sin2a

-

.z.

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

一、角的变换

-

.z.

在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与

角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使

问题获解。常见角的变换方式有：)(；)()(2；

)(2；

2

2



等等。

例1函数

ππ

2sincos()

36

yxxx









R的最小值等于（）．

（A）3（B）2（C）1（D）

5

解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：

πππ

362

xx









，所以将函数()fx的表

达式转化为

πππ

()2coscoscos

666

fxxxx









，故()fx的最小值为1．故

选（C）．

评注：常见的角的变换有：()，2()()，

2()，

22







，

3πππ

()

442











，

ππ

44











．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往

会发现角之间的关系．

例2、已知,,

14

11

)cos(,

7

1

cos均是锐角，求cos。

解：

。。）

2

1

7

34

14

35

7

1

)

14

11

(cos

14

35

sin(,

7

34

sin

.sin)sin(cos)cos(])cos[(cos











小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(的变换。

例3、已知cos(

9

1

)2,sin(

2



-)=

3

2

,且,

2

0,

2







求.

2

cos



分析：观察已知角和所求角，可作出)

2

()

2

(

2













的配凑角变换，然后利用

余弦的差角公式求角。

-

.z.

解：

.

27

57

3

2

9

54

3

5

9

1

)]

2

()

2

cos[(

2

cos

,

3

5

(1)

2

cos(

,

9

54

(1)

2

sin(

.

224

,

24

,

2

0,

2

)

3

2

)

9

1

2

2

•



















































例4、已知),2sin(sinm求证：

分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2所证等式含角,,所以以角为突

破口。

证明：

.tan

1

1

tan(1

sin)cos()1(cos)sin()1(

,sin)cos(cos)sin(

sin)cos(cos)sin(

],)sin[(])sin[(

,)(,)(2













m

m

m

mm

mm

m

















）

即





小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，

在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换

三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函

数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减

少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．

例1、若sin（α+β）=

1

2

,sin（α—β）＝

1

10

，求

tan

tan





解：由sin=（α+β）=

1

2

,sin（α—β）＝

1

10

得

∴

tan

tan





＝

sincos

cossin





＝

3

2

例2、当

π

0

4

x时，函数

2

2

cos

()

cossinsin

x

fx

xxx





的最小值是（）．

-

.z.

（A）4（B）

1

2

（C）2（D）

1

4

解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与

cosx

的齐二次式，所以，分子

与分母同时除以2cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为

π

0

4

x，所以

0tan1，所以

2

2

11

()4

tantan

11

tan

24

fx

xx

x













≥．故选（A）．

评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的

两种方法：

（1）若所给的三角式中出现了"切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将"切、

割函数”化为"弦函数”进行求解、证明；

（2）若所给的三角式中出现了"弦函数”与"切函数”，有时可以利用公式

sin

tan

cos

x

x

x



将"弦函数”化为"切函数”进行解答．

例3、化简：0

0

0

cos10

(tan103)

sin50



解：原式000000

00000

sin10cos10sin103cos10cos102cos40

(3)2

cos10sin50cos10sin50sin50





例4、已知tan()3

4



，求

2

2sincos

sinsincos1





的值。

解：∵

tan()1

4

tantan()2

44

1tan()

4



















，

∴

22222

2sincos2sincos2tan4

7

sinsincos1sinsincossincos2tantan1









点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换

分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正

确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．

例1、已知为第二象限角，且

15

sin

4

，求

π

sin

4

sin2cos21















的值．

分析：由于已知条件中知道sin的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的

复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得

解答．

解：原式

2

2

(sincos)

2(sincos)

2

2sincos2cos4cos(sincos)















-

.z.

当为第二象限角，且

15

sin

4

时，sincos0，

1

cos

4

，所以

π

sin

2

4

2

sin2cos214cos

















．

评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．

例2、求值：





480sin20sin2

20sin820sin433

解：原式：＝





20sin3

)20sin21(20sin432＝





20sin3

40cos20sin43

=





20sin3

40cos20sin4)2040sin(2

=





20sin3

20sin40cos20cos40(sin2

＝





20sin3

)2040sin(2

＝

3

32

注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是"降幂”

和"常数变换法”。

例3、化简2cos2cos

2

1

coscossinsin2222。

分析：从"幂”入手，利用降幂公式。

解：原式

四、常数变换

在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数"1”的变换

有：222222cotcsctanccossin1，0045sin90sin1，

sincsc1,cosc1等等。

例1、已知

π

tan2

4











，求

2

1

2sincoscos

的值．

分析：由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦

函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sincos，再利用同角三角函

-

.z.

