交点式

二次函数交点式

RUSERredactedonthenightofDecember17,2020

第三讲二次函数交点式

知识要点一.二次函数的三种形式

根据二次函数的图象和性质填表：

二次函数对称轴顶点与坐标轴交点

一般式

与y轴交与点

与x轴交与点

顶点式

与y轴交与点

与x轴交与点

交点式

与y轴交与点

与x轴交与点

例题讲解1.用十字相乘法分解因式：

①322xx②1072xx③6822xx

2.将下列二次函数改写成交点式并求出抛物线与

x

轴的交点坐标：

①322xxy②342xxy③6822xxy

坐标：

归纳：

(1)若二次函数cbxaxy2与

x

轴交点坐标是（

0

1

，x

）、（

0

2

，x

），则该函数还可以

表示为的形；

(2)反之若二次函数是

21

xxxxay的形式，则该抛物线与

x

轴的交点坐标

是，故我们把这种形式的二次函数关系式称为式.

(3)二次函数的图象与

x

轴有2个交点的前提条件是，因此

这也是式存在的前提条件.

基础练习

1.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.

⑴232xxy⑵91202xxy⑶

4622xxy

与

x

轴的交点坐标是：

与y轴的交点坐标是：

2.已知二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.

(1)求对称轴和顶点坐标；

(2)画出它的简图；

(3)求出该二次函数的解析式；

(4)若二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴

是；

若二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴

是；

若二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴

是.

3.已知一条抛物线的开口大小、方向与2xy均相同，且与

x

轴的交点坐标是

（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是.

4.已知一条抛物线与

x

轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线

1x，则另一个交点坐标是.

5.已知一条抛物线与

x

轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则

另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴

是.

6.二次函数43xxy与

x

轴的交点坐标是，对称轴是.

7.请写出一个二次函数，它与

x

轴的交点坐标是（-6,0）、（-

3,0）：.

知识要点二．求二次函数的解析式

一般地，已知图像上的三点或者三对yx、的值或已知

cba、、

其中之一，我们通常设一

般式，已知，我们通常设顶点

式，已知图像与x轴两个交点的坐标，我们通常设交点

式.

例题讲解

1．求满足下列条件的二次函数解析式：

(1)顶点是（2,1），且过点（0,3）；

(2)过点（-1,0）（3,0）（2,4）；

(3)过点（0,2）（1,3）（2,4）

2.二次函数的图像经过点A（4，-3），当

3x

时，有最大值-1，则二次函数的

解析式是.

3.如果抛物线cbxaxy2的对称轴是x＝-2，且开口方向与形状与抛物线2

2

3

xy

相同，又过原点，那么a＝，b＝，c＝.

综合提升

1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2xy均相同，且与

x

轴的交点坐标是（-

2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是.

2.已知一条抛物线的形状与22xy相同，但开口方向相反，且与

x

轴的交点坐标是

（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是.

3.已知一条抛物线与

x

轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则

另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴

是.

4.二次函数43xxy与

x

轴的交点坐标是，对称轴是.

5.已知二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则

该抛物线开口向，当

x

时，y随的增大而增大.

6.请写出一个开口向下、与

x

轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系

式：.

7.已知二次函数的图象与

x

轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求

出该二次函数的关系式.

解法1：解法2：

8.二次函数的图象与

x

轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线

2x，且函数的最值是4.

⑴求另一个交点的坐标.

⑵求出该二次函数的关系式.

9.已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．

(1)求k的值；

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的

图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的

其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线

bxy

2

1

(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．