玻尔兹曼常数

精选

PN结物理特性及玻尔兹曼常数测量

半导体PN结的物理特性是物理学和电子学的重要基础内容之一。使用本实验的仪器用

物理实验方法，测量PN结扩散电流与电压关系，证明此关系遵循指数分布规律，并较精确

地测出玻尔兹曼常数(物理学重要常数之一),使学生学会测量弱电流的一种新方法。本实验的

仪器同时提供干井变温恒温器和铂金电阻测温电桥，测量PN结结电压

be

U与热力学温度T

关系，求得该传感器的灵敏度，并近似求得0K时硅材料的禁带宽度。

【实验目的】

1、在室温时，测量PN结扩散电流与结电压关系，通过数据处理证明此关系遵循指数

分布规律。

2、在不同温度条件下，测量玻尔兹曼常数。

3、学习用运算放大器组成电流—电压变换器测量10-6A至10-8A的弱电流。

4、测量PN结结电压be

U

与温度关系，求出结电压随温度变化的灵敏度。

5、计算在0K时半导体（硅）材料的禁带宽度（选作）。

6、学会用最小二乘法拟合数据。

【实验仪器】

FD-PN-4型PN结物理特性综合实验仪（如下图）,TIP31c型三极管（带三根引线）一

只，长连接导线11根（6黑5红），手枪式连接导线10根，3DG6（基极与集电极已短接，

有二根引线）一只，铂电阻一只。

FD-PN-4型PN节物理特性测定仪

【实验原理】

1.测量三极管发射极与基极电压U

1

和集电极与基极电压U

2

之间的关系

(a)PN结伏安特性及玻尔兹曼常数测量由半导体物理学可知，PN结的正向电流-电压

关系满足：1/

0

KTeUeII

(1)

式(1)中I是通过PN结的正向电流，I

0

是反向饱和电流，在温度恒定是为常数，T

是热力学温度，e是电子的电荷量，U为PN结正向压降。由于在常温(300K)时，

kT

/e≈0.026v，而PN结正向压降约为十分之几伏，则KTeUe/>>1,(1)式括号内-1项完全可

以忽略，于是有：

KTeUeII/

0



(2)

也即PN结正向电流随正向电压按指数规律变化。若测得PN结I-U关系值，则利用(1)

