两尺四

《古老的勾股术》教案

教学目标

（一）知识与技能：

了解勾股定理的历史由来，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关

的古代数学问题.

（二）过程与方法：

在探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索

过程中，发展学生的归纳、概括能力.

（三）情感态度与价值观：

通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，

体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族

自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情.

教学重点：古老研究勾股定理的过程.

教学难点：翻译勾股原文并计算

教学方法：采用探究发现式的教学方法.

课型：新授课.

教学准备：多媒体课件.

教学过程：

一、创设情境，导入课题

晴朗的夜晚仰望星空，你可能想知道天有多高。其实，几千年前，我们的祖

先已经在思考这个问题了。在《周髀算经》中有这样一个故事：一天，周公问当

时的数学家商高：“天有多高？”商周想了想说：“可以用‘勾三股四弦五’的方

法算出天有多高。”

那么，什么是“勾三股四弦五”呢？你可以在纸上画一个长方形，长3厘米，

宽4厘米，然后在中间画一条斜线：□中有个╲，出现两个直角三角形，量一量

这条线，一定是5厘米。也就是我们今天所知道的勾股定理，也名“商高定理”

或“毕达哥拉斯定理”。

想多了解的人可以读读《周髀算经》或《九章算术》、《人与科学·第三册》

二、勾股原文

1、勾股：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。

2、勾股：今有弦五尺，勾三尺，问为股几何？答曰：四尺。

3、勾股:今有股四尺，弦五尺，问为勾几何？

答曰：三尺。

勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。

又股自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即勾。

又勾自乘，以减弦自乘，其馀开方除之，即股。

4、勾股:今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几

何？

答曰：二尺四寸。

术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其馀开方除之，

即广。

5、勾股:今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上

与木齐。问葛长几何？

答曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之

长。

6、勾股:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，

适与岸齐。问水深、葭长各几何？

答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，馀，倍出水除之，

即得水深。加出水数，得葭长。

7、勾股:今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八

尺而索尽。问索长几何？

答曰：一丈二尺、六分尺之一。

术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，

即索长。

8、勾股:今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，

其木至地。问木几何？

答曰：五丈五寸。

术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺

数而半之，即木长数。

9、勾股:今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，

鐻道长一尺。问径几何？

答曰：材径二尺六寸。

术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。

三、古代研究勾股历程

从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大？大约在公元前1100

年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向当时的一位学者商高求教：“……去天不可阶

而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又

没有一种尺子可以让你用来大量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？

商高所提供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，

径隅五。……”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的

径长（后来也称弦长）便是五。据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股

四弦五”的特殊情形进行测量。

周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》（公元前

1世纪）。经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理（也称商高定理）：直角

三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，

即a2＋b2＝c2

满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的

发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理

的数组也就称为毕达哥拉斯数。

但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶

地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在

公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在

今天也往往是人们所熟悉的。

毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：

后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427~前347）也给出了类似的

式子。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约246~330）也在

研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还

是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、

n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则

是一级勾股数。

丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，

这组式子包含了全部的勾股数组！

值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也

提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：

与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方

法对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式

之一。

关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿

或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可

能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公

元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1

所示。有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿椅”。

我国数学家赵爽在《周髀算经注》（公元3世纪初）中，

给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个

直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正好等于正方形ABCD的面积，

即

印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形（如图3）。

但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，

只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上

的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有

c/b=b/m和c/a=a/n

即

cm=b2和cn=n2

相加便得：

a2+b2=c(m+n)=c2

勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定

理，其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯

定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上，还在用它

来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。

四、课堂小结：谈谈本节课有什么收获？

五、布置作业

思考与实践

1、勾股:今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？

2、勾股:今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？

3、勾股:今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适

出。问户高、广、袤各几何？

4、勾股:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？

这些道题的意思是什么?写出解题过程

六、课后反思：