双曲线通径

1+

b

2

a

2

−

−

−

−

4

4

4

4

4

4

4

9

3

3

4

简单已测：3338次正确率：84.1%

1.已知双曲线

x

2

−y

2

=1(a>0,b>0)的⼀条渐近线过点(2,

3),且双曲线的⼀个焦点在抛物线

a

2

b

2

y2=47x的准线上,则双曲线的⽅程为（）

A.

x

2

−y

2

=1

2128

B.

x

2

−y

2

=1

2821

C.

x

2

−y

2

=1

34

D.

x

2

−y

2

=1

43

考点：双曲线的标准⽅程的求解、双曲线的渐近线问题

知识点：双曲线的标准⽅程、双曲线的渐近线

答案：D

解析：由题意可得

b

=

3

,c=7,⼀c

2

=7=a

2

+b

2

,解得a

2

=4,b

2

=3,故双曲线的⽅程为

x

2

−

y

2

=1.

a243

⼀般已测：1871次正确率：76.7%

2.已知双曲线C:x

2

−y

2

=1的离⼼率e=5,且其右焦点为F(5,0),则双曲线C的⽅程为()

a

2

b

2

4

2

A.

x

2

y

2

=1

x

2

y

2

16

x

2

y

2

169

D.

x

2

y

2

=1

考点：双曲线的标准⽅程的求解

知识点：双曲线的标准⽅程、双曲线的离⼼率

答案：C

解析：由题意得e==

5

,⼀右焦点为F(5,0),a

2

+b

2

=c

2

,所以a

2

=16,b

2

=9,故双曲线C的⽅

程为

x

2

−

y

2

4

2

=1.

169

简单已测：745次正确率：89.0%

3.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线⽅程为y=±2x的是()

A.x2−y

2

=1

B.

x

2

−y2=1

C.

y

2

−x2=1

D.y2−x

2

=1

考点：双曲线的标准⽅程的求解、双曲线的渐近线问题

知识点：双曲线的标准⽅程、双曲线的渐近线

答案：C

解析：A、B选项中双曲线的焦点在x轴上,

C、D选项中双曲线的焦点在y轴上,

⼀令

y

2

−x

2

=0,

得y=±2x,

令y

2

−

x

2

=0,

C.

B.=1

=1

2

得y=±

1

x,

故选C.

简单已测：1782次正确率：88.2%

4.若双曲线E:

x

2

−y

2=1的左,右焦点分别为F,F,点P在双曲线E上,且∣PF∣=3,则

916

12

1

∣PF

2

∣等于（）

A.11

B.9

C.5

D.3

考点：双曲线的定义及其应⽤、双曲线及其标准⽅程的综合问题

知识点：双曲线的定义、关于双曲线的⼀个重要结论

答案：B

解析：解法⼀

依题意知,点P在双曲线的左⽀上,根据双曲线的定义,得∣PF

2

∣−∣PF

1

∣=2×3=6,所以

∣PF

2

∣=6+3=9,故选B.

解法⼀

根据双曲线的定义,得∣∣PF

2

∣−∣PF

1

∣∣=2×3=6,所以∣∣PF

2

∣−3∣=6,所以∣PF

2

∣=9或

∣PF

2

∣=−3(舍去),故选B.

⼀般已测：1318次正确率：89.6%

5.将离⼼率为e1

的双曲线C

1

的实半轴⼀a和虚半轴⼀b(a̸=b)同时增加m(m>0)个单位⼀度,得到离⼼

率为e

2

的双曲线C

2

,则()

A.对任意的a,b,e1

2

B.当a>b时,e1

2

;当a

1

>e

2

C.对任意的a,b,e1

>e

2

D.当a>b时,e1

>e

2

;当a

1

2

考点：求双曲线的离⼼率或取值范围

知识点：不等式的证明、双曲线的离⼼率

答案：B

解析：设双曲线C

1

,C

2的半焦距分别为c1

,c

2,

22

c

2

c

2a

2

+b

2

(a+m)

2

+(b+m)

2

因为e

1

−e

2

=

1

2

−2

2

=

2

−

2

a

(a+m)

a(a+m)

=

b

2

−

(b+m)

2

=

(b−a)m(2ab+am+bm)

,

a

2

(a+m)

2

a

2

(a+m)

2

所以,当a>b时,e

1

2;

当a

1

>e

2.