精选

式可以求出e/

kT

。在测得温度T后，就可以得到e/

k

常数，把电子电量作为已知值代入，

即可求得玻尔兹曼常数

k

。

在实际测量中，二极管的正向I-U关系虽然能较好满足指数关系，但求得的常数

k

往

往偏小。这是因为通过二极管电流不只是扩散电流，还有其它电流。一般它包括三个部分：

[1]扩散电流，它严格遵循(2)式；

[2]耗尽层复合电流，它正比于KTeUe2/；

[3]表面电流，它是由Si和SiO

2

界面中杂质引起的，其值正比于mKTeUe/,一般m>2。

因此，为了验证(2)式及求出准确的e/

k

常数，不宜采用硅二极管，而采用硅三极管接

成共基极线路，因为此时集电极与基极短接，集电极电流中仅仅是扩散电流。复合电流主要

在基极出现，测量集电极电流时，将不包括它。本实验中选取性能良好的硅三极管(TIP31

型),实验中又处于较低的正向偏置，这样表面电流影响也完全可以忽略，所以此时集电极电

流与结电压将满足(2)式。实验线路如图1所示。

1M

LF356

-

+

7

4

+15V

-15V

2

3

6

ec

b

V

1

V

2

100Ω

1.5V

TIP31

TIP31

e

b

c

LF356

1234

8765

图1PN结扩散电流与结电压关系测量线路图

2、弱电流测量

过去实验中10-6A-10-11A量级弱电流采用光点反射式检流计测量，该仪器灵敏度较高约

10-9A/分度，但有许多不足之处。如十分怕震，挂丝易断；使用时稍有不慎，光标易偏出满

度，瞬间过载引起引丝疲劳变形产生不回零点及指示差变大。使用和维修极不方便。近年来，

集成电路与数字化显示技术越来越普及。高输入阻抗运算放大器性能优良，价格低廉，用它

组成电流-电压变换器测量弱电流信号，具有输入阻抗低，电流灵敏度高。温漂小、线性好、

设计制作简单、结构牢靠等优点，因而被广泛应用于物理测量中。

LF356是一个高输入阻抗集成运算放大器，用它组成电流-电压变换器(弱电流放大器),

如图2所示。其中虚线框内电阻Z

r

为电流-电压变换器等效输入阻抗。由图2可，运算放大

器的输入电压U

0

为：

U

0

=-K

0

U

i

(3)

R

f

I

s

K

o

-

+

U

0

U

i

Z

r

I

s

图2电流－电压变换器

式(3)中U

i

为输入电压，K

0

为运算放大器的开环电压增益，即图2中电阻R

f∞时的

电压增益，R

f

称反馈电阻。因为理想运算放大器的输入阻抗r

i∞,所以信号源输入电流只

流经反馈网络构成的通路。因而有：

精选

fifiS

RKURUUI/)1(/)(

00

(4)

由（4）式可得电流-电压变换器等效输入阻抗Z

r

为：

00

/)1/(/KRKRIUZ

ffSir

(5)

由(3)式和(4)式可得电流-电压变换器输入电流I

s

输出电压U

0

之间得关系式，即：

f

ffsR

U

R

K

URK

K

U

I0

0

00

0

0/)

1

1(/)1((6)

由(6)式只要测得输出电压U

0

和已知R

f

值，即可求得I

S

值。以高输入阻抗集成运算放

大器LF356为例来讨论Z

r

和I

S

值得大小。对LF356运放的开环增益K

0

=2×105，输入阻抗

r

i

≈1012Ω。若取R

f

为1.00MΩ，则由(5)式可得：

5)1021/(1000.156

r

Z

若选用四位半量程200mV数字电压表，它最后一位变化为0.01mV，那么用上述电流

-电压变换器能显示最小电流值为：

AmVIs1161011000.1/01.0min)(

由此说明，用集成运算放大器组成电流-电压变换器测量弱电流，具有输入阻抗小、灵

敏度高的优点。

综合(a)(b)得，利用集成运算放大器组成电流-电压变换器，将弱电流的测量改成电压

测量，利用硅三极管(TIP31型)代替二极管，有效实现集电极电流中仅仅是扩散电流。

(2)PN结的结电压

be

U与热力学温度T关系测量（选作选学内容）。

当PN结通过恒定小电流（通常电流I＝1000μA），由半导体理论可得

be

U与T近似关系：

gobe

USTU

（5）

式中S≈－2.3CmVo/为PN结温度传感器灵敏度。由

go

U可求出温度0K时半导体材料的近似禁带宽

度

go

E＝

go

qU。硅材料的

go

E约为1.20eV。

【实验内容与步骤】

（一）

bec

UI关系测定，并进行曲线拟合求经验公式，计算玻尔兹曼常数。

1

UU

be



1、实验线路如图1所示（说明：图中100Ω的滑动变阻器和1.5V电源已经接入电路，

只是1.5V稳压电源正输出没有接地，实验中只需将1.5V正输出接地即可）。图中U

1

为三位

半数字电压表，U

2

为四位半数字电压表，TIP31型为带散热板的功率三极管，调节电压的分

压器为多圈电位器。为保持PN结与周围环境温度一致，把功率三极管连同散热器浸没在变

压器油管中，油管下端插在保温杯中，保温杯内盛有室温水，变压器油温度用0-50℃(0.1℃)

