两直线夹角公式

..

.v.

11.3(2)两条直线的夹角

教学目标设计

理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹

角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..

通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想

解决问题的能力

教学重点及难点

理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.

教学用具准备

多媒体设备

教学流程设计

一、复习引入

1．引例：判断以下各组直线的位置关系，如果相交，那么求出交

点的坐标〔课本p16例1〕．

〔1〕01243:

1

yxl，01127:

2

yxl；

课堂小结并布置作业

两条直线的夹

角公式

两条直线夹

角的定义

两直线的

夹角

复习引入

运用与深化(例题解析、稳固练习)

..

.v.

〔2〕01243:

1

yxl，3:

2

xl；

〔3〕01243:

1

yxl，0586:

2

yxl．

解：〔参考课本p16~17〕

[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点

坐标的方法.由此引出新的课题.

思考并答复以下问题

1．〔对于上述〔1〕、〔2〕这样〕，当两条直线相交时，用什么“量〞

来描述两条直线的相对位置呢.

教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生

观察这两条直线的关系.

解答：两条直线的夹角.

2．回忆旧知：在初中平面几何中“两直线夹角〞的定义是什么.

解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几

何图形〔如右图〕．

[说明]在复习旧知的根底上引人新课.

二、学习新课

关于两直线的夹角

1、概念形成

两条直线的夹角

如右图，两条直线相交，一共构成几个角.它们有什么关系.怎样

定义两条直线的夹角呢.

平面上两条直线

1

l和

2

l相交构成四个角，它们

是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比拟简单.我们规定两条

相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.

如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的

..

.v.

夹角的取值围是













2

,0



，而两条相交直线夹角的取值围是〔]

2

,0



.

现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两

条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，

那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢.

[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②

提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲

2、夹角公式的推导

分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之

间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下

面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.

[说明]引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.

通过类比，寻求思路.

设两条直线的方程分别为

1

l：0

111

cybxa〔

11

,ba不全为零〕

2

l：0

222

cybxa〔

22

,ba不全为零〕.

设

1

l与

2

l的夹角为，

1

l与

2

l的一方向向量分别为1d与2d，其夹

角为，且

1

d=),(

11

ab,

2

d=),(

22

ab，

当]

2

,0[



时，那么

如图甲所示;当],

2

(



时，那么,如图乙所示.

..

.v.

于是得:

2

2

2

2

2

1

2

1

2121

21

21

||

|

||||

||cos|cos

baba

bbaa

dd

dd











.

即为直线

1

l与

2

l的夹角公式.

特别地,当且仅当0

2121

bbaa时,

1

l与

2

l的夹角为

2



,即

1

l与

2

l垂直.

也就是说:

1

l

2

l

1

d垂直

2

d

1

n垂直

2

n0

2121

bbaa(其中

1

n,

2

n分

别为

1

l与

2

l的一个法向量)

而由0

2121

bbaa,易得当0,0

21

bb时,有1

2

2

1

1

b

a

b

a

,即当两条直

线的斜率都存在时,

1

l与

2

l垂直的充要条件是,1

21

kk其中

21

,kk分别为

直线

1

l与

2

l的斜率.

[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两

个向量的夹角有区别,前者的围是













2

,0



.后者的围是],0[,因此必须考

虑两种情况]

2

,0[



与],

2

(



;②允许学生从斜率的角度考虑,但是

不作为本课的重点,可留做课后探讨.

3、例题分析

例1：〔回到引例〕求以下各组直线的夹角：

〔1〕01243:

1

yxl，01127:

2

yxl；

〔2〕01243:

1

yxl，3:

2

xl；

解：设

1

l与

2

l的夹角为，那么由两条直线的夹角公式得

(1)

,

965

19327

12743

|)12(473|

cos

2222









965

19327

arccos

即为所求;

(2)

5

3

arccos,

5

3

0143

|0)4(13|

cos

2222









即为所求.

[说明]①解决本课开头提出的问题,本环节的设计目的是使学生熟悉

..

.v.

夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线

2

l的

斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得

1

l的倾斜角

4

3

arctan,得出

1

l

与

2

l的夹角为

4

3

arctan

2





〕．

例2：假设直线

1

l：

3

1

3

x

a

y与

2

l：01)1(2yax互相垂直，数a的

值.〔补充〕

解：先把直线

1

l的方程化为一般形式

1

l：013yax.

