ln函数的运算法则

§4导数的四则运算法则

一、教学目标：

1．知识与技能

掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的

导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法

通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给

结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函

数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观

培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的

数学思维方法。

二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用

教学难点：导数四则运算法则的证明

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。

1.导数的定义：设函数)(xfy在

0

xx处附近有定义，如果0x时，y与x的比

x

y





（也叫函数的平均变化率）有极限即

x

y





无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做

函数)(xfy在

0

xx处的导数，记作

0

/

xx

y



，即

x

xfxxf

xf

x







)()(

lim)(00

0

0

/

2.导数的几何意义：是曲线)(xfy上点（)(,

00

xfx）处的切线的斜率因此，如果

)(xfy在点

0

x可导，则曲线)(xfy在点（)(,

00

xfx）处的切线方程为

))(()(

00

/

0

xxxfxfy

3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个

),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf,称这个函

数

)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，

4.求函数)(xfy的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量)()(xfxxfy（2）求平均变化率

x

xfxxf

x

y









)()(

（3）取极限，得导数/y＝()fx





x

y

x



0

lim

5.常见函数的导数公式：

0'C

；1)'(nnnxx

（二）、探析新课

两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即

)()(])()([)()(])()([xgxfxgxfxgxfxgxf

























证明：令)()()(xvxuxfy，

)]()([)]()([xvxuxxvxxuy

vuxvxxvxuxxu)]()([)]()([，

∴

x

v

x

u

x

y

















，

x

v

x

u

x

v

x

u

x

y

xxxx







































0000

limlimlimlim

即)()()]()(['''xvxuxvxu．

例1：求下列函数的导数：

（1）xxy22；（2）xxyln；（3）)1)(1(2xxy；（4）

2

2

1

x

x

x

y



。

解：（1）

2ln22)2()()2(22xxxxxxy















。

（2）

x

x

xxxxy

1

2

1

)(ln)()ln(















。

（3）

123)1()()()()1()1)(1(223232



























xxxxxxxxxxy。



x

xx

xxxxxx

xxxx

x

x

x

x

x

y

2

12

22)()()(

111

)4(

23

23212

2122

2

2

2





























































例2：求曲线

x

xy

1

3上点（1，0）处的切线方程。

解：

2

233

1

3

11

x

x

x

x

x

xy







































。

将1x代入导函数得4

1

1

13。

即曲线

x

xy

1

3上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为

)1(40xy，

即44xy。

设函数)(xfy在

0

x处的导数为)(

0

xf



，2)(xxg。我们来求)()()(2xfxxgxfy

在

0

x处的导数。



)(

)()()(

)(

)()()]()([)(

)()()(

0

2

0

2

000

2

0

0

2

0

2

000

2

0

0

2

00

2

0

xf

x

xxx

x

xfxxf

xx

x

xfxxxxfxxfxx

x

xfxxxfxx

x

y





























令0x，由于2

0

2

0

0

)(limxxx

x





)(

)()(

lim

0

00

0

xf

x

xfxxf

x











0

2

0

2

0

0

2

)(

limx

x

xxx

x









知

)()()(2xfxxgxfy在

0

x处的导数值为)(2)(

000

2

0

xfxxfx



。

因此)()()(2xfxxgxfy的导数为)()()(22xfxxfx







。

一般地，若两个函数)(xf和)(xg的导数分别是)(xf



和)(xg



，我们有

)(

)()()()(

)(

)(

)()()()(])()([

2xg

xgxfxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxf

































特别地，当kxg)(时，有

)(])([xfkxkf







例3：求下列函数的导数：

（1）xexy2；（2）xxysin；（3）xxyln。

解：（1）xxxxxxexxexxeexexexy)2(2)()()(22222















；

（2）xx

x

x

xxxxxxycos

2

sin

)(sinsin)()sin(















；

（3）1ln

1

ln1)(lnln)()ln(















x

x

xxxxxxxxy。

例4：求下列函数的导数：

（1）

x

x

y

sin

；（2）

x

x

y

ln

2

。

解：（1）

222

sincos1sincos)(sin)(sinsin

x

xxx

x

xxx

x

xxxx

x

x

y



































；

（2）

x

xx

x

x

xxx

x

xxxx

x

x

y

22

2

2

222

ln

)1ln2(

ln

1

ln2

)(ln

)(lnln)(

ln





































(三)、练习：课本

44

P练习：1、2.课本

46

P练习1.

（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上

述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过

曲线上一点的切线。

)()(])()([)()(])()([xgxfxgxfxgxfxgxf

























2

()()()()()

[()()]()()()()

()()

fxfxgxfxgx

fxgxfxgxfxgx

gxgx

















（五）、作业：课本

47

P习题2-4：A组2、3B组2

五、教后反思：

本节课成功之点：

（1）从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f（x）=x+x2的导数，观察结果，发

掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明

（2）由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求

导发则。

（3）通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特

别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学

思维方法。

不足之处：

学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、

商的导数公式不是很熟练掌握。