数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．

解：由

π1tan

tan2

41tan



















，得

1

tan

3

，

于是原式

222

2

sincostan12

2sincoscos2tan13











．

评注：对于题中所给三角式中的常数（如：

23

13

23

，，，等），比照特殊角的三角函数

值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的

作用．

例2、求值（

2

1

cos80o

—

2

3

cos10o

）·

1

cos20o

解：∵

2

1

cos80o

—

2

3

cos10o

＝

22

22

cos103cos80

cos80cos10

oo

oo

－

＝

22

3

cos10sin10oo

oooo（cos10+3sin10）（cos10－sin10）

＝

22

cos10

cos10sin10oo

oooooooo4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）

＝

2

4sin40sin20

1

sin20

4

oo

o

＝

16sin40

sin20

o

o

＝32cos20o

∴原式＝32

例3、(2004年全国高考题)求函数

x

xxxx

xf

2sin2

cossincossin

)(

2244





的最小正周期，

最大值和最小值。

分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。

解：

x

xxxx

xf

2sin2

cossincossin

)(

2244







2

1

2sin

4

1

x。

所以函数)(xf的最小正周期是，最大值为

4

3

，最小值为

4

1

。

五、消参变换

当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．

-

.z.

例1、已知sinsin(3)m，1m且

π

π()

2

kkZ，

π

()

2

k

kZ．

求证：

1

tan()tan

1

m

m









．

分析：由于已知和结论中都含有参数

m

，所以我们可以把已知变形，求出

sin

sin(2)

mm









，，代入

1

tan

1

m

m







化简，即可证得等式成立．

评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出

证明过程，同学们可试着自己完成．

六、变换公式的方法

使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必

须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝





sin2

2sin

，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。

例1：求值：

212cos4

12csc)312tan3

2

（

解：先看角，都是12°；再看"名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。

原式＝

212cos4

12sin

1

)3

12cos

12sin3

(

2









（切、割化为弦）

=

)112cos2(12cos12sin2

12cos312sin3

2



=





24cos24sin

)12cos

2

3

12sin

2

1

(32

(逆用二倍角)

=





24cos24sin

)60sin12cos60cos12(sin32

（常数变换）

=





24cos24sin2

)6012sin(34

（逆用差角公式）＝





48sin

)48sin(34

＝－４3（逆用二倍角公式）

注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其

他变通形式常可以开拓解题思路。

例2、求28tan17tan28tan17tan的值。

解：原式=

1

28tan17tan)28tan17tan1(45tan

28tan17tan)28tan17tan1)(2817tan(







小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用

-

.z.







tantan1

tantan

)tan(





的变形式).tantan1)(tan(tantan

例3、求)

6

tan()

6

tan(3)

6

tan()

6

tan(















的值。

又

3

)

6

tan()

6

tan(3)]

6

tan()

6

tan(1[3

)]

6

tan()

6

tan(1[3

)

6

tan()

6

tan(

)

6

tan()

6

tan(1

)

6

tan()

6

tan(

)]

6

()

6

tan[(



••

•

































































原式

例4、若αβ为锐角且满足sinα—sinβ=—

1

2

，cosα—cosβ=

1

2

，求tan（α—β）的值。

解：由题中条件把两等式平方相加得

sin2α—2sinαsinβ+sin2β＋cos2α—2cosαcosβ+cos2β=

1

2

即2—2cos（α—β）＝

1

2

∵cos（α—β）＝

3

4

∵α、β为锐角sinα—sinβ＝—

1

2

＜0

∴0<α<β<

2



2



<α—β<0

∴sin（α—β）＝—12－cos(－)＝—

7

4

,

∴tan（α—β）=

sin()

cos()









=—

7

3

,