的水银温度计测量。（为简单起见，本实验也可把功率三极管置于干井恒温器温度中，打开

仪器的加热开关，按温度复位按钮，让仪器探测出环境温度，然后调节恒温控制到与室温相

同即可。）

2、在室温情况下，测量三极管发射极与基极之间电压U

1

和相应电压U

2

。在常温下

U

1

的值约从0.3V至0.42V范围每隔0.01V测一点数据，约测10多数据点，至U

2

值达到饱

和时(U

2

值变化较小或基本不变),结束测量。在记数据开始和记数据结束都要同时记录变压

器油的温度



，取温度平均值。

3、改变干井恒温器温度，待PN结与油温湿度一致时，重复测量U

1

和U

2

的关系数据，

并与室温测得的结果进行比较。

4、把(2)式改为KTeUeRIU/

02



，运用最小二乘法，将不同温度下采集的

1

U～

2

U关

系数据代入指数回归函数bUaeU

2

关系式中，算出指数函数相应的a和b的最佳值

0

a和

0

b，则由e／KT=

0

b、

00

aRI两式分别计算出玻尔兹曼常数K值和弱电流

0

I

值，并说明

玻尔兹曼分布的物理的含义。已知玻尔兹曼常数公认值23

0

10381.1K

J/K，由此进

而计算出玻尔兹曼常数测量的结果的百分误差。

5、曲线拟合求经验公式：

将实验数据分别代入线性回归、指数回归、乘幂回归这三种常用的基本函数，运用最

精选

小二乘法确定出最佳函数及其表达式。

（二）TU

be

关系测定，求PN结温度传感器灵敏度S，计算硅材料0K时近似禁带

宽度

go

E值（此项内容为选做内容）。

V

1

V

2

3V

R

1

R

2

R

T

R

4

V

2

R

图3图4

1、实验线路如图3所示，测温电路如图4所示。其中数字电压表V

2

通过双刀双向开

关，既作测温电桥指零用，又作监测PN结电流，保持电流I＝100μA用。

2、通过调节图3电路中电源电压，使上电阻两端电压保持不变，即电流I＝100μA。

同时用电桥测量铂电阻

T

R的电阻值，通过查铂电阻值与温度关系表，可得恒温器的实际湿

度。从室温开始每隔5℃－10℃测一定

be

U值（即V

1

）与温度（℃）关系，求得TU

be



关系。（至少测6点以上数据）

3、用最小二乘法对TU

be

关系进行直线拟合，求出PN结测温灵敏度S及近似求得

温度为0K时硅材料禁带宽度

go

E。

【注意事项】

1、数据处理时，对于扩散电流太小(起始状态)及扩散电流接近或达到饱和时的数据，

在处理数据时应删去，因为这些数据可能偏离公式(2)。

2、必须观测恒温装置上温度计读数，待TIP31三极管温度处于恒定时(即处于热平衡

时),才能记录U

1

和U

2

数据。

3、用本装置做实验，TIP31型三极管温度可采用的范围为0-50℃。若要在-120℃-0℃

温度范围内做实验，必须有低温恒温装置。

4、由于各公司的运算放大器(LF356)性能有些差异，在换用LF356时，有可能同台仪

器达到饱和电压U

2

值不相同。

5、本仪器电源具有短路自动保护，运算放大器若15V接反或地线漏接，本仪器也有

保护装置，一般情况集成电路不易损坏。请勿将二极管保护装置拆除。

【数据记录及处理】

1、

bec

UI关系测定，曲线拟合求经验公式，计算玻尔兹曼常数。

室温条件下：初温

1



=℃，末温

2



=℃，





=℃

原始数据：表1(U

1

的起、终点要以具体的实验情况判断)

