切化弦

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

【学习目标】

1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了

解它们之间的内在联系.

2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角

公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．

3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法

处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.

【要点梳理】

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2

sin22sincos()S





22

2

2

2

cos2cossin()

2cos1

12sin

C















2

2

2tan

tan2()

1tan

T













要点诠释：

(1)公式成立的条件是：在公式

22

,SC



中，角可以为任意角，但公式

2

T



中，只有当

2

k



及()

42

k

kZ



时才成立；

(2)倍角公式不仅限于

2

是的二倍形式，其它如

4

是

2

的二倍、

2



是

4



的二倍、

3是

3

2



的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好

二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：

2

cos

2

sin2sin



；

11

sin2sincos()

222nnn

nZ







2．和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式







中，当TCS,,时，就可得到二倍角的三角

函数公式，它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形

1．公式的逆用

2sincossin2

；

1

sincossin2

2

．

2222cossin2cos112sincos2．

2

2tan

tan2

1tan











．

2．公式的变形

21sin2(sincos)；

降幂公式：22

1cos21cos2

cos,sin

22









升幂公式：221cos22cos,1cos22sin

要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、

凑项、添项、换元等；

2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

(),2()()等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，

也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.

【典型例题】

类型一：二倍角公式的简单应用

例1．化简下列各式：

（1）

4sincos

22



；（2）22sincos

88





；（3）

2

tan37.5

1tan37.5





．

【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．

【答案】（1）

2sin

（2）

2

2

（3）

23

2



【解析】（1）

4sincos22sincos2sin

2222



．

（2）2222

2

sincoscossincos

888842











．

（3）

22

tan37.512sin37.5123

tan75

1tan37.521tan37.522







．

【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体

变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思

路．

举一反三：

【变式1】求值：（1）cossincossin

12121212











；（2）22cos1

8



；（3）

2

2tan75

1tan75

．

【答案】（1）

3

2

；（2）

2

2

；（3）3

【解析】（1）原式=22

3

cossincos

121262



；

（2）原式=

2

cos(2)cos

842



；

（3）原式=

3

tan150tan(18030)tan30

3

．

类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值

例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

【思路点拨】解这类题型有两种方法：

方法一：适用

sin2

sin

2cos









，不断地使用二倍角的正弦公式．

方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用

sin2

cos

2sin









进行化

简．

【答案】

1

16

【解析】方法一：

sin20sin50sin70

sin10sin50sin70

2cos10







sin20cos20sin50sin40sin50sin40cos40

2cos104cos104cos10







sin801

8cos108







．

∴

1

sin10sin30sin50sin70

16



方法二：原式

1

cos20cos40cos80

2



2sin20cos20cos40cos80

4sin20







sin40cos40cos80sin80cos801sin1601

4sin202sin2016sin2016







．

【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的

关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正

弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从

而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若

sin0

，则

1

1

sin2

coscos2cos4cos2

2sin

n

n

n











．

举一反三：

【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．

【解析】原式

2sin20cos20cos40cos80

cos20cos40cos80

2sin20







2sin40cos40cos802sin80cos80

4sin208sin20







sin160sin201

8sin208sin208







．

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式

例3．化简下列各式：

(1)

4sin1)2(

2coscos1

2sinsin











【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）

观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．

【答案】（1）

tan

（2）

sin2cos2

【解析】(1).tan

)cos21(cos

)cos21(sin

cos2cos

cossin2sin

2coscos1

2sinsin

2

































(2)4sin1

.2cos2sin|2cos2sin|)2cos2(sin2cos2cos2sin22sin222

【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：

22sin22cos1,cos22cos1．经常起到消除式子中1的作用．②由于

2)cos(sinsin21cossin22sin，从而，可进行无理式的化简和运算．

例4．化简：

2

2

2cos1

2tansin

44

















．

【解析】原式

2

cos2

2sin

4

cos

4

cos

4









































cos2cos2

2sincossin2

442

















cos2

1

cos2





．

【总结升华】三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦

化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．

举一反三：

【变式1】（1）1sin6的化简结果是．

（2）已知

3

sin

5

，且α∈(

2



，π)，则

2

sin2

cos





的值为．

【答案】（1）

sin3cos3

（2）

3

2



【解析】

（1）原式=1sin3cos3

=2(sin3cos3)

=|sin3cos3|

=

sin3cos3

（2）因为

3

sin

5

，且α∈(

2



，π)，所以

4

cos

5

，原式

=

2

2sincos353

2()

cos542





．

类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用

例5．求值：

（1）已知

3

sin()

1225



，求cos()

6



．

（2）已知sin()

