利普希茨条件

第六章非线性微分方程

§6.1稳定性

6.1.1常微分方程组的存在唯一性定理

本章讨论非线性常微分方程组

nRYYtG

dt

dY

∈=),;(（6.1）

的解的性态.

设给定方程组（6.1）的初值条件为

，（6.2）

00

)(YtY=

考虑包含点),,,;(),(

02010000n

yyytYtL=的某区域

bYYattR≤−≤−

00

,:.

在这里Y的范数Y定义为∑

=

=

n

i

i

yY

1

2.所谓在域上关于),(YtG

G

Y满足局部利普希

茨条件是指：对于G内任一点，存在闭邻域，而于),(

00

YtGR⊂),(YtG

R上关于Y满足

利普希茨条件，即存在常数，使得不等式0>L

YYLYtGYtG−≤−

~

);()

~

;(（6.3）

对所有RYtYt∈),(),

~

,(成立.称为利普希茨常数.L

存在唯一性定理如果向量函数在域),(YtGR上连续，且关于Y满足利普希茨条件，

则方程组（6.1）存在唯一解),;(

00

YttYϕ=，它在区间htt≤−

0

上连续，而且

0000

),;(YYtt=ϕ

这里);(max),,min(

),(

YtGM

M

b

ah

GYt∈

==.

解的延拓与连续定理如果向量函数在域G内连续，且关于),(YtGY满足局部利普希

茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(

00

YttYϕ=)),

0

t((

0

GY∈可以延

拓，或者延拓到（或）；或者使点∞+

∞−

)),;(,(

00

Ytttϕ任意接近区域G的边界.而解

),;(

00

Yttϕ作为的函数在它的存在范围内是连续的.

00

,;Ytt

可微性定理如果向量函数及),(YtG

),,2,1,(nji

y

G

j

iL

∂

∂

在域内连续，那么方程组G

（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(

00

YttYϕ=作为的函数，在它的存在范围内

是连续可微的.

00

,;Ytt

6.1.2李雅普诺夫稳定性

考虑一阶非线性方程

2ByAy

dt

dy

−=（6.4）

其中为常数且，初值条件为BA,

0>⋅BA

0

)0(yy=.

为研究方程组（6.1）的特解)(tYϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换

)(tYXϕ−=（6.6）

把方程组（6.1）化为

);(XtF

dt

dX

=，（6.7）

其中

))(;())(;(

)(

);();(ttGtXtG

dt

td

YtGXtFϕϕ

ϕ

−+=−=.

此时显然有（6.8）0)0;(=tF

而把方程组（6.1）的特解)(tYϕ=变为方程组（6.7）的零解0=X.于是，问题就化为讨

论方程组（6.7）的零解邻近的解的性态.0=X

驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解

.微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.)(),(

21

tyty

考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数满足条件（6.8）且在包含原点的域

内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.

),(XtF

G

定义1如果对任意给定的0>ε，存在)(0

0

有关和一般与tεδδ>，使当任一满

足

0

X

δ≤

0

X时，方程组（6.7）的由初值条件

00

)(XtX=确定的解，对一切均

有

)(tX

0

tt≥

ε<)(tX.

则称方程组（6.7）的零解为稳定的.0=X

如果（6.7）的零解稳定，且存在这样的0=X0

0

>δ使当

00

δ≤X时，满足初值条

件的解均有

00

)(XtX=

)(tX

0)(lim=

+∞→

tX

t

，

则称方程组（6.7）的零解为渐近稳定的.0=X

如果零解渐近稳定，且存在域，当且仅当0=X

0

D

00

DX∈时满足初值条件

的解均有

00

)(XtX=

)(tX

0)(lim=

+∞→

tX

t

，则域称为（渐近）稳定或吸引域.若稳定域

为全空间，即

0

D

+∞=

0

δ，则称零解0=X为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.