序号12345678

U1/V

0.310

0.3200.3300.3400.3500.3600.370

0.380

U2/V

序号

91……

U1/V

0.3900.4000.4100.4200.4300.4400.450

……

U2/V

以U

1

为自变量，U

2

为因变量，分别进行线性函数、乘幂函数和指数函数的拟合，结

精选

果填入表2中：

数据处理：表2-1回归法函数拟合

三种函数

















)exp(

12

12

12

buau

auu

bauu

b

指数函数

幂函数

线性函数

















abuu

aubu

bauu

lnln

lnlnln

12

12

12

指数函数回归

幂函数回归

线性回归

序原始

数据

线性回归幂函数回归指数函数回归

xyx2y2xyxyx2y2xyxyx2y2xy

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

统

计

平均值

r

结

果

最佳函数

a=

b=

最佳函数表达式

数据处理结果：（b）最小二乘法并由此说明PN结扩散电流-电压关系遵循的分布规律。

数据结果：（b）计算玻尔兹曼常数：

由表2数据得

k/e

=bT=

J/CK

则

k/e

e

k

=

K/J

此结果与公认值k=1.381×10-23K/J

进行比较。

2、电流I＝100uA时，TU

be

关系测定，求PN结温度传感器的灵敏度S，计算0K

时硅材料的近似禁带宽度

go

E

（选做实验）。

表3

TU

be

关系测定

序号

/

T

R

C0/T/K

VU

be

/

1

2

3

4

5

6

7

精选

8

用计算器对TU

be

数据进行直线拟合得：

1）斜率，即传感器灵敏度S＝KmV/;

2）截距

go

U=V（0K温度）；3）相关系数r＝

4）禁带宽度eUE

go

=eV。将此结果与硅在0K温度时禁带宽度公认值

go

E＝1.205eV相比较，看本实验测得的

go

U是否合理，并分析原因。

【思考题】

1．得到的数据一部分在线性区，一部分不在线性区，为什么？拟合时应如何注意取舍？

数据不在线性区有两种情况：1.u1较小时，2.u1较大时。

1）u1较小时，公式不满足

2）u1较大时，p-n结所通过的电流虽可增加，但放大器的输出电压达到饱和。

2.减小反馈电阻的代价是什么？对实验结果有影响吗？

反馈电阻减小使输出电压减小，在一定范围内影响不大。

3.本实验把三极管接成共基极电路，测量结扩散电流与电压之间的关系，求玻尔兹曼常数，

主要是为了消除哪些误差？

在实验中，如果利用二极管进行测量，往往得不到好的结果，其原因是：（a）存在耗尽

层电流，其值正比于exp（eU/2kBT）；（b）存在表面电流，其值正比于exp（eU/mkBT），

m>2．为了不受上述影响，一般不用二极管，而是采用三极管接成共基极电路，集电极与

基极短接．复合电流主要在基极出现，集电极中主要是扩散电流，如果选择好的三极管，表

面电流也可以忽略，此时集电极电流与基极、发射极电压满足（2）式．本实验选择TIP31

型硅三极管．

由一组实验数据拟合出一条最佳直线，常用的方法是最小二乘法。设物理量y和

x

之间

的满足线性关系，则函数形式为bxay

最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数

a

和b，即直线的斜率和截距。

我们讨论最简单的情况，即每个测量值都是等精度的，且假定

x

和y值中只有y有明显

的测量随机误差。如果

x

和y均有误差，只要把误差相对较小的变量作为

x

即可。由实验测

量得到一组数据为),2,1;,(niyx

ii

，其中

i

xx时对应的

i

yy。

令

1

1

1

x

n

x

n

i

，

i

n

i

y

n

y

1

1



，

2

1

1

2

1

















x

n

x

n

i

，2

1

2

1

i

n

i

x

n

x



，)(

1

1

1

i

n

i

yx

n

xy



，则

xbya(1-3-3)

22xx

xyyx

b







(1-3-4)

如果实验是在已知y和

x

满足线性关系下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合(又

称一元线性回归)可解得斜率

a

和截距b,从而得出回归方程bxay。如果实验是要通过对

x

、y的测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否

恰当。这可用下列相关系数

r

来判别

))((2222yyxx

yxxy

r





(1-3-5)

其中

2

1

1

2

1

















y

n

y

n

i

，2

1

2

1

i

n

i

y

n

y



。

精选