数学归纳法步骤

数学归纳法

2015高考会这样考1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不

等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．

复习备考要这样做1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数

学归纳法的证题步骤．

一、知识梳理

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方

法叫作数学归纳法．

[难点正本疑点清源]

1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明

时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择

合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否

则就不是数学归纳法．

小试牛刀

1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.

答案π

解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π.

2．用数学归纳法证明：“1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2n－1

1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n

＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．

答案2k

解析n＝k时，左边＝1＋

1

2

＋…＋

1

2k－1

，当n＝k＋1时，

左边＝1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2k－1

＋…＋

1

2k＋1－1

.

所以左边应增加的项的项数为2k.

3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝

1－an＋2

1－a

(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左

边需计算的项是()

A．1B．1＋a

C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3

答案C

解析观察等式左边的特征易知选C.

4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－

1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…－

1

n

＝2











1

n＋2

＋

1

n＋4

＋…＋

1

2n

时，

若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()

A．n＝k＋1时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立

C．n＝2k＋2时等式成立

D．n＝2(k＋2)时等式成立

答案B

解析因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.

5．已知f(n)＝

1

n

＋

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

n2

，则()

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝

1

2

＋

1

3

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝

1

2

＋

1

3

＋

1

4

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝

1

2

＋

1

3

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝

1

2

＋

1

3

＋

1

4

答案D

解析从n到n2共有n2－n＋1个数，

所以f(n)中共有n2－n＋1项.

二、典型例题

题型一用数学归纳法证明等式

例1已知n∈N*，证明：1－

1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…＋

1

2n－1

－

1

2n

＝

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

.

思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，

末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关．

证明①当n＝1时，左边＝1－

1

2

＝

1

2

，

右边＝

1

2

，等式成立；

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即

1－

1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…＋

1

2k－1

－

1

2k

＝

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k

，

那么当n＝k＋1时，

左边＝1－

1

2

＋

1

3

－

1

4

＋…＋

1

2k－1

－

1

2k

＋

1

2k＋1－1

－

1

2k＋1

＝











1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

－

1

2k＋1

＝

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋











1

k＋1

－

1

2k＋1

＝

1

k＋1＋1

＋

1

k＋1＋2

＋…＋

1

k＋1＋k

＋

1

k＋1＋k＋1

＝右边，

所以当n＝k＋1时等式也成立．

综合①②知对一切n∈N*，等式都成立．

探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的

真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝

k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明

确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配

方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫

忘掉．

【变式1】用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，

1

1×3

＋

1

3×5

＋…＋

1

2n－12n＋1

＝

n

2n＋1

.

证明(1)当n＝1时，左边＝

1

1×3

＝

1

3

，

右边＝

1

2×1＋1

＝

1

3

，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即

1

1×3

＋

1

3×5

＋…＋

1

2k－12k＋1

＝

k

2k＋1

，

则当n＝k＋1时，

1

1×3

＋

1

3×5

＋…＋

1

2k－12k＋1

＋

1

2k＋12k＋3

＝

k

2k＋1

＋

1

2k＋12k＋3

＝

k2k＋3＋1

2k＋12k＋3

＝

2k2＋3k＋1

2k＋12k＋3

＝

k＋1

2k＋3

＝

k＋1

2k＋1＋1

，

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．

题型二用数学归纳法证明不等式

例2用数学归纳法证明：

1＋

n

2

≤1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2n

≤

1

2

＋n(n∈N*)．

思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．

证明(1)当n＝1时，左边＝1＋

1

2

，右边＝

1

2

＋1，

∴

3

2

≤1＋

1

2

≤

3

2

，即命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即

1＋

k

2

≤1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2k

≤

1

2

＋k，

则当n＝k＋1时，

1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

＋…＋

1

2k＋2k

>1＋

k

2

＋2k·

1

2k＋2k

＝1＋

k＋1

2

.

又1＋

1

2

＋

1

3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

＋…＋

1

2k＋2k

<

1

2

＋k＋2k·

1

2k

＝

1

2

＋(k＋1)，

即n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．

探究提高(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出

不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式

往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n

值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有①

放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．

【变式2】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式













1＋

1

3













1＋

1

5

·…·













1＋

1

2n－1

>

2n＋1

2

均成立．

证明(1)当n＝2时，左边＝1＋

1

3

＝

4

3

；右边＝

5

2

.

