抛物线通径

.

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．

2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.

开口方向右左上下

标准方程

22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp

焦点位置X正X负Y正Y负

焦点坐标

(,0)

2

p

(,0)

2

p

(0,)

2

p

(0,)

2

p



准线方程

2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

范围

0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR

对称轴X轴X轴Y轴Y轴

顶点坐标（0,0）

离心率1e

通径2p

焦半径

11

(,)Axy

12

p

AFx

12

p

AFx

12

p

AFy

12

p

AFy

焦点弦长AB

12

()xxp

12

()xxp

12

()yyp

12

()yyp

焦点弦长AB

的补充

11

(,)Axy

22

(,)Bxy

以AB为直径的圆必与准线l相切

若AB的倾斜角为，

2

2

sin

p

AB



若AB的倾斜角为，则

2

2

cos

p

AB





2

124

p

xx2

12

yyp

112AFBFAB

AFBFAFBFAFBFp





••

3．抛物线)0(22ppxy的几何性质：

(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当

x

的值增大时，|y|也增大，

说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

.

(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．

(3)顶点（0，0），离心率：1e，焦点(,0)

2

p

F，准线

2

p

x，焦准距p．

(4)焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(

11

yxA,),(

22

yxB,则pxxAB

21

||．

弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(

11

yxA,),(

22

yxB，焦点(,0)

2

p

F

(1)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且

11

(,)Axy，

22

(,)Bxy，则：

2

124

p

xx，

2

12

yyp。

(2)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

2

2

sin

P

AB





（α≠0）。

(3)已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F,

112AFBFAB

AFBFAFBFAFBFp





••

(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(5)两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，

以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：),(

11

yxA,),(

22

yxB是抛物线上两点，则

22

1212

()()ABxxyy||

1

1||1

21

2

21

2yy

k

xxk

6.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，

，消y得：

（1）当k=0时，直线

l

与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线

l

与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线

l

与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线

l

与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l：

bkxy

抛物线，)0(p

①联立方程法：











pxy

bkxy

22

0)(2222bxpkbxk

.

设交点坐标为),(

11

yxA,),(

22

yxB，则有

0

,以及

2121

,xxxx，还可进一步求出

bxxkbkxbkxyy2)(

212121

，2

2121

2

2121

)())((bxxkbxxkbkxbkxyy

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

21

2

21

2

21

24)(11xxxxkxxkAB

a

k



21

或

21

2

21

2

21

2

4)(

1

1

1

1yyyy

k

yy

k

AB

a

k



21

b.中点),(

00

yxM,

2

21

0

xx

x





，

2

21

0

yy

y





②点差法：

设交点坐标为),(

11

yxA，),(

22

yxB，代入抛物线方程，得

1

2

1

2pxy

2

2

2

2pxy

将两式相减，可得

)(2))((

212121

xxpyyyy

2121

21

2

yy

p

xx

yy









a.在涉及斜率问题时，

21

2

yy

p

k

AB



b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(

00

yxM，

002121

21

2

22

y

p

y

p

yy

p

xx

yy











，

即

0

y

p

k

AB

，

同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线

l

与抛物线相交于

BA、

两点，点),(

00

yxM是弦

AB的中点，则有

p

x

p

x

p

xx

k

AB

00

21

2

2

2







（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，

且不等于零）

.

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有

点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的

1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线pxy22上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）

.A相交.B相切.C相离.D位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为,0

2

p

F







，准线是

:

2

p

lx.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PFPH，

且

2

p

QHOF.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

中位线，111

222

MNOFPQPHPF.故以

PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则

分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是

大有帮助的.

【例2】过抛物线022ppxy的焦点F作直线交抛物线于

1122

,,,AxyBxy两点，求证：

（1）

12

ABxxp（2）

pBFAF

211



【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作

1

AAl

11111

,

2

p

ABBlBAAx于，则AF，

122

p

BFBBx.两式相加即得：

12

ABxxp

（2）当AB⊥x轴时，有

AFBFp，

112

AFBFp



成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

2

p

ykx









.代入抛物线方程：

X

Y

P

H

M

N

O

(,0)

2

p

F

:

2

p

lx=-

22ypx=

Q

X

Y

F

A(x,y)

1

1

B(x,y)

2

2

A

1

B1

l

.

2

22

2

p

kxpx









.化简得：2

2222201

4

p

kxpkxk

∵方程（1）之二根为x1，x2，∴

1

2

24

k

xx.



12

2

11

12

1212

111111

22

24

xxp

pp

pp

AFBFAABB

xx

xxxx













1212

22

12

12

2

2

424

xxpxxp

p

ppp

p

xxp

xx









.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有

pBFAF

211



成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的

基本功.

