示性函数

特征函数的概念及意义

目录：

一．特征函数的定义。

二．常用分布的特征函数。

三．特征函数的应用。

四．绪论。

一．特征函数的定义

设X是一个随机变量，称

itXet,t,

为X的特征函数.

因为＝１Ｘite，所以itXe

总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存

在的.

当离散随机变量X的分布列为,3,2,1,Pp

k

kxX

k

，则X的特征函数

为







1k

k

itxpetk,t.

当连续随机变量X的密度函数为xp,则X的特征函数为







dxxpetk

itx,t.

与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变

量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.

二．常用分布的特征函数

1、单点分布：.1PaX

其特征函数为

.etita

2、

10

分布：,10xp1pxXPx1

x，，其特征函数为

qpetit，其中p1q.

3、泊松分布P：



e

k

kXP

k

！

，k=0,1，，其特征函数为







0k

1ee

k

iktititeeee

k

et





！

.

4、均匀分布baU,：因为密度函数为



















.

;

,0

,

1

其他

bxa

ab

xp

所以特征函数为















b

a

iatibtitx

abit

ee

dx

ab

e

x.

5、标准正态分布1,0N：因为密度函数为

2

2

2

1x

exp



，x.

所以特征函数为



















dx

itxtx

itxeedxex222

2

22

2

1

2

1





=



it

it

ttt

edzee222

222

2

1



.

其中



it

it

x

dze22

2

.

三．特征函数的应用

1、在求数字特征上的应用

求2N，分布的数学期望和方差.

由于2N，的分布的特征函数为2

t

i

22

et



,

于是由kkki0得，

i0i′,

22″220i

,

由此即得

2

2

2D，.

我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差,要比从定义计算

方便的多.

2、在求独立随机变量和的分布上的应用

利用归纳法,不难把性质4推广到n个独立随机变量的场合,而

n21

,，，

是

n

个相互独立的随机变量,相应的特征函数为







n

1i

in

2

1

ttt，则，，，

的特征函数为





n

1i

i

tt

.

设n,,21j

j

，是

n

个相互独立的，且服从正态分布2N

jj

a，的正态

随机变量.

试求





n

1j

j



的分布.

由于

j

的分布为2N

jj

a，，故相应的特征为2

22t

ia

j

j

jet



.

由特征函数的性质可知





n

j

j

tt

1

的特征函数为

2

1

2

1

22

2

1

11

2

ttai

n

j

n

j

t

ia

j

n

j

j

n

j

j

j

jeett









































.

而这正是





















n

j

j

n

j

j

aN

1

2

1

,的特征函数.

由分布函数与特征函数的一一对应关系即知服从





















n

j

j

n

j

j

aN

1

2

1

,.

3、在证明二项分布收敛于正态分布上的应用

在

n

重贝努力实验中，事件A每次出现的概率为p(0

n

为

n

次试验

中事件A出现的次数，则

dtex

npq

np

Px

t

n

n



























2

2

2

1

lim





.

要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例.

若,,

21

是一列独立同分布的随机变量，且

,,2,1,0,22kDa

kk

则有

dtex

n

na

Px

t

n

k

k

n









































2

1

2

2

1

lim





.

证明设a

k



的特征函数为,t

则















n

k

k

n

k

k

n

a

n

na

1

1









的特征函数为

n

n

t





























又因为,,02aDa

kk

所以20,00







于是特征函数t有展开式

2222

2

2

1

1

2

000ttt

t

tt







.

从而对任意的t有，























































ne

n

t

n

t

n

tt

n

,

2

12

2

222





.

而2

2t

e

是

1,0N

分布的特征函数，由连续定理可知

dtex

n

na

Px

t

n

k

k

n









































2

1

2

2

1

lim





.

成立，证毕.

我们知道在

n

2

2

2

1

Plim





中dtex

npq

npx

t

n

n



























是服从二项分布.

nkqpCkpknkk

nn

0,.

的随机变量，

dtex

x

t





















2

2

2

1

Plim









为“泊松分布收敛于正态分布”,我

们把上面的结论常常称为“二项分布收敛于正态分布”.

4、在求某些积分上的应用

我们知道



0

22dxexxk可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量

服从













2

1

,0N，其密度函数为：21

xexp



，

其特征函数为：

























0

2

4

1

!4

112

2

i

t

i

t

xitx

i

t

edxeet







，

故













































!1

312

4

1

!

!2

4

12

1

2

k

tk

k

k

t

kk

k



，

所以



!!12

2

1

!

!2

4

1

02



























k

k

kkk

k



,

由特征函数的性质



k

k

k

k

k

i

2

!!12

02

2

2









，

又



0

222dxexxkk

，

故















1

2

2

!!122

k

xk

k

dxex.

即













0

1

2

2

!!122

k

xk

k

dxex

四．结论

从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理

统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的

数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的

特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收

敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某

些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.