∵左边>右边，∴不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即













1＋

1

3











1＋

1

5

·…·













1＋

1

2k－1

>

2k＋1

2

.

则当n＝k＋1时，













1＋

1

3











1＋

1

5

·…·













1＋

1

2k－1











1＋

1

2k＋1－1

>

2k＋1

2

·

2k＋2

2k＋1

＝

2k＋2

22k＋1

＝

4k2＋8k＋4

22k＋1

>

4k2＋8k＋3

22k＋1

＝

2k＋32k＋1

22k＋1

＝

2k＋1＋1

2

.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

题型三用数学归纳法证明整除性问题

例3用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．

思维启迪：当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．

证明(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

则当n＝k＋1时，

方法一42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3

＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，

∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．

∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．

方法二因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)

＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)

＝42k＋1·13，

∵42k＋1·13能被13整除，

∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，

∴当n＝k＋1时命题也成立，

由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．

探究提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们

之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被

p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”

【变式3】已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1

整除．

证明(1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1

＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2

＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．

即当n＝k＋1时命题也成立．

根据(1)(2)可知，对于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．

题型四归纳、猜想、证明

【例4】在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝

1

2











an＋

1

an

.

(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

审题视角(1)数列{an}的各项均为正数，且Sn＝

1

2











an＋

1

an

，所以可根据解方程求出a1，

a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出{an}的通项公式an，然后再证明．

规范解答

解(1)S1＝a1＝

1

2











a1＋

1

a1

得a2

1＝1.

∵an>0，∴a1＝1，[1分]

由S2＝a1＋a2＝

1

2











a2＋

1

a2

，

得a2

2＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1.[2分]

又由S3＝a1＋a2＋a3＝

1

2











a3＋

1

a3

得a2

3＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2.[3分]

(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)[5分]

证明：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立．[6分]

②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，

即ak＝k－k－1，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk

＝

1

2











ak＋1＋

1

ak＋1

－

1

2











ak＋

1

ak

，

即ak＋1＝

1

2











ak＋1＋

1

ak＋1

－

1

2











k－k－1＋

1

k－k－1

＝

1

2











ak＋1＋

1

ak＋1

－k，

∴a2

k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k.

即n＝k＋1时猜想成立．[11分]

由①②知，an＝n－n－1(n∈N*)．[12分]

温馨提醒(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和

发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达

式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.

方法与技巧

1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n

＝k＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证

法不是数学归纳法．

2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少

计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩

法．

3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结

论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的

正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．

失误与防范

1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．

2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或

两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．

3．注意n＝k＋1时命题的正确性．

4．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方

法不是数学归纳法．

课堂练习

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式

子为()

A．1B．1＋2

C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23

答案D

解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故

选D.

2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值

n0应取()

A．2B．3C．5D．6

答案C

解析令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得．

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝

n4＋n2

2

，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加

上()

A．k2＋1B．(k＋1)2

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2

答案D

解析当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.

当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，

故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故应选

D.

4．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k

到k＋1”左端需增乘的代数式为

()

A．2k＋1B．2(2k＋1)

答案B

解析n＝k＋1时，左端为

(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋

3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)

＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，

∴应乘2(2k＋1)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为________．

答案当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立

解析由n∈N＋可知初始值为1.

6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．

答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，

∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；

∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.

7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k

∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案2k＋1

解析因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.

三、解答题(共22分)

8．(10分)若n为大于1的自然数，求证：

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

>

13

24

.

证明(1)当n＝2时，

1

2＋1

＋

1

2＋2

＝

7

12

>

13

24

.

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，

即

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k

>

13

24

，

那么当n＝k＋1时，

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k＋1

＝

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

＋

1

k＋1

－

1

k＋1

＝











1

k＋1

＋

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

－

1

k＋1

>

13

24

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

－

1

k＋1

＝

13

24

＋

1

2k＋1

－

1

2k＋2

＝

13

24

＋

1

22k＋1k＋1

>

13

24

.

这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立．

9．(12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝

bn

1－4a2

n

(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

(1)解由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.

∴b2＝

b1

1－4a2

1

＝

1

3

.a2＝a1·b2＝

1

3

.

