连续与可导的关系

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函数的连续性与函数可导关系探讨

作者：许高洁

来源：《现代商贸工业》2019年第10期

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摘要：基于高中数学导数部分的学习，发现有些函数的导数并不存在;特别是分段函数及

复合函数等求导问题。对于我们高中生来说，导函数是基于某点的极限是否存在，然后判断该

函数的导数是否存在;考虑该函数左右极限的存在性和导数的关系。从函数的连续性与导数是

否存在，探讨了导函数的存在与否和函数连续性的内在关系。通过对不同函数的研究，得出函

数的连续性是函数可导的充分不必要条件，函数的可导性是函数连续性的必要不充分条件。

关键词：连续性;导函数;分段函数;复合函数;充要条件

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中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/.1672-3198.2019.10.086

1引言

在高中阶段学习了导数的定义：

设函数y=f（x）在点x0处的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点

x0+x仍在该区域内）时，相应地函数y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果Δy与Δx之比

当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点

x0处的导数，记为y'x=x0，f'（x），或dydx

x=x0

即：

y'

x=x0=limΔx→0ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x）Δx（1）

导数的几何意义：函数在该点x0出的斜率k，从而能求出函数在该点的切线方程。

图1导数的几何意义

说明一下：f'x=k=tanα

α是直线与x轴的夹角。

物理意义：速度的瞬时变化率Δy就是加速度。

图2导数的物理意义

在学习导数时，基本求导法则与导数公式：

f（x）g（x）′=f（x）′g（x）+f（x）g（x）′

f（x）g（x）′=f（x）′g（x）-f（x）g（x）′g（x）2

（C）′=0（xα）′=αxα-1

（sinx）′=cosx（cosx）′=sinx

（tanx）′=c2x（cotx）′=-csc2x

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（ax）′=axlna（ex）′=ex

（logax）′=1xlna（lnx）′=1x

在綜合这些公式探究了导数的运用。导数可以用来研究函数的单调性和极值。

例1：求函数y=xlnx的减区间。

解：首先对原函数求导

y′=x′lnx+xlnx′

=lnx+1

令y′=0则lnx=-1

x=1e

所以

所以在x∈（0，1e）上y′<0。

即函数y=xlnx的减区间为（0，1e）。

还可以利用导数来研究极值和最值问题。

例2：求函数y=exx在x∈12，5上的极小值和最大值。

解：首先对原函数求导

y′=xex-exx2

=x-1exx2

令y′=0则x-1=0即x=1。

所以：

所以fx极小值=f1=e

fxmax=f5=e55

2关于导数的研究

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微积分的理论最初建立于十七世纪初，但是在该时期并没有明确建立求导和连续之间的关

系，并且大多数人都认为连续的函数一定是可以求导数的，不可以求导数的点是个别的。一直

到十八世纪，才有科学家提出处处连续但是处处不可求导的例子，才进一步解释了连续和可导

之间的关系。

刘寅立在关于函数的连续性与可导性的几点注记的论文中对函数的连续性与可导性性质进

行了讨论。因为在微积分学中，函数的连续性与可导性是函数重要的性质，并且一些特殊的

函数在这两个性质上也表现出了特殊的性质。我们所熟悉的基本初等函数具有很好的连续性与

可导性，但是一些非初等函数在可导和连续上有时会表现出一些特殊的性质，比如处处不连

续，只在一点可以求导，每一点连续而又处处不可导，只在一点连续等等。

杨松华和陆宜清在浅谈二元函数的连续性、可导性与可微性中中详细讨论了二元函数的连

续性、可导性、可微性，并且讨论了与一元函数的连续性、可导性、可微性的区别，对相关概

念进行了详细解释。对于一元函数来说，可微和可导的两个概念是等价的，但是二元函数却不

是这样，但是如果二元函数可微则必须可导。判断一个函数是否可微，首先需要判断其是否连

续，可微的函数必须连续，如果连续则进一步判断是否可导，可微的函数必定可导，满足上述

条件还需要进一步判断偏导数的情况。

张燕在关于函数连续性和可导性关系之研究中深入探讨了两者之间的关系。首先从连续性

和可导性概念的重要性出来介绍了课题的选择原因。进一步介绍了函数可导性和连续性之间的

关系。讨论了函数在点的左右极限的概念。罗韵蓉撰写了函数在一点处可导性与连续性体会，

在文章中详细介绍了可导函数和不可导的点的几何表示以及如何寻找连续但是不可求导的例

子，并进一步通过例题的讲解论证上述概念和思想。从几何的角度出发，可导函数即是一条平

滑的曲线，而不可导点可以是垂直于x轴的切线或者是在该点处有两条切线。

本文也将从连续、可导、左极限和右极限等概念出发，并与丰富的例子结合论证连续和求

导之间关系。

3连续与求导

在运用导数探究函数性质解决实际问题时，发现有些问题用求导的方式无法解决。例如当

我们对函数y=lnx+1x进行求导研究时函数y=lnx+1x的导数为y′=xx+1-lnx+1x2如果令y′=0则

分子xx+1-lnx+1=0，即x=0。然而分母此时为零，又因为分母不能为零所以对于函数y=lnx+1x

我们不能用求导的方式来探究其性质。

那么对于所有函数都可以求导吗？例如函数y=x就无法求导。因为根据函数在定义域中一

点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左

右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可以讨论函数y=x在x=0处的可导

性：

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因为f0+m-f0m=mm

limm→0+f0+m-f0m=limm→0+mm=1

limm→0-f0+m-f0m=limm→0--mm=-1

如图，在0点处即f+′0≠f-′0，

所以函数y=fx在x=0处不可导

经探究函数y=x在x=0处不可导，这只是一个常见简单的函数，那么对于复杂的分段行数

函数可导的条件仍然适用吗？

例如：例3：探究函数f（x）=xsin1xx≠0

0x=0在x=0的可导性。

如果对函数在x=0处直接求导，那么此时y′=0。然而根据函数可导条件此时

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（0+Δx）-f（0）ΔxlimΔx→0Δxsin1ΔxΔx=limΔx→0sin1Δx不存在。

所以，函数在x=0处不可导。

再如：例4：探究函数f（x）=x+1=x+1x0

-x+1x<0在x=0的可导性。

有f′-0=limx→0-f0+Δx-f0Δx=limΔx→0-ΔxΔx=1

limΔx→0--ΔxΔx=-1

f′+0=limx→0+f0+Δx-f0Δx=limΔx→0+ΔxΔx=1

limΔx→0+ΔxΔx=1

即f+′0≠f-′0

所以f（x）=x+1=x+1x0

-x+1x<0在x=0处不可导。

对于分段函数的研究除了讨论其在分段点处的可导性之外，还会重点对其函数图像的连续

性进行研究。再回到例3，继续来研究函数f（x）=xsin1xx≠0

0x=0连续性以及其和可导性的关系。

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连续性的讨论：x=0处及其左右近旁该函数有定义。

因為limx→0x=0，且sin1x

所以对于一个函数在某一点处可导一定连续。即对于一个函数在某一点处连续不一定可

导，但可导一定连续。

4总结

通过本文的研究可以得出结论;并不是所有函数都可以求导，满足在该点处左导数和右导

数相等时，在该点处才可求导。且对于一个函数在某一点处连续不一定可导，但可导一定连

续。即导数连续性是可导性的充分不必要条件，可导性是连续性的必要不充分条件。

参考文献

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