简单已测：3518次正确率：92.9%

a2+b2

a

2

−

2

2

2

2

2

2

6.设双曲线

x

2

−y

2

=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于

a

2

b

2

B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离⼀于

a+a2+b2

,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()

A.(−1,0)∪(0,1)

B.(−∞,−1)∪(1,+∞)

C.(−2,0)∪(0,2)

D.(−∞,−2)∪(2,+∞)

考点：双曲线的简单性质应⽤、不等式的基本性质

知识点：不等式的基本性质、双曲线的⼀何性质

答案：A

解析：本题主要考查双曲线的⼀何性质、不等式的性质.

如图所⽰,由题意知BC为双曲线的通径,所以∣BC∣=

2b

2

,则∣BF∣=

b

2

.⼀∣AF∣=c−a,因为

aa

BD⊥AC,DC⊥AB,所以点D在x轴上,由Rt△BFA∽Rt△DFB,得∣BF∣

2

=∣AF∣⋅∣FD∣,即

b

2

2

b

4

b

4

b

4

(

a

)=(c−a)∣FD∣,所以∣FD∣=

a

2

(c−a)

,则由题意知

a

2

(c−a)

a

2

(c−a)

以b

4

2

(c−a)(a+c),即b

4

2

(c

2

−a

2

),即b

4

2

b

2

,所以

b

2

,解得0<

b

<1,⼀双曲线的渐近线

0<

a

2

<1

a

斜率为±

b

,所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(−1,0)∪(0,1),故选A.

较难已测：2104次正确率：40.4%

7.已知双曲线

y

2

x

2

ab

=1(a>0,b>0)的实轴端点分别为A

1

,A

2

,记双曲线的其中的⼀个焦点为

F,⼀个虚轴端点为B,若在线段BF上(不含端点)有且仅有两个不同的点P

i

(i=1,2),使得

∠A

1

PA=π,则双曲线的离⼼率e的取值范围是()

A.(

B.(

i2

2

2,5+1)

2,6+1)

C.(1,5+1)

D.(5+1,+∞)

考点：求双曲线的离⼼率或取值范围

知识点：双曲线的⼀何性质、双曲线的离⼼率

答案：A

解析：由题意可设F(0,c),B(b,0),则直线BF的⽅程为cx+by−bc=0,

∵在线段BF上(不含端点)有且只有不同的两点P

i

(i=1,2),使得∠A

1

P

i

A

2

=π,

∴线段BF与以A

1

A

2

为直径的圆O相交,即

bc

b

2

+c

2

2

c

2

2

(b

2

+c

2

),

⼀b

2

=c

2

−a

2

,e=

c

,∴e

4

−3e

2

+1<0,解得

3−5

2

<

3+5

,

a22

2

⼀e>1∴1

5+1

,

9

2

2

m

2

aa

3

9

−

−

a

2

b

2

a

2

∵在线段BF上(不含端点)有且仅有两个不同的点P

i

(i=1,2),使得∠A

1

P

i

A

2

=π,

画图可得点B,F都在圆O外，

可得a

2

2

−a

2

,解得e>2,

综上得,

故选:A．

2

5+1

．

⼀般已测：1444次正确率：93.6%

8.若双曲线x2−y

2=1的离⼼率为3，则实数m=．

考点：双曲线标准⽅程的应⽤、求双曲线的离⼼率或取值范围

知识点：双曲线的标准⽅程、双曲线的离⼼率

答案：2

解析：因为a

2

=1，b

2

=m，所以

c

=

1+m

=3，解得m=2.

a1

简单已测：2508次正确率：83.7%

9.已知双曲线

x

2

a

−y2=1(a>0)的⼀条渐近线为3x+y=0,则a=.

考点：双曲线的渐近线问题

知识点：双曲线的渐近线

答案：3

3

2

解析：因为双曲线

x

2

−y

2

=1(a>0)的⼀条渐近线为y=−

3x,所以

1

=3,故a=

3

.

简单已测：3879次正确率：97.1%

10.设双曲线

x

2

y

2

b

=1(b>0)的焦点为F

1

，F

2

，P为该双曲线上的⼀点，若∣PF

1

∣=5，则

∣PF

2

∣=．

考点：双曲线的定义及其应⽤、双曲线定义的应⽤

知识点：双曲线的定义

答案：11

解析：双曲线

x

2

−

y

2

=1中，a==3，

9b

由双曲线的定义，可得∣∣PF

1

∣−∣PF

2

∣∣=6，

⼀∣PF

1

∣=5，解得∣PF

2

∣=11或−1（舍去），

故∣PF

2

∣=11.