∵两直线垂直,∴0)1(32aa，∴

5

3

a为所求．

[说明]通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提

条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．

例3：直线l过点)1,4(P，且与直线013:yxm的夹角为

10

103

arccos，

求直线l的方程.(补充)

解：〔方法一〕设l的方程为0)1()4(ybxa〔其中),(ban为l的一

法向量〕，那么,

10

103

)1(3

|3|

2222







ba

ba

即|3|322baba

化简为0)43(bab解方程，得bab43,0

当0b时，那么0a，此时方程为4x

当043ba时，方程为0)1(3)4(4yx，即01934yx

综上,l的方程是4x或01934yx.

〔方法二〕设点斜式，按直线l的斜率是否存在分两类讨论

①假设直线l的斜率不存在，那么过点)1,4(P直线l的方程为

4x，设它与直线013:yxm的夹角，那么

10

103

arccos,

10

103

0113

|0)1(13|

cos

2222







，满足题意.

..

.v.

②假设直线l的斜率存在，那么设直线l的方程为)4(1xky,即

014kykx,设它与直线013:yxm的夹角，那么

那么,

10

103

)1(3)1(

|13|

2222







k

k

即|13|132kk,解得

3

4

k,所以

直线l的方程为)4(

3

4

1xy,化简得01934yx,

由①②可知,l的方程是4x或01934yx.

[说明]①启发学生探讨“求过某定点P，且与直线夹角为的直线方

程〞这类根本问题的处理方法；②一般地,求直线方程时,往往采用待

定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；

③分析思路，启发学生一题多解.假设设点斜式，学生可能只求出一

条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学

生求到只有一条呢.让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两

类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般

形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值

3



，

本例为

10

103

arccos，目的让学生熟悉反三角的表示.

例4：ABC的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(CBA

(1)求ABC中A的大小;(2)求A的平分线所在直线的方程.〔补充〕

解:〔1〕方法一:直线AB的方程为:1y，

直线AC的方程为:0534yx,

设它们的夹角为,又A为锐角,所以A=，

那么

5

3

arccos,

5

3

cosAA即为所求;

..

.v.

方法二:数形结合,因为

3

4

arctan,

3

4

,0Akk

ACAB

即为所求.

〔2〕方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(ybxa，即

02babyax.由角平分线与两边ACAB,成等角，运用夹角公式得

解得baba22或,由题意,舍ba2

所以角平分线的方程为：02yx.

方法二:数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为

2

1

2(

2

1

2

2

tank

A

k），舍或,又它过点〔2，1〕，

所以，角平分线的方程为：02yx

[说明]①稳固提高.因为此题中,直线AB的方程为:1y,因此采用方法

二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的根本方法.

②小题〔1〕,求三角形的角,一般先求过A的两条边所在直线方程，由

夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形角或其补角；

③小题〔2〕,注意结合图形,正确取舍.

三、稳固练习

练习11.3〔2〕----1,3

四、课堂小结

1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式

的方法，要理解、体会其中的思想方法；

2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；

3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交

直线的夹角为锐角；

..

.v.

4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设

直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分

类讨论.

五、作业布置

1、书面作业：练习11.3〔2〕----2,4

习题11.3A组----10,11,12

2、思考题：光线沿直线l

1

：022yx照射到直线l

2

：022yx上后

反射，求反射线所在直线

3

l的方程.

解由)2,2(

022

022













，得反射点的坐标为

yx

yx

.

设

3

l的方程为0)2()2(ybxa〔其中

),(ban为一法向量，ba,不同时为零〕

由反射原理,直线

1

l与

2

l的夹角等于

2

l与

3

l的

夹角，得baba

ba

ba

2112

5

2

55

22

22













或,舍去ba2(否那么与

l

1

重合),所以ba

11

2

,得

3

l的方程为026112yx.

3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A〔0，a〕，B〔0，b〕，点A

在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值.

答：abC.

[说明]①作业1是课本习题，通过它来反应知识掌握效果，稳固所学

知识，强化根本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作

业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由开展的空

间，学生可以根据实际情况选用.