当零解不是稳定时，称它是不稳定的.即是说：如果对某个给定的0=X0>ε不管

0>δ怎样小，总有一个满足

0

Xδ≤

0

X，使由初值条件

00

)(XtX=所确定的解，

至少存在某个使得

)(tX

01

tt>

ε=)(

1

tX，

则称方程组（6.7）的零解为不稳定的.0=X

二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）

6.1.3按线性近似决定稳定性

考虑一阶常系数线性微分方程组

AX

dt

dX

=（6.10）

由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由

（6.11）nietci

i

l

m

t

m

im

≤≤∑

=

1,

0

λ

的线性组合，这里

i

λ为方程组（6.10）的系数矩阵A的特征方程

0)det(=−EAλ（6.12）

的根，为零或正整数，由根

i

l

i

λ的重数决定.

根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.

定理1若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定

的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（

6.10）的零解是不稳定的；若特征方

程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是

稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.

考虑非线性方程组

)(XRAX

dt

dX

+=，（6.13）

其中，且满足条件0)0(=R

0

)(

→

X

XR

（当0→X时）.（6.14）

显然是方程组（6.13）的解.亦是方程组的奇点.0=X

问题在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳

定性来决定.这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.

定理2若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（

6.13）的

零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致.这就是说，当特征

方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）

具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）

该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方

程（6.12）的全部的根是否具有负实部.

临界情形

至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分

方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定.因为可以找到

这样的例子，适当变动（条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的

零解是稳定的或是不稳定的.

)(tR

例1考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为

0sin

2

2

=++ϕ

ϕμϕ

l

g

dt

d

m

dt

d

，（6.15）

这里长度l，质量和重力加速度m

g均大于0，并设阻力系数0

>μ.令

dt

d

yx

ϕ

ϕ==,，

将方程（6.15）化为一阶微分方程组

x

l

g

y

mdt

dy

y

dt

dx

sin,−−==

μ

（6.16）

原点是方程组的零解.

赫尔维茨（Hurwitz）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则.

定理3设给定常系数的次代数方程n

，（6.18）0

1

2

2

1

10

=+++++

−

−−

nn

nnnaaaaaλλλλL

其中，作行列式0

0

>a

,,

0

,,

345

123

01

3

23

01

211L

aaa

aaa

aa

aa

aa

a=Δ=Δ=Δ

,

0

000

1

42322212

0123

01

−

−−−−

Δ==Δ

nn

nnnnn

n

a

aaaaa

aaaa

aa

L

MMMMM

L

L

其中（对一切）.0=

i

a

ni>

那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：

0,0,,0,0,0

1321

>>Δ>Δ>Δ>

−nn

aaL.

证明见高等代数的课本，略.

例2考虑一阶非线性微分方程组

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+−−+=

++−=

+−+−=

),(

,

,2

22

23

2

zyezyx

dt

dz

zyxyx

dt

dy

exzyx

dt

dx

x

x

例3对三次方程

0)1(2)()1(23=−++++++cabcabbaλλλ，

其中，考虑其根均具有负实部时参数的变化范围.0,0,0>>>cba

c

习题6.1第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5

§6.2V函数方法

6.2.1李雅普诺夫定理

对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性.但当摆无阻

力时，方程组（6.16）变成

x

l

g

dt

dy

y

dt

dx

sin,−==（6.19）

属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性.为判断其零解的稳定性态.直接对方程

组（6.19）进行处理.李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数，并利用

函数及其通过方程组的全导数

),(yxV

),(yxV

dt

yxdV),(

的性质来确定方程组解的稳定性.具有此

特殊性质的函数称为李雅普诺夫函数，简称V函数.),(yxV

如何应用V函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题.只考虑非线性驻定微分

方程组

)(XF

dt

dX

=（6.20）

定义2假设为在域)(

XV

HX≤内定义的一个实连续函数，0)0(

=V.如果在此域内恒

有，则称函数V为常正的；如果对一切0)(≥XV

0≠X都有，则称函数V为定

正的；如果函数是定正的（或常正的），则称函数V为定负（或常负）的.

0)(>XV

V−

进而假设函数关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然

后对求t导数

)(XV

i

n

i

i

i

n

i

i

f

x

V

dt

dx

x

V

dt

dV∑∑

==

∂

∂

=

∂

∂

=

11

，

这样求得的导数

dt

dV

称为函数V通过方程（6.20）的全导数.

例1函数是常正的；2)(),(yxyxV+=

而函数是定正的；42)(),(yyxyxV++=

定理4如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数，其通过（6.20）的全导

数

)(XV

dt

dV

为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的.

