重要极限公式

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重要极限的证明

重要极限的证明极限是e

a>0

在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原

式的下极限》=e^(1-a)

由a的任意性，得

极限为e

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，

Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2且

Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

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同理可求x0综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍

几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

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教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式

性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或

简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现

证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

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这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限

作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把

所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4[利用公式]

例5例6例7