∴点P2的坐标为











1

3

，

1

3

，

∴直线l的方程为2x＋y＝1.

(2)证明①当n＝1时，

2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，

2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，

2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝

bk

1－4a2

k

(2ak＋1)

＝

bk

1－2ak

＝

1－2ak

1－2ak

＝1，

∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即点Pn在直线l上．

课后练习

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．对于不等式n2＋n

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k

k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2

＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案D

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．

2．用数学归纳法证明不等式

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n

<

13

14

(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推

到n＝k＋1时不等式左边()

A．增加了一项

1

2k＋1

B．增加了两项

1

2k＋1

、

1

2k＋2

C．增加了B中两项但减少了一项

1

k＋1

D．以上各种情况均不对

答案C

解析∵n＝k时，左边＝

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k

，n＝k＋1时，

左边＝

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k

＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

，

∴增加了两项

1

2k＋1

、

1

2k＋2

，少了一项

1

k＋1

.

3．用数学归纳法证明不等式1＋

1

2

＋

1

4

＋…＋

1

2n－1

>

127

64

(n∈N*)成立，其初始值至少应取()

A．7B．8C．9D．10

答案B

解析左边＝1＋

1

2

＋

1

4

＋…＋

1

2n－1

＝

1－

1

2n

1－

1

2

＝2－

1

2n－1

，代入验证可知n的最小值是8.

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，

(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

答案(5,7)

解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

…；

一个整数n所拥有数对为(n－1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴

n－1n

2

＝60，

∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

5．用数学归纳法证明













1＋

1

3











1＋

1

5











1＋

1

7

…













1＋

1

2k－1

>

2k＋1

2

(k>1)，则当n＝k＋1时，

左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是

__________．

答案













1＋

1

2k＋1











1＋

1

2k＋3

…













1＋

1

2k＋1－1

2k－1

解析因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是













1＋

1

2k＋1

，最后一个是













1＋

1

2k＋1－1

，根据等差数列通项公式可求得共有

2k＋1－1－2k＋1

2

＋1＝2k－2k－1＝

2k－1项．

6．在数列{an}中，a1＝

1

3

且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．

答案an＝

1

2n－12n＋1

解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝

1

5

a1＝

1

15

；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，

即a3＝

1

14

(a1＋a2)＝

1

35

；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，

即a4＝

1

27

(a1＋a2＋a3)＝

1

63

.

∴a1＝

1

3

＝

1

1×3

，a2＝

1

15

＝

1

3×5

，a3＝

1

35

＝

1

5×7

，a4＝

1

7×9

，

故猜想an＝

1

2n－12n＋1

.

三、解答题

7．(13分)已知函数f(x)＝ax－

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，又当x∈











1

4

，

1

2

时，f(x)≥

1

8

.

(1)求a的值；

(2)设0

1

2

，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an<

1

n＋1

.

(1)解由题意，知

f(x)＝ax－

3

2

x2＝－

3

2











x－

a

3

2＋

a2

6

.

又f(x)max≤

1

6

，所以f











a

3

＝

a2

6

≤

1

6

.

所以a2≤1.

又当x∈











1

4

，

1

2

时，f(x)≥

1

8

，

所以









f











1

2

≥

1

8

，

f











1

4

≥

1

8

，

即









a

2

－

3

8

≥

1

8

，

a

4

－

3

32

≥

1

8

，

解得a≥1.

又因为a2≤1，所以a＝1.

(2)证明用数学归纳法证明：

①当n＝1时，0

1

2

，显然结论成立．

因为当x∈













0，

1

2

时，0

1

6

，

所以0

1

6

<

1

3

.

故n＝2时，原不等式也成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0

1

k＋1

成立．

因为f(x)＝ax－

3

2

x2的对称轴为直线x＝

1

3

，所以当x∈













0，

1

3

时，f(x)为增函数．

所以由0

1

k＋1

≤

1

3

，得0











1

k＋1

.

于是，0

1

k＋1

－

3

2

·

1

k＋12

＋

1

k＋2

－

1

k＋2

＝

1

k＋2

－

k＋4

2k＋12k＋2

<

1

k＋2

.

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据①②，知对任何n∈N*，不等式an<

1

n＋1

成立．