四棱锥表面积

平和正兴学校高一数学自助组编：徐明月审核：车艳杰日期：

数学必修2教师寄语：要勤奋，首先就要不间断，不松懈地努力！

平和正兴学校高一数学备课组

1

第3讲棱锥、棱台和球的表面积

学习目标

1．了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题．

2．认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点，由此推导出侧面积公式．

自学导引

1．棱柱、棱锥、棱台侧面积

(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S

直棱柱侧

＝________，

即直棱柱的侧面积等于它的________________________．

(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公

式：S

正棱锥侧

＝__________＝________，即正棱锥的侧面积等于它的

________________________________________________________________________．

(3)设棱台下底面边长为a，底面周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，

则正n棱台的侧面积公式：S

正棱台侧

＝________________＝________________.

2．棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于__________________．

(2)用球的半径R计算球表面积的公式：S

球

＝________，即球面面积等于它的

________________．

✪知识点一直棱柱、正棱锥的表面积

例1直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q

1

，Q

2

，求直平行六面体的侧面积．

解如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，底面两条对角线的长分别为c，d，即BD＝c，AC＝d，则









c·l＝Q1①

d·l＝Q2②











1

2

c2＋











1

2

d2＝a2③

由①得c＝

Q1

l

，由②得d＝

Q2

l

，代入③得

222

12()()

2121

QQ

a∴Q2

1＋Q2

2＝4l2a2，∴2la＝Q2

1＋Q2

2.∴S侧＝4al＝2Q2

1＋Q2

2.

点评本题主要考查棱柱的结构特征，特别是直平行六面体，它的特点：底面是平行四边形且侧棱与底

面垂直，对角面是矩形．设边长后就可以转化为矩形内线段的研究．在解方程组时注意运用整体代入的方法，

充分运用式子的特征来解决问题．

变式训练1设正三棱锥S—ABC的侧面积是底面积的2倍，高为SO＝3.求此正三棱锥的全

面积．

解设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，SE⊥AB，

则SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴

1

2

·3a·h′＝

3

4

a2·2，∴a＝3h′.

∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，∴32＋











3

6

×3h′2＝h′2，

∴h′＝23，a＝3h′＝6，∴S底＝

3

4

a2＝

3

4

×62＝93.

S侧＝2S底＝183，S全＝S侧＋S底＝93＋183＝273.

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2

✪知识点二正棱台的表面积

例2已知四棱台的上、下底面分别是边长为4cm和8cm的正方形，侧面是腰长为8cm的等

腰梯形，求它的侧面积．

解方法一

如图(1)，过B1作B1F⊥BC交BC于△B1FB中，B1F＝h′

BF＝

1

2

×(8－4)＝2，B1B＝8，∴B1F＝82－22＝215，

∴h′＝B1F＝215，∴S四棱台侧＝

1

2

×(8＋4)×4×215＝4815(cm2)．

方法二如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点P，过P作PE⊥BC交BC于E，

交B1C1于E1，则PE1⊥B1C1.设PB1＝x，则

x

x＋8

＝

4

8

，得x＝8.

∴PB1＝B1B＝8，∴E1为PE的中点，

∴PE1＝82－22＝215，PE＝2PE1＝415，

∴S四棱台侧＝S大四棱锥侧－S小四棱锥侧＝

1

2

×8×4×PE－

1

2

×4×4×PE1

＝

1

2

×8×4×415－

1

2

×4×4×215＝4815(cm2)．

点评求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，它是架起求侧面积关

系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁．另外，“还台为锥”的思想在计算

中也经常用到.

✪知识点三球的表面积公式的应用

例3已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；

(2)球的表面积等于圆柱全面积的

2

3

.

证明(1)如图所示，设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，

得S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2，∴S球＝S圆柱侧．

(2)∵S圆柱全＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，∴S球＝

2

3

S圆柱全．

点评球的体积和表面积只与半径有关，利用球与其他几何体的位置关系，灵活求解球的

半径是关键．

1．柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的，不要死记公式，要根据展开图的特点

进行计算．

2．要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系，

S

台侧

＝

1

2

(c＋c′)h′――→

c′＝0

S

锥侧

＝

1

2

ch′,c＝c′S

柱侧

＝ch′.

3．计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截面)找到关键量，借助它们的数

量关系解决问题．另外，还要注意整体代换的思想方法的运用.