【例3】证明：过抛物线22ypx上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）

【证明】对方程22ypx两边取导数：22.

p

yypy

y



，切线的斜率

0

0

xx

p

ky

y



.由点斜式方程：2

00000

0

1

p

yyxxyypxpxy

y



2

00

21ypx，代入（）即得：y0y=p（x+x0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不

到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02x相切，则此动圆必过定点

（）

.4,0.2,0.0,2.0,2ABCD

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线22ypx的通径长为2p；

3.设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为

1122

,,,AxyBxy，那么：2

12

yyp

以下再举一例

【例4】设抛物线22ypx的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过

.

一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆

必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证

明.

【证明】如图设焦点两端分别为

1122

,,,AxyBxy，

那么：22

121112

.yypCACByyp

设抛物线的准线交x轴于C，那么.CFp

2

111111

.90AFBCFCACBAFB中故.

这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

●通法特法妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题

等）.

【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于（）

A.3B.4C.32D.42

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：

yxm.由2

2

301

3

yxm

xxm

yx













设方程（1）之两根为x1，x2，则

12

1xx.

设AB的中点为M（x0，y0），则12

0

1

22

xx

x



.代入x+y=0：y0=

1

2

.故有

11

,

22

M









.

从而1myx.直线AB的方程为：1yx.方程（1）成为：220xx.解得：

2,1x，从而1,2y，故得：A（-2，-1），B（1，2）.32AB，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这

又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量

大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜

率

X

Y

A

B

F

A

1

B

1

1

M

C

X

O

Y

A

B

M

0lxy+=ÿ

X

Y

O

F(1,0)

A

K

60°

Y2=2px

L:x=-1

M

.

x

y

M(x,y)

F1(-c,0)F2(c,0)

O

H

2

:

a

lx

c

=-

r1r2

r2

为

3

的直线与抛物线在

x

轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积（）

A．4B．33C．43D．8

【解析】如图直线AF的斜率为

3

时∠AFX=60°.

△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则2,FMp

且∠KFM=60°，∴2

3

4,443

4AKF

KFS



.选C.

【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的

面积用公式2

3

4

Sa



计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很

难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

22

1

22

:1(00)

xy

Cab

ab

，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为

1

F和

2

F；抛物线

2

C的线为

l，焦点为

21

FC；与

2

C的一个交点为M，则121

12

FFMF

MFMF

等于（）

A．1B．1C．

1

2

D．

1

2

【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从

最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作MHlH于，令

1122

,MFrMFr.∵点M在抛物线上，

11

1

22

22

,

MFMF

r

MHMFre

MHMFr

故，

这就是说：1

2

||

||

MF

MF

的实质是离心率e.

其次，12

1

||

||

FF

MF

与离心率e有什么关系？注意到：

.



12

12

1111

221

11

FF

err

cea

ee

MFrrre













.

这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于121

12

||||

11

||||

FFMF

ee

MFMF

.∴选A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名

同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛

物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线;2lx.

（Ⅱ）直线AB：

2

8

y

x代入（1），整理得：2tan816tan02yy

设方程（2）之二根为y1，y2，则12

12

8

tan

16

yy

yy

















.

设AB中点为12

0

00

2

00

4

4cot

,,

2tan

cot24cot2

yy

y

Mxy

xy























则

AB的垂直平分线方程是：24cotcot4cot2yx.

令y=0，则224cot64cot6xP，有，0

故2224cot624cot14cosFPOPOF

于是|FP|-|FP|cos2a=2224csc1cos24csc2sin8，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而

不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线

xy82有两个不同的交点A和

A

M

.

B；（2）线段AB被直线

1

l：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.

【解析】假定在抛物线xy82上存在这样的两点

1122

.AxyBxy，，，则有：

2

11

121212

2

22

8

8

8

yx

yyyyxx

yx















12

1212

8

AB

yy

k

xxyy







∵线段AB被直线

1

l：x+5y-5=0垂直平分，且

1

1

5

5lAB

kk，，即



12

8

5

yy





12

8

5

yy.

设线段AB的中点为12

000

4

25

yy

Mxyy



，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为

4

1

5

M







，.故存在符合题设条件的直线，其方程为：



4

51255210

5

yxxy，即：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规

律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等

分点从左至右依次记为P

1

,P

2

,…,P

n-1

,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q

1

，Q

2

，…，

Q

n-1

，从而得到n-1个直角三角形△Q

1

OP

1

,△Q

2

P

1

P

2

,…,△Q

n-1

P

n-1

P

n-1

,当n→∞时，这些三角形的面积

之和的极限为.

【解析】∵

1

1OA

n

，图中每个直角三角形的底边长均为

设OA上第k个分点为

2

2

2

0.11.

k

kk

Pyxy

nn









，代入：

第k个三角形的面积为：

2

11

1.

2k

k

a

nn











2

22

1

22

121141

1

1

212n

nnn

Sn

nnn













.

故这些三角形的面积之和的极限



2

141

1111

limlim14

12123nn

nn

S

nnn









