等腰直角三角形求斜边

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对

文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中-八年级-等腰直角三角形

中的常用模型(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望

收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以

下为初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)的全部内容。

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

等腰直角三角形中的常用模型

【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征：两直角边相等,两锐角相等（都是45º）

②边之间的关系：已知任意一边长,可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形:

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形,发现并证明其中的全等三角形

往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

1-1:如图：RtΔABC中,∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E,过

C作CF⊥AD于点F。

（1)求证：BE—CF=EF;

（2)若D在BC的延长线上（如图(2）），(1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论

并证明。

变式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB,∠ABC=90º，点P在线段BC上（不与B、C重合)，以AP为

腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于

E

，

连CQ交AB于M.

(1）求证：M为BE的中点

(2)

(3)

(1)

D

D

E

E

C

C

E

C

A

B

B

A

A

B

(2)

F

E

D

C

B

AA

B

C

D

E

F

(1)

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

(2）若PC=2PB，求

MB

PC

的值

（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角三角形:

1—2：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º,AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，

交AC于点G,过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。

(1）求证：BG=AF；

（2)若D在BC的延长线上(如图（2）)，(1）中的结论还成立吗？若不成立,请写出新的结论

并证明.

变式1:如图,在Rt△ABC中，∠ACB=45º,∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H

交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.

D

E

F

F

E

D

(2)

(1)

C

C

A

B

B

A

G

G

B

A

C

D

E

F

(2)

(1)

F

E

D

CB

A

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°,点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点

F，连接DF，求证：∠1=∠2。

变式3:等腰Rt△ABC中，AC=AB,∠BAC＝90°,点D、E是AC上两点且AD=CE,AF⊥BD于点G，

交BC于点F连接DF，求证:∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边,一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

2-1：连接AD，求证：∠ADB＝45°。

变式1:等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上一点，且

∠ADC＝135°求证:BD⊥DC。

A

BC

D

E

F

(2)

(1)

F

E

D

CB

A

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB,∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E,过C作CD⊥BE于D，

DM⊥AB交BA的延长线于点M，

(1）求

BCAB

BM



的值；（2）求

ABBC

AM



的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

(1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：

3-1：如图1，△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º,连接AF、CF，M是AF

的中点,连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形:

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

(1)

(2)

(3)

图（1）

M

F

E

B

C

A

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等

三角形：

如图，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º.把DE平移到CF,使E与C重合，

连接AE、AF,则△AEB与△AFC全等(关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF)

3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE.

(1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系

是；

（2）如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度,（1)中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的

结论。

E

D

C

B

A

(3)

F

E

D

C

B

A

(2)

F

F

(1)

A

B

C

D

E

图1

P

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

P

图2

A

B

C

D

E

P

图3

(3)

A

B

C

D

E

(2)

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

(1)

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

A

F

【经典模型】

在△BAC中，AB=AC,且∠BAC=90°有一点D满足∠BDC=90°：

（1）当点D在边BC下面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？

（2）当点D在边BC上面时,试探究DB、DA和DC的大小关系?

推广：

（1）△ABC为等边三角形，D为BC下面一点且∠BDC=120°，此时呢？

（2）△ABC为等腰三角形，D为BC下面一点且∠BDC=60°，此时又如何？

【猜想】在运算中是否发现

DB

1

，

DC

1

，

DA

1

有某种数量上的对应关系?

【巩固练习】

1．如图，在

ABCRt

中,

ACAB

,∠

90BAC

，

D

、

E

为

BC

上两点,∠

45DAE

，

F

为

ABC

外一点，且

FB

⊥

BC

,

AEFA

，则下列结论：①

BFCE

；②222DECEBD;③

EFADS

ADE



4

1

；④2222AEBECE,其中正确的是

A、①②③④B、①②④

C

B

A

D

C

B

A

D

A

B

C

D

A

D

CB

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

C、①③④D、②③

2．已知:Rt⊿ABC中,AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC

于点M、N。

（1）若∠MON=90°（如图1）,求证：①OM=ON；②BM2+CN2=MN2；

(2)若∠MON=45°(如图2），求证：①AM+MN=CN;

3.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形,A(4，4）.

（1）若C为x轴正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°,连OD，求∠AOD

的度数;

（2）过A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上,以EG为直角

图1

N

M

O

CB

A

图2

N

M

O

C

B

A

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式1



OF

FMAM

是否成立？若成立，

请证明；若不成立，说明理由。

4.在△ABC和△DCE中,AB=AC，DC=DE,∠BAC=∠EDC=90°，点E在AB上，连AD,DF⊥AC于点F。

试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出∠DAC的度数。

5．如图：等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB,AC=BC,DE=BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，E为AB是一点，

P为AE的中点。

⑴连接PC，PD;则PC，PD的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。

⑵当E在线段AB上变化时,其它条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状；

在点E运动过程中,△PCF是否可为等边三角形?若可以，试求△ACB与△EDB的两直角边

之比。

F

A

D

B

C

E

(2)

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

6。已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中

点,连接MB、ME．

(1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证:MB∥CF；

(2）如图1，若CB=a，CE=2a,求BM，ME的长；

（3)如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

7.如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B(0，4）。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且

∠ONB=45°+∠MON.

（1）求证：BN平分∠OBA；

（2）求

BN

MNOM

的值；

（3）若点P为第四象限内一动点,且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？

请证明你的结论.

初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型(word版可编辑修改)

8。已知:PA=2，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD,且P、D两点在直线AB的两侧.

(1）如图，当∠APB=45°时,求AB及PD的长；

(2)当∠APB变化，且其它条件不变时,求PD的最大值及相应∠APB的大小。

D

PB

A