第二类间断点

第一类间断点

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函

数f(x)的第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind)。在

第一类间断点中，左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。

非第一类间断点即为第二类间断点(discontinuitypointofthecondkind)。

相关知识

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0

时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即limf(x)=f(x0)（x→

x0），那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形：1、在点

x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；3、

虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但limf(x)≠f(x0)（x→x0）时

则称函数在x0处不连续或间断。

可去间断点

设f(x)在Xo的某一去心邻域内有定义且Xo是函数f(x)的间断点，那么如

果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)=f(x+)

且不等于f(Xo)（或f(Xo)无定义）,则称Xo为f(x)的可去间断点(Removable

Discontinuity)。可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成

为连续函数

跳跃间断点

跳跃间断点设Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，

则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃

间断点。例：1、两者都是反正切函数，图形大同小异：

两者的值域稍有差异：

arctanx的值域是：(-π/2,π/2)

arctan1/x的值域是：(-π/2,0)∪(0,+π/2)

两者的定义域也稍有差异：

arctanx的定义域是：(-∞,+∞)

arctan1/x的定义域是：(-∞,0)∪(0,+∞)

2、arctanx是增函数，无间断点：

在第三象限从-π/2一路上升至原点(上凹)，在第一象限从原点一路上升至π

/2(下凹);

arctan1/x是减函数，x=0是跳跃型间断点：

在第二象限从π/2一路下降至原点(下凹)，在第四象限从原点一路下降至-

π/2(上凹)。

当x→0-,arctan1/x→-π/2;

当x→0+,arctan1/x→+π/2.

∴x=0是跳跃型间断点(左极限≠右极限，就是跳跃)

因为是跳跃型间断点，不是可去型间断点。补充定义，意义不大。

要根据具体实际问题，补充定义。f(0)canbeanynumber.

3、arctanx和arctan1/x有共同的渐近线(Asymptote)±½π

4、在任何一点，他们的斜率(|dy/dx|)的绝对值是相等的，曲率半径也是相等的。

整体上，图形是对称的。

第二类间断点

设Xo是函数f(x)的间断点，那么1°如果f(x-)与f(x+)都存在，则

称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果（i），f(x-)=f(x+),则称Xo为f(x)

的可去间断点。（ii），f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点。

2°不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。第二类间断点：

函数的左右极限至少有一个不存在。a.无穷间断点：y=tanx，x=π/2b.

震荡间断点：y=sin(1/x),x=0