关于原点对称；

（2）h(x)为偶函数；

（3）h(x)的最小值为0；

（4）h(x)在（0，1）上为减函数.

其中正确命题的序号为_______.（将你认为正确的命题的序号都填上）

解析：根据题意，得g(x)=log

2

1

x,

∴h(x)=g(1-|x|)=log

2

1

(1-|x|)(-1

∴h(x)是偶函数，h(x)不关于原点对称.

∴（1）不正确；（2）正确.

∵h(x)=log

2

1

(1-|x|)≥log

2

1

1=0，

∴（3）正确.

∵u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=log

2

1

u为减函数,

∴f(x)为增函数.

∴（4）不正确.

答案：(2)(3)

19.已知函数f(x)=ln(ax-kbx)(k>0,a>1>b>0)的定义域为（0，+∞），是否存在这样的a、b,

使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=ln4？若存在，试求出a、b的值，若不存

在，试说明理由.

分析:对于探索性问题中的存在性问题，往往是先假设存在符合题设的条件，然后综合运用

已知条件和数学思想方法步步推导，直到找出与题中的条件、定理、公理相符或矛盾的结果，

从而得出上述假设肯定或否定的结论.

解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），

∴不等式ax-kbx>0的解集为（0，+∞），该不等式化为(

b

a

)x>k.

∵不等式的解集为（0，+∞），∴k=1.

从而f（x）=ln(ax-bx).

若存在满足题设的a、b，则f（3）=ln(a3-b3)=ln4.

ln(ax-bx)>0对一切x＞1恒成立，易证得f（x）在（1，+∞）上是增函数，

∴当x＞1时，f（x）＞f（1），又f（x）＞0恰在（1，+∞）上成立，

即ln（a-b）=0，

∴a-b=1.①

又f（3）=ln(a3-b3)=ln4，∴a3-b3=4.②

由①②组成方程组，并注意到a>1>b>0，

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8/8

解得a=

2

15

,b=

2

15

.

故存在满足题设中的a、b.

20.已知函数f(x)=loga［(

a

1

-2)x+1］在区间［1，2］上恒为正，求实数a的取值范围.

分析:f（x）是对数函数，g（x）为一次函数，影响对数函数的单调性的参数是底数a，影

响一次函数的单调性的参数是一次项系数

a

1

-2，所以必须对这些量进行讨论.

解：(1)当a>1时，只需(

a

1

-2)x+1>1，

即(

a

1

-2)x>0，

∵1≤x≤2，

∴

a

1

-2>0，即a<

2

1

,与a>1矛盾.

(2)当0

a

1

-2)x+1，只需0

①当a=

2

1

时，g（x）=1，f（x）=0，不合题意;

②当0

2

1

时，

a

1

-2>0，g（x）是增函数，只要g（1）＞0且g（2）＜1，解得

2

1

与0

2

1

矛盾；

③当

2

1

a

1

-2<0，g（x）是减函数，只要g（2）＞0且g（1）＜1，解得

2

1

3

2

.

综上所述，a∈(

2

1

,

3

2

).