4

m



，求

sin2

．

【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去

求解．

【答案】（1）

7

25

（2）221m

【解析】

（1）cos()coscos2

66122













=212sin

122











=

9

12

25



=

7

25

（2）

sin2cos(2)

2



=212sin

4



















=212sin

4













=221m

【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和

所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．

举一反三：

【变式1】已知

1

sincos

3



，且

0

，求

sin2，

cos2，

tan2的值．

【答案】

8

9



17

9



817

17

【解析】由

1

sincos

3



，得2

1

(sincos)

9



，

即

1

12sincos

9

，∴

8

sin22sincos

9



由

1

sincos

3

，得

1

cossin

3

，

∴

2

2

1

cossin

3











．

即22

12

1sinsinsin

93

．

整理得29sin3sin40．

解得

117

sin

6





或

117

sin

6





（舍去）．

∴

2

2

11717

cos212sin12

69















．

∴

sin2817

tan2

cos217







．

【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．

【变式2】已知

1

tan

42













，（1）求tan的值；（2）求

2sin2cos

1cos2









的值．

【解析】（1）

tantan

1tan1

4

tan

41tan2

1tantan

4































，解得

1

tan

3

．

（2）

22

2

sin2cos2sincoscos2sincos

1cos212cos12cos











1115

tan

2326

．

【总结升华】第（1）问中利用了方程的思想求tan的值；对于第（2）问的题型，

一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．

类型五：二倍角公式的综合应用

例6．已知22()sin2sincos3cosfxxxxx，求：

（1）f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）f(x)的单调区间．

【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()Axk的形式．

【答案】（1）22

|,

8

xxkkz













（2）单增区间

3

,,

88

kkkz













单减区间

5

,,

88

kkkz













【解析】

（1）原式=

1sin2cos21xx

=

sin2cos22xx

=

2sin(2)2

4

x





则当

22,

42

xk



即|,

8

xxkkz













时，

max

()22fx

（2）f(x)的单调递增区间为：

222

242

kxk



，则

3

,,

88

xkkkz













f(x)的单调递减区间为：

3

222

242

kxk



，则

5

,,

88

xkkkz













【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余

弦公式及sin()yAx的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：

（1）缩角升幂公式

2

1sinsincos

22













，

2

1sinsincos

22













．21cos2cos

2



，21cos2sin

2



．（2）扩角降幂

公式2

1cos2

cos

2









，2

1cos2

sin

2









．

例7．已知向量(1sin2,sincos)xxxa，(1,sincos)xxb，求函数

()fxab．

（1）求()fx的最大值及相应的x值；

（2）若

8

()

5

f，求cos22

4













的值．

【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化

为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．

【答案】（1）21

3

()

8

xkkZ



（2）

16

25

【解析】（1）因为(1sin2,sincos)xxxa，(1,sincos)xxb，

所以22()1sin2sincos1sin2cos22sin21

4

fxxxxxxx











．

因此，当

22

42

xk



，即

3

()

8

xkkZ



时，()fx取得最大值21．

（2）由()1sin2cos2f及

8

()

5

f得

3

sin2cos2

5

，两边平方得

9

1sin4

25

，即

16

sin4

25

．因此，

16

cos22cos4sin4

4225













．

举一反三：

【变式1】已知函数2()sincoscos1

222

xxx

fx.

（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）求函数()fx在

[,]





上的最小值.

【答案】（Ⅰ）

2，

5

2,2

44

kk













，

kz

（Ⅱ）

21

2





【解析】（Ⅰ）

1cos

()sincos1

222

xxx

fx





111

sincos

222

xx

21

sin().

242

x





所以函数

()fx

的最小正周期为

2

.

由

3

22

242

kxk





，kZ，则

5

22

44

kxk





.

函数

()fx

单调递减区间是

5

[2,2]

44

kk





，kZ.

(Ⅱ)由

3

42

x





，得

7

244

x





.

则当

3

42

x



，即

5

4

x



时，()fx取得最小值

21

2



.

【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），(3,1)n，m·n=1，且A为锐角．

（1）求角A的大小；

（2）求函数()cos24cossinfxxAx（x∈R）的值域．

【答案】（1）

3



（2）

3

3,

2









【解析】（1）由题意，得3sincos1mnAA，

2sin1

6

A











，

1

sin

62

A











．

由A为锐角得

66

A



，

3

A



．

（2）由（1）知

1

cos

2

A，

所以

2

2

13

()cos22sin12sin2sin2sin

22

fxxxxxx









．因为x∈R，

所以sinx∈[－1,1]．

因此，当

1

sin

2

x时，()fx有最大值

3

2

，当sinx=－1时，()fx有最小值－3，所以

所求函数()fx的值域是

3

3,

2









．