⼀般已测：245次正确率：83.5%

11.设F是双曲线C:x

2

y

2

=1的⼀个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的⼀

个端点,则C的离⼼率为.

考点：求双曲线的离⼼率或取值范围、双曲线的简单性质应⽤

知识点：双曲线的⼀何性质、双曲线的离⼼率

答案：

解析：由已知不妨设F(−c,0),虚轴的⼀个端点为B(0,b),B恰为线段PF的中点,故P(c,2b),代⼊双曲线⽅程得

c

2

=5,即e

2

=5,⼀e>1,故e=5.

5

3

3

−

3

−

a

a

3

3

2

2222

916

a

2

b

2

=

⼀般已测：3965次正确率：86.5%

12.已知F为双曲线C:x

2

y

2

=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的⼀等于虚轴⼀的2倍,点

A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周⼀为.

考点：双曲线的定义及其应⽤、双曲线标准⽅程的应⽤

知识点：双曲线的定义、双曲线的标准⽅程

答案：44

解析：由题意得,∣FP∣−∣PA∣=6,∣FQ∣−∣QA∣=6,

两式相加,利⽤双曲线的定义得∣FP∣+∣FQ∣=28,

所以△PQF的周⼀为∣FP∣+∣FQ∣+∣PQ∣=44.

中等已测：1958次正确率：79.6%

13.设双曲线x2−y

2

=1的左,右焦点分别为F,F

12

.若点P在双曲线上,且△F1

PF

2为锐⻆三⻆

形,则∣PF

1

∣+∣PF

2

∣的取值范围是.

考点：双曲线的定义及其应⽤、双曲线的简单性质应⽤

知识点：双曲线的定义、双曲线的⼀何性质

答案：(27,8)

解析：由题意不妨设点P在双曲线的右⽀上,现考虑两种极限情况:当PF

2

⊥x轴时,∣PF

1

∣+∣PF

2

∣有最⼤值8;当

∠P为直⻆时,∣PF

1

∣+∣PF

2

∣有最⼀值27.因为△F

1

PF

2

为锐⻆三⻆形,所以∣PF

1

∣+∣PF

2

∣的取值

范围为(27,8).

⼀般已测：178次正确率：83.4%

14.已知双曲线C:x

2

y

2

=1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆⼼，b为半径做圆

A，圆A与双曲线C的⼀条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60∘

，则C的离⼼率为.

考点：双曲线的渐近线问题、求双曲线的离⼼率或取值范围

知识点：点到直线的距离、双曲线的离⼼率

答案：

2

3

3

解析：由题可知△MAN是以b为边⼀的等边三⻆形，点A(a,0)到双曲线C的渐近线y=

b

x(即bx−ay=0)的距

离就是△MAN的⾼

3b，即∣ab∣=

3

b，得

a

=

3

.

2

a

2

+b

2

2c2

∴双曲线C的离⼼率e=

c

=

223

.

3

⼀般已测：2375次正确率：81.0%

15.在平⼀直⻆坐标系xOy中，双曲线

x

2−y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，

其焦点是F

1

，F

2

，则四边形F

1

PF

2

Q的⼀积是

考点：双曲线的渐近线问题、双曲线的简单性质应⽤

知识点：双曲线的⼀何性质、双曲线的渐近线

答案：2

解析：双曲线

x

2

−y

2

=1的右准线：x=

3

，双曲线渐近线⽅程为：y=

3

x，

323

所以P(

3

,3

)，Q(

3

,−3

)，F1

(−2,0)．F

2

(2,0)．

则四边形F

1

PF

2

Q的⼀积是：

1

×4×=2

3

6

6

8

8

−3

22

a

2

−

AB

a

2

2

2

−

b

2

22

∴

a

2

a

2

b

2

故答案为：2

⼀般已测：587次正确率：69.9%

16.已知F是双曲线C:x2−y

2

=1的右焦点,P是C的左⽀上⼀点,A(0,6

6).当△APF周⼀最

⼀时,该三⻆形的⼀积为.