如果有定正函数，其通过（6.20）的全导数)(

XV

dt

dV

为定负的，则方程组（6.20）的

零解是渐近稳定的.

如果存在函数和某非负常数)(XVμ，而通过（6.20）的全导数

dt

dV

可以表示为

)(XWV

dt

dV

+=μ，

且当0=μ时，W为定正函数，而当0≠μ时W为常正函数或恒等于零；又在的任

意小邻域内都至少存在某个

0=X

X，使0)(>XV，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的.

证明详见第265页.

几何解释由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的

解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.

以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V函数的关系来说明稳定性定理的几何意

义.

例2考虑平面微分方程组

33,ayx

dt

dy

axy

dt

dx

+=+−=，（6.26）

定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t的非驻定的微分方程组及含有时

间t的V函数也有相应的定理，其证明也一样.),(XtV

定理5如果存在定正函数，其通过方程组（6.20）的全导数)(XV

dt

dV

为常负，但使

0

)(

=

dt

tdV

的点X的集中除零解0=X之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则

方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.

定理5的证明与定理4的类似.

例3数学摆的稳定性问题

6.2.2二次型V函数的构造

应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V函数.

如何构造满足特定性质的V函数是一个有趣而复杂的问题.这里考虑常系数线性微分方程

组构造二次型V函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2

定理6如果一阶线性方程组

AX

dt

dX

=（6.10）

的特征根

i

λ均不满足关系),,2,1,(0nji

jiL==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩

阵C，均有唯一的二次型

（6.27）)()(BBBXXXVTT==

使其通过方程组（6.10）的全导数有

)(CCCXX

dt

dV

TT==.（6.28）

且对称矩阵B满足关系式

，（6.29）CBABAT=+

这里TA，TB，TCTX分别表示的转置.XCBA,,,

如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；

如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.

例4考虑二阶线性微分方程

023

2

2

=++x

dt

dx

dt

xd

，

经过变换y

dt

dx

=

习题6.21（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5

§6.3奇点

考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

),,(

),,(

yxY

dt

dy

yxX

dt

dx

（6.33）

同时满足0),(,0),(

==yxYyxX的点是微分方程组（6.33）的奇点，，

是方程的解.可从通过坐标平移将奇点移到原点，此时.

),(∗∗yx∗=xx

∗=yy

)0,0(0)0,0()0,0(==YX

考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨

线分布的不同性态来区分奇点的不同类型.这时方程的形式为

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+=

+=

.

,

dycx

dt

dy

byax

dt

dx

（6.36）

显然，坐标原点是奇点.如果方程组的系数满足条件0,0==yx

0≠

dc

ba

（6.37）

则此奇点还是唯一的.以下假定条件（6.37）成立.

按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论.

情形1同号相异实根这时方程的标准形式为

ξη

ξληλ

21

,==

dt

d

dt

d

，（6.40）

其解为

，（6.41）ttBetAet21)(,)(λληξ==

其中

21

,λλ为实特征根，而是任意实数.BA,

21

,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点.

21

,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.

情形2异号实根,奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的.

情形3

重根这时可分两种情况讨论：

（1）或.如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式0≠b0≠c

λη

η

ηλξ

ξ

=+=

dt

d

dt

d

,，（6.42）

其解为

，（6.43）ttAeteBAttλληξ=+=)(,)()(

其中λ为实特征根，而是任意实常数.BA,

当0<λ时，奇点称为稳定退化结点.

假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.

（2），这时方程组（6.36）取形式0==cb

day

dt

dy

x

dt

dx

====λλλ,,，

其解为

，ttBetyAetxλλ==)(,)(

于是

x

A

B

y=.

奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.

情形4非零实部复根这时方程的标准形式为

ξη

βηαξαηβξ+−=+=

dt

d

dt

d

,，（6.44）

这里βα,分别为特征根的实部和虚部.方程（6.44）的解的极坐标形式

，（6.45）BtAert+−==βθα,

其中和0>A

B为任意常数.

奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的.

情形5纯虚根

奇点称为中心.零解为稳定，但非渐近稳定的.

定理7如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇

点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：

（1）如果特征方程的根

21

λλ≠为实根，而0

21

>λλ时奇点为结点，且当0

1

<λ时结

点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当0

1

>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；

当0

21

<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.