考点：双曲线的定义及其应⽤、双曲线的最值问题

知识点：双曲线的定义、双曲线的⼀何性质

答案：12

解析：依题意,双曲线C:x

2

−

y

2

=1的右焦点为F(3,0),实半轴⼀a=1,左焦点为M(−3,0),因为P在C的左⽀

上,

所以△APF的周⼀

l=∣AP∣+∣PF∣+∣AF∣≥∣PF∣+∣AF∣+∣AM∣−∣PM∣=∣AF∣+∣AM∣+2a=15+15+2=3

,

当且仅当A,P,M三点共线且P在A,M中间时取等号,

此时直线AM的⽅程为

x

+

6

y

6

=1,与双曲线的⽅程联⼀得P的坐标为(−2,2

6),

此时,△APF的⼀积为

1

×6×66−

1

×6×2=126.

中等已测：2826次正确率：76.1%

17.在平⼀直⻆坐标系xoy中，双曲线

x

2

y

2=1(a>0,b>0)的右⽀与焦点为F的抛物线

x2=2py(p>0)交于A，B两点，若∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，则该双曲线的渐近线⽅程为

考点：双曲线的渐近线问题、抛物线的定义及简单应⽤

知识点：双曲线的渐近线、抛物线的定义

答案：y=±

2

x

2

2

2

解析：把x

2

=2py(p>0)代⼊双曲线

x

2

−

y

=1(a>0,b>0)，

ab

2

可得：a

2

y

2

−2pb

2

y+a

2

b

2

=0，

∴y+y=

2pb

2

，

∵∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，∴y

A

+y

B

+2×

p

=4×

p

，

2

2

pb

=p，

∴

b

=

2

．

a2

∴该双曲线的渐近线⽅程为：y=±

2

x．

故答案为：y=±

2

x．

较难已测：589次正确率：66.7%

18.已知双曲线C:x

2

y

2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F

1

、F

2

,离⼼率为3,直线y=2

与C的两个交点间的距离为6.

(1)求a、b;

(2)设过F2

的直线l与C的左、右两⽀分别交于A、B两点,且∣AF

1

∣=∣BF

1

∣,证明:∣AF

2

∣、

3

∣AB∣、∣BF

2

∣成等⽐数列.

考点：等⽐数列的判定与证明、双曲线的简单性质应⽤

2

2

k

2

−8

1

1

22

11

22

知识点：等⽐数列的判定、双曲线的⼀何性质

(1)答案：a=1,b=22.

解析：由题设知

c

=3,即

a

2

+b

2

=9,故b

2

=8a

2

.

aa

2

所以C的⽅程为8x

2

−y

2

=8a

2

.

将y=2代⼊上式,并求得x=±a2+

1

.

由题设知,2

a2+

1

=

6,解得a

2

=1.

所以a=1,b=22.

(2)答案：⼀解析

解析：由(1)知,F

1

(−3,0),F

2

(3,0),C的⽅程为

8x

2

−y

2

=8.①

由题意可设l的⽅程为y=k(x−3),∣k∣<22,代⼊①并化简得

(k

2

−8)x

2

−6k

2

x+9k

2

+8=0.

设A(x1

,y

1

),B(x

2

,y

2

),则

x

1

≤−1,x

2

≥1,x

1

+x

2

=6k

2

k

2

−8

,x

1

⋅x

2

=

9k

2

+8

.

于是∣AF

1

∣=

(x

1

+3)

2

+y

2

=(x

1

+3)

2

+8x

2

−8=−(3x

1

+1),

∣BF

1

∣=

(x

2

+3)

2

+y

2

=(x

2

+3)

2

+8x

2

−8=3x

2

+1.

由∣AF

1

∣=∣BF

1

∣得−(3x

1

+1)=3x

2

+1,即x

1

+x

2

=−

2

.

3

6

2

故

k

2

k=−

2

,解得k

2

=

4

,从⼀x

1

⋅x

2

=−

19

.

−83

由于∣AF

2

∣=

5

(x

1

−3)

2

+y

2

=

9

(x

1

−3)

2

+8x

2

−8=1−3x

1,

∣BF

2

∣=

(x

2

−3)

2

+y

2

=(x

2

−3)

2

+8x

2

−8=3x

2

−1.

故∣AB∣=∣AF

2

∣−∣BF

2

∣=2−3(x

1

+x

2

)=4,

∣AF

2

∣⋅∣BF

2

∣=3(x

1

+x

2

)−9x

1

x

2

−1=16.

因⼀∣AF2

∣⋅∣BF

2

∣=∣AB∣

2

,所以∣AF

2

∣、∣AB∣、∣BF

2

∣成等⽐数列.