（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==cb的情形奇点为

奇结点.又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点

和对应的零解均为不稳定的.

（3）如果特征方程的根为共轭复根，即

21

λλ=，则当0Re

1

≠λ时奇点为焦点，且当

0Re

1

<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re

1

>λ时奇点和对应的零

解均为不稳定的；当0Re

1

=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.

程（6.36）的奇点，当)0,0(O

0det≠A时，根据A的特征根的不同情况可有如下的类

型：

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

中心—实部为零

焦点—实部不为零

复根

退化结点

临界结点

重（非零）实根

鞍点—异号

结点—同号

相异（非零）实根

实根

A的系数与奇点分类的关系

1）042>−qp

○10>q

奇点为结点

二根同负

二根同正

−−

⎭

⎬

⎫

>

<

0

0

p

p

○2奇点为鞍点二根异号−−<0q

2）042=−qp

结点奇点为临界结点或退化

负的重根

正的重根

−−

⎭

⎬

⎫

>

<

0

0

p

p

3）042<−qp

复数根的实部不为零，奇点为焦点0≠p

复数根的实部为零，奇点为中心.0=p

综合上面的结论，由曲线，轴及qp42=

qp轴把平面分成几个区域，不同的区

域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.

qp0

例1考虑二阶线性微分方程

023

2

2

=++x

dt

dx

dt

xd

，

通过变换y

dt

dx

=可将它化为下列方程组

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−−=

=

,32

,

yx

dt

dy

y

dt

dx

习题6.31；2；3.

§6.4极限环和平面图貌

6.4.1极限环

对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线

（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t或），另

一端趋于无穷远（或

−∞→t

−∞→t+∞→t）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情

形.对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至

于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.

例1对平面二阶非线性驻定方程组

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−+−=

+−+=

)(

),(

22

22

yxyyx

dt

dy

yxxyx

dt

dx

（6.47）

如取极坐标θcosrx=，θsinry=，则方程组（6.47）可化为

)1(2rr

dt

dr

−=，1−=

dt

dθ

，

孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环.当极限环附近的轨线均正向（即

时）趋近于它时，称此极限环为稳定的.如果轨线是负方向（即时）趋近

于它时，称此极限环为不稳定的.当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半

+∞→t−∞→t

稳定的.

不先求出特解（如上例的1=r），而仅仅由构造出的环域D便可以证明在此环域内必

存在极限环.这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（）方法.Bendixson

定理8如果内存在有界的环形闭域G

D，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而

（6.33）的经过域D上点的解)(),(

tyytxx==，当（或

0

tt≥

0

tt≤）时不离开该域，则

或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D内的某一周期解（闭

轨线）.

通过构造有特殊性质的域D可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有

别的性质的域来否定周期解（极限环）的存在呢？∗D

定理9如果于内存在单连通域，在其内函数G∗D

y

Y

x

X

∂

∂

+

∂

∂

不变号且在内的任何

子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.

∗D

∗D

例2考虑6.1例1的数学摆，

范德波尔微分方程

0)1(2

2

2

=+−+x

dt

dx

x

dt

xd

μ，（6.49）

考虑所谓的李纳（）微分方程Lienard

0)()(

2

2

=++xg

dt

dx

xf

dt

xd

，（6.50）

如果记，并设∫=xdxxfxF

0

)()()(xF

dt

dx

y+=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组

)(),(xg

dt

dy

xFy

dt

dx

−=−=.（6.51）

对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理.

定理10假设

（1）及对一切)(xf)(xgx连续，满足局部利普希茨条件；)(xg

（2）为偶函数，为奇函数，当)(xf)(,0)0(xgf<

0≠x时；0)(>xxg

（3）当±∞→x时，)(;)(xFxF±∞→有唯一正零点ax=，且对是单

调增加的.

)(,xFax≥

那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环

6.4.2平面图貌

奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，

以了解微分方程的解的性态.

定理11两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t时都趋于有限个平衡

点之一.

定理12平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是

（1）只有有限个奇点，且均为双曲的；

（2）只有有限个闭轨，且均为单重极限环；

（3）没有鞍点之间的分界线.

习题6.4第307页1（1），（3